Vojtech Jarnik 2017/4 Category II
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Vojtech Jarnik 2017/4 Category II
Ένας θετικός ακέραιος ονομάζεται σπουδαίος αν για κάποιους θετικούς ακεραίους . Να δειχθεί ότι για κάθε ακέραιο υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι ώστε το σύνολο να περιέχει ακριβώς σπουδαίους ακεραίους.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Vojtech Jarnik 2017/4 Category II
Έστω το πλήθος των σπουδαίων αριθμών στο . Θα αποδείξουμε το λήμμα ότι υπάρχουν άπειροι με .
Για την περίπτωση αρκεί να βρούμε τέτοιο ώστε ο να είναι τέλειο τετράγωνο. Έτσι, οι είναι οι αριθμοί μας.
Άρα, για κάποιο , που σημαίνει (από τη διακρίνουσα) ότι ο για κάποιο . Αρκεί λοιπόν . Επειδή η διοφαντική έχει άπειρες λύσεις (αρχίζοντας από εφαρμόζουμε τον αναδρομικό τύπο ) υπάρχουν άπειρα κατάλληλα .
Για τα πράγματα είναι πιο απλά. Ισχύει λόγω των .
Έχοντας αποδείξει το λήμμα, παρατηρούμε ότι το πλήθος των σπουδαίων αριθμών μικρότερων ή ίσων του είναι το πολύ , οπότε η μέση απόσταση μεταξύ δύο σπουδαίων αριθμών αυξάνεται τουλάχιστον όπως . Έτσι, υπάρχουν άπειρα με . Αφού, τέλος, , ο παίρνει άπειρες φορές όλες τις δυνατές τιμές μεταξύ του και του , οπότε υπάρχουν και άπειρα με .
Για την περίπτωση αρκεί να βρούμε τέτοιο ώστε ο να είναι τέλειο τετράγωνο. Έτσι, οι είναι οι αριθμοί μας.
Άρα, για κάποιο , που σημαίνει (από τη διακρίνουσα) ότι ο για κάποιο . Αρκεί λοιπόν . Επειδή η διοφαντική έχει άπειρες λύσεις (αρχίζοντας από εφαρμόζουμε τον αναδρομικό τύπο ) υπάρχουν άπειρα κατάλληλα .
Για τα πράγματα είναι πιο απλά. Ισχύει λόγω των .
Έχοντας αποδείξει το λήμμα, παρατηρούμε ότι το πλήθος των σπουδαίων αριθμών μικρότερων ή ίσων του είναι το πολύ , οπότε η μέση απόσταση μεταξύ δύο σπουδαίων αριθμών αυξάνεται τουλάχιστον όπως . Έτσι, υπάρχουν άπειρα με . Αφού, τέλος, , ο παίρνει άπειρες φορές όλες τις δυνατές τιμές μεταξύ του και του , οπότε υπάρχουν και άπειρα με .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες