IMC Stage-II 2015
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 27, 2018 6:40 pm
Ξεκινάω να βάζω τα θέματα του διαγωνισμού IMC του 2015.
Τα θέματα του 2016 βρίσκονται εδώ.
Τα θέματα του 2017 βρίσκονται εδώ.
Θυμίζω ότι απευθύνεται σε μαθητές δημοτικού. Σε κάθε άσκηση ζητείται μόνο η τελική απάντηση χωρίς την οποιαδήποτε αιτιολόγηση. Εδώ όμως ας δούμε πλήρεις εξηγήσεις.
Άσκηση 1: Να βρείτε τον μικρότερο τετραψήφιο αριθμό, του οποίου το πλήθος των θετικών διαιρετών του ισούται με το πλήθος των θετικών διαιρετών του .
Άσκηση 2: Ζητήθηκε από κάποιους μαθητές να διαγράψουν τρεις αριθμούς από το σύνολο και μετά να υπολογίζουν το άθροισμα των υπόλοιπων δεκαοκτώ αριθμών. Παρατηρήθηκε στο τέλος ότι κάθε δυο μαθητές διέγραψαν διαφορετικούς αριθμούς. Επίσης κάθε μαθητής διέγραψε τουλάχιστον δύο αριθμούς οι οποίοι ήταν συνεχόμενοι. Όλοι οι μαθητές έκαναν σωστά την πρόσθεση. Το πολύ πόσοι μαθητές βρήκαν την απάντηση ;
Άσκηση 3: Το είναι ένα ορθογώνιο σπίτι. Ένας φράκτης επεκτείνει την στο με . Ένας φράκτης επεκτείνει την στο με . Ένας φράκτης επεκτείνει την στο με . Ένας φράκτης επεκτείνει την στο με . Χτίζουμε φράκτες που παίρνουν από τα και παράλληλους στην , και φράκτες που παιρνούν από τα και παράλληλους στην ώστε να περικλείουν ένα ορθογώνιο οικόπεδο με τέσσερις ορθογώνιους κήπους γύρω από το σπίτι. Το άθροισμα των περιμέτρων των κήπων ισούται με . Ποια είναι η περίμετρος, σε , του σπιτιού;
Άσκηση 4: Μια κοινωνία χωρίζεται σε οργανώσεις, κάθε οργάνωση χωρίζεται σε συνδέσμους, κάθε σύνδεσμος χωρίζεται σε εταιρείες, και κάθε εταιρεία χωρίζεται σε ομίλους. Το πλήθος των ομίλων σε κάθε εταιρεία, το πλήθος των εταιρειών σε κάθε σύνδεσμο, και το πλήθος των συνδέσμων σε κάθε οργάνωση είναι ο ίδιος ακέραιος αριθμός ο οποίος είναι μεγαλύτερος του . Η κοινωνία, καθώς επίσης και κάθε οργάνωση, σύνδεσμος, εταιρεία και όμιλος, έχουν από έναν πρόεδρο. Αν υπάρχουν συνολικά πρόεδροι, πόσες οργανώσεις έχει η κοινωνία;
Άσκηση 5: Κάθε μία από τις μηχανές και παρασκευάζει μία μπουκάλα ανά λεπτό. Η μηχανή πρέπει να ξεκουραστεί για λεπτό μετά από κάθε μπουκάλες που παρασκευάζει, ενώ η μηχανή πρέπει να ξεκουραστεί για λεπτό μετά από κάθε μπουκάλες που παρασκευάζει. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός λεπτών που χρειάζονται για να παρασκευάσουν οι δύο μηχανές συνολικά μπουκάλες;
Άσκηση 6: Τα ψηφία και χρησιμοποιούνται για να κατασκευάσουν ένα μονοψήφιο, ένα διψήφιο, και ένα τριψήφιο αριθμό. Κάθε ψηφίο πρέπει να χρησιμοποιηθεί ακριβώς από μία φορά. Το άθροισμα του μονοψήφιου και του διψήφιου αριθμού ισούται με . Το άθροισμα του διψήφιου και του τριψήφιου αριθμού ισούται με . Να βρεθεί το άθροισμα όλων των αριθμών.
Άσκηση 7: To είναι σημείο στην πλευρά του τετραγώνου ώστε και . Το είναι σημείο της διαγωνίου . Ποια είναι η μικρότερη δυνατή τιμή, σε , του ;
Άσκηση 8: Σε ένα σύνολο διαφορετικών θετικών ακεραίων, ο μεγαλύτερος είναι μικρότερος του , και ισούται με τρεις φορές τον μικρότερο. Ο μικρότερος ισούται με τα δύο τρίτα του μέσου όρου όλων των αριθμών. Πόσοι το πολύ είναι οι αριθμοί του συνόλου;
Άσκηση 9: Το πιο κάτω διάγραμμα δείχνει την κάτοψη ενός κτιρίου φτιαγμένου από εννιά στήλες μοναδιαίων κύβων. (Δεν υπάρχουν κενά στις στοίβες.) Ο αριθμός των κύβων σε κάθε στοίβα είναι καταγεγραμμένος στο διάγραμμα. Χρωματίζουμε την εξωτερική επιφάνεια του κτιρίου, συμπεριλαμβανομένων των εννέα τετραγώνων που αγγίζουν το πάτωμα. Πόσες συνολικά έδρες έχουμε χρωματίσει;
Άσκηση 10: Δίνονται τέσσερις τριψήφιοι αριθμοί με άθροισμα . Το άθροισμα των ψηφίων κάθε ενός εκ των τεσσάρων αριθμών είναι το ίδιο. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των τιμών που μπορεί να πάρει αυτό το κοινό άθροισμα ψηφίων.
Άσκηση 11: Έχουμε τρεις θετικούς ακεραίους. Ο πρώτος είναι διψήφιος αριθμός ο οποίος αποτελείται από δύο ίδια ψηφία. Ο δεύτερος είναι διψήφιος αριθμός, ο οποίος αποτελείται από δύο διαφορετικά ψηφία, και του οποίου το ψηφίο των μονάδων είναι το ίδιο με αυτό του πρώτου αριθμού. Ο τρίτος είναι μονοψήφιος αριθμός, με το ψηφίο του να ισούται με το ψηφίο των δεκάδων του δεύτερου αριθμού. Ακριβώς δύο από αυτούς τους αριθμούς είναι πρώτοι. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε αυτούς τους αριθμούς;
Άσκηση 12: Διαιρούμε έναν θετικό ακέραιο με το και καταγράφουμε το πηλίκο και το υπόλοιπο. Ακολούθως διαιρούμε και πάλι τον ίδιο θετικό ακέραιο με το και καταγράφουμε πάλι το πηλίκο και το υπόλοιπο. Αν οι ίδιοι αριθμοί αλλά με διαφορετική σειρά έχουν καταγραφεί, να βρεθεί το γινόμενο όλων των δυνατών τιμών του αρχικού αριθμού.
Άσκηση 13: Το είναι σημείο της πλευράς του τετραγώνου ώστε . Το είναι το μέσο της πλευράς . Τα και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν του ισούται με , να υπολογιστεί το εμβαδόν, σε , του πενταγώνου .
Άσκηση 14: Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τους αριθμούς σε τέσσερις ομάδες των τριών αριθμών, ώστε σε κάθε ομάδα το άθροισμα να είναι πολλαπλάσιο του ;
Άσκηση 15: (Διορθωμένο) Ένας αριθμός από τους ονομάζεται ακόλουθος ενός άλλου αριθμού από τους αν είτε ο δεύτερος αριθμός είναι μεγαλύτερος του πρώτου με διαφορά μεταξύ και (συμπεριλαμβανομένων) ή ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος του δεύτερου με διαφορά μεταξύ και (συμπεριλαμβανομένων). Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε τρεις αριθμούς από τους ώστε ο πρώτος να είναι ακόλουθος του δεύτερου, ο δεύτερος ακόλουθος του τρίτου, και ο πρώτος ακόλουθος του τρίτου;
Τα θέματα του 2016 βρίσκονται εδώ.
Τα θέματα του 2017 βρίσκονται εδώ.
Θυμίζω ότι απευθύνεται σε μαθητές δημοτικού. Σε κάθε άσκηση ζητείται μόνο η τελική απάντηση χωρίς την οποιαδήποτε αιτιολόγηση. Εδώ όμως ας δούμε πλήρεις εξηγήσεις.
Άσκηση 1: Να βρείτε τον μικρότερο τετραψήφιο αριθμό, του οποίου το πλήθος των θετικών διαιρετών του ισούται με το πλήθος των θετικών διαιρετών του .
Άσκηση 2: Ζητήθηκε από κάποιους μαθητές να διαγράψουν τρεις αριθμούς από το σύνολο και μετά να υπολογίζουν το άθροισμα των υπόλοιπων δεκαοκτώ αριθμών. Παρατηρήθηκε στο τέλος ότι κάθε δυο μαθητές διέγραψαν διαφορετικούς αριθμούς. Επίσης κάθε μαθητής διέγραψε τουλάχιστον δύο αριθμούς οι οποίοι ήταν συνεχόμενοι. Όλοι οι μαθητές έκαναν σωστά την πρόσθεση. Το πολύ πόσοι μαθητές βρήκαν την απάντηση ;
Άσκηση 3: Το είναι ένα ορθογώνιο σπίτι. Ένας φράκτης επεκτείνει την στο με . Ένας φράκτης επεκτείνει την στο με . Ένας φράκτης επεκτείνει την στο με . Ένας φράκτης επεκτείνει την στο με . Χτίζουμε φράκτες που παίρνουν από τα και παράλληλους στην , και φράκτες που παιρνούν από τα και παράλληλους στην ώστε να περικλείουν ένα ορθογώνιο οικόπεδο με τέσσερις ορθογώνιους κήπους γύρω από το σπίτι. Το άθροισμα των περιμέτρων των κήπων ισούται με . Ποια είναι η περίμετρος, σε , του σπιτιού;
Άσκηση 4: Μια κοινωνία χωρίζεται σε οργανώσεις, κάθε οργάνωση χωρίζεται σε συνδέσμους, κάθε σύνδεσμος χωρίζεται σε εταιρείες, και κάθε εταιρεία χωρίζεται σε ομίλους. Το πλήθος των ομίλων σε κάθε εταιρεία, το πλήθος των εταιρειών σε κάθε σύνδεσμο, και το πλήθος των συνδέσμων σε κάθε οργάνωση είναι ο ίδιος ακέραιος αριθμός ο οποίος είναι μεγαλύτερος του . Η κοινωνία, καθώς επίσης και κάθε οργάνωση, σύνδεσμος, εταιρεία και όμιλος, έχουν από έναν πρόεδρο. Αν υπάρχουν συνολικά πρόεδροι, πόσες οργανώσεις έχει η κοινωνία;
Άσκηση 5: Κάθε μία από τις μηχανές και παρασκευάζει μία μπουκάλα ανά λεπτό. Η μηχανή πρέπει να ξεκουραστεί για λεπτό μετά από κάθε μπουκάλες που παρασκευάζει, ενώ η μηχανή πρέπει να ξεκουραστεί για λεπτό μετά από κάθε μπουκάλες που παρασκευάζει. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός λεπτών που χρειάζονται για να παρασκευάσουν οι δύο μηχανές συνολικά μπουκάλες;
Άσκηση 6: Τα ψηφία και χρησιμοποιούνται για να κατασκευάσουν ένα μονοψήφιο, ένα διψήφιο, και ένα τριψήφιο αριθμό. Κάθε ψηφίο πρέπει να χρησιμοποιηθεί ακριβώς από μία φορά. Το άθροισμα του μονοψήφιου και του διψήφιου αριθμού ισούται με . Το άθροισμα του διψήφιου και του τριψήφιου αριθμού ισούται με . Να βρεθεί το άθροισμα όλων των αριθμών.
Άσκηση 7: To είναι σημείο στην πλευρά του τετραγώνου ώστε και . Το είναι σημείο της διαγωνίου . Ποια είναι η μικρότερη δυνατή τιμή, σε , του ;
Άσκηση 8: Σε ένα σύνολο διαφορετικών θετικών ακεραίων, ο μεγαλύτερος είναι μικρότερος του , και ισούται με τρεις φορές τον μικρότερο. Ο μικρότερος ισούται με τα δύο τρίτα του μέσου όρου όλων των αριθμών. Πόσοι το πολύ είναι οι αριθμοί του συνόλου;
Άσκηση 9: Το πιο κάτω διάγραμμα δείχνει την κάτοψη ενός κτιρίου φτιαγμένου από εννιά στήλες μοναδιαίων κύβων. (Δεν υπάρχουν κενά στις στοίβες.) Ο αριθμός των κύβων σε κάθε στοίβα είναι καταγεγραμμένος στο διάγραμμα. Χρωματίζουμε την εξωτερική επιφάνεια του κτιρίου, συμπεριλαμβανομένων των εννέα τετραγώνων που αγγίζουν το πάτωμα. Πόσες συνολικά έδρες έχουμε χρωματίσει;
Άσκηση 10: Δίνονται τέσσερις τριψήφιοι αριθμοί με άθροισμα . Το άθροισμα των ψηφίων κάθε ενός εκ των τεσσάρων αριθμών είναι το ίδιο. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των τιμών που μπορεί να πάρει αυτό το κοινό άθροισμα ψηφίων.
Άσκηση 11: Έχουμε τρεις θετικούς ακεραίους. Ο πρώτος είναι διψήφιος αριθμός ο οποίος αποτελείται από δύο ίδια ψηφία. Ο δεύτερος είναι διψήφιος αριθμός, ο οποίος αποτελείται από δύο διαφορετικά ψηφία, και του οποίου το ψηφίο των μονάδων είναι το ίδιο με αυτό του πρώτου αριθμού. Ο τρίτος είναι μονοψήφιος αριθμός, με το ψηφίο του να ισούται με το ψηφίο των δεκάδων του δεύτερου αριθμού. Ακριβώς δύο από αυτούς τους αριθμούς είναι πρώτοι. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε αυτούς τους αριθμούς;
Άσκηση 12: Διαιρούμε έναν θετικό ακέραιο με το και καταγράφουμε το πηλίκο και το υπόλοιπο. Ακολούθως διαιρούμε και πάλι τον ίδιο θετικό ακέραιο με το και καταγράφουμε πάλι το πηλίκο και το υπόλοιπο. Αν οι ίδιοι αριθμοί αλλά με διαφορετική σειρά έχουν καταγραφεί, να βρεθεί το γινόμενο όλων των δυνατών τιμών του αρχικού αριθμού.
Άσκηση 13: Το είναι σημείο της πλευράς του τετραγώνου ώστε . Το είναι το μέσο της πλευράς . Τα και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν του ισούται με , να υπολογιστεί το εμβαδόν, σε , του πενταγώνου .
Άσκηση 14: Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τους αριθμούς σε τέσσερις ομάδες των τριών αριθμών, ώστε σε κάθε ομάδα το άθροισμα να είναι πολλαπλάσιο του ;
Άσκηση 15: (Διορθωμένο) Ένας αριθμός από τους ονομάζεται ακόλουθος ενός άλλου αριθμού από τους αν είτε ο δεύτερος αριθμός είναι μεγαλύτερος του πρώτου με διαφορά μεταξύ και (συμπεριλαμβανομένων) ή ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος του δεύτερου με διαφορά μεταξύ και (συμπεριλαμβανομένων). Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε τρεις αριθμούς από τους ώστε ο πρώτος να είναι ακόλουθος του δεύτερου, ο δεύτερος ακόλουθος του τρίτου, και ο πρώτος ακόλουθος του τρίτου;