SEEMOUS 2009/4

Συντονιστής: Demetres

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

cretanman: Διαχειριστής; Δημοσιεύσεις: 4117; Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm; Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης; Επικοινωνία:
Επικοινωνία cretanman

Ιστοσελίδα Facebook Skype

SEEMOUS 2009/4

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Μαρ 06, 2009 11:15 pm

Αν $a_1,a_2,\ldots, a_n$ και $b_1,b_2,\ldots, b_n$ είναι πραγματικοί αριθμοί, ορίζουμε τους $n \times n$ πίνακες $A=\left(a_{ij}\right)$ και $B=\left(b_{ij}\right)$ ως εξής:

$a_{ij}=a_i-b_j$ και $b_{ij}= \left\{ \begin{array}{ll} 1 , & \alpha \nu \ \ a_{ij}\geq 0 \\ 0 , & \alpha \nu \ \ a_{ij} < 0. \end{array} \right$ για κάθε $i,j \in\{1,2,\ldots,n\}$ .

Θεωρήστε ένα πίνακα $C=\left(c_{ij}\right)$ με τις ίδιες διαστάσεις και στοιχεία

ώστε $\displaystyle\sum_{j=1}^n b_{ij}=\sum_{j=1}^n c_{ij}, \ \ i\in\{1,2,\ldots,n\}$ και $\displaystyle\sum_{i=1}^n b_{ij}=\sum_{i=1}^n c_{ij}, \ \ j\in\{1,2,\ldots,n\}$ .

Δείξτε ότι

α) $\displaystyle\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\left(b_{ij}-c_{ij}\right)=0$ και ότι B=C

.

β) ο

είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν υπάρχουν δύο αναδιατάξεις $\sigma$ και $\tau$ του συνόλου $\{1,2,\ldots,n\}$ ώστε $b_{\tau(1)}\leq a_{\sigma(1)} < b_{\tau(2)}\leq a_{\sigma(2)} < \cdots \leq a_{\sigma(n-1)} < b_{\tau(n)}\leq a_{\sigma(n)}$ .

Αλέξανδρος Συγκελάκης

Απάντηση

1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης