Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2018
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2018
Πρόβλημα 1
Μια ράβδος μήκους κόβεται σε κομμάτια μήκους τέτοια ώστε:
i. με και
ii.
Αποδείξτε ότι με οποιοδήποτε τρόπο γίνει η κοπή, ώστε να ικανοποιούνται οι πιο πάνω συνθήκες, θα υπάρχουν τρία κομμάτια που θα σχηματίζουν τρίγωνο.
Πρόβλημα 2
Να βρείτε όλους τους που ικανοποιούν το σύστημα ανισώσεων:
Πρόβλημα 3
Θεωρούμε όλους τους αριθμούς της μορφής και να είναι πρώτοι αριθμοί και όλους τους αριθμούς της μορφής με και περιττός αριθμός.
(α) Να αποδείξετε ότι τα είναι της μορφής ή , .
(β) Να βρείτε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη όλων των πιο πάνω αριθμών και να είναι πρώτοι αριθμοί και με και περιττός αριθμός.
Πρόβλημα 4
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και το περίκεντρό του. Οι ημιευθείες και τέμνουν τις πλευρές στα σημεία , αντίστοιχα. Από το σημείο φέρουμε ευθεία παράλληλη στην που τέμνει την στο σημείο . Έστω το σημείο τομής της μεσοκάθετης του με την . Φέρουμε τον κύκλο και ονομάζουμε το ημικύκλιο του κύκλο αυτού που βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η με την κορυφή . Αν οι εφαπτομένες από τα σημεία εφάπτονται του στα σημεία , αντίστοιχα, και το μέσον του , να αποδείξετε ότι .
Μια ράβδος μήκους κόβεται σε κομμάτια μήκους τέτοια ώστε:
i. με και
ii.
Αποδείξτε ότι με οποιοδήποτε τρόπο γίνει η κοπή, ώστε να ικανοποιούνται οι πιο πάνω συνθήκες, θα υπάρχουν τρία κομμάτια που θα σχηματίζουν τρίγωνο.
Πρόβλημα 2
Να βρείτε όλους τους που ικανοποιούν το σύστημα ανισώσεων:
Πρόβλημα 3
Θεωρούμε όλους τους αριθμούς της μορφής και να είναι πρώτοι αριθμοί και όλους τους αριθμούς της μορφής με και περιττός αριθμός.
(α) Να αποδείξετε ότι τα είναι της μορφής ή , .
(β) Να βρείτε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη όλων των πιο πάνω αριθμών και να είναι πρώτοι αριθμοί και με και περιττός αριθμός.
Πρόβλημα 4
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και το περίκεντρό του. Οι ημιευθείες και τέμνουν τις πλευρές στα σημεία , αντίστοιχα. Από το σημείο φέρουμε ευθεία παράλληλη στην που τέμνει την στο σημείο . Έστω το σημείο τομής της μεσοκάθετης του με την . Φέρουμε τον κύκλο και ονομάζουμε το ημικύκλιο του κύκλο αυτού που βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η με την κορυφή . Αν οι εφαπτομένες από τα σημεία εφάπτονται του στα σημεία , αντίστοιχα, και το μέσον του , να αποδείξετε ότι .
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2018
Όλα ωραία τα προβλήματα αλλά τούτο μου τράβηξε ιδιαίτερα την προσοχή.
Χωρίς βλάβη . Έτσι και από την i. είναι .
Έστω για κάποια κοπή δεν υπήρχε τρίγωνο από τα κομμάτια. Έπεται ότι γιατί αν ήταν τότε τα θα σχημάτιζαν τρίγωνο: Υπενθυμίζω, αρκεί να ισχύει η τριγωνική ανισότητα για την μεγαλύτερη πλευρά. Οι άλλες δύο τριγωνικές ανισότητες είναι αυτόματες, και με περίσσευμα.
Όμοια , και άρα , οπότε και . Αλλά τότε . Άτοπο. Και λοιπά.
(Σχόλιο: Για γενικεύσεις, από πίσω κρύβεται η ακολουθία Fibonacci).
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2018
Παρατηρούμε αρχικά πως (εύκολο)Soteris έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 13, 2018 1:36 pm
Πρόβλημα 4
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και το περίκεντρό του. Οι ημιευθείες και τέμνουν τις πλευρές στα σημεία , αντίστοιχα. Από το σημείο φέρουμε ευθεία παράλληλη στην που τέμνει την στο σημείο . Έστω το σημείο τομής της μεσοκάθετης του με την . Φέρουμε τον κύκλο και ονομάζουμε το ημικύκλιο του κύκλο αυτού που βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η με την κορυφή . Αν οι εφαπτομένες από τα σημεία εφάπτονται του στα σημεία , αντίστοιχα, και το μέσον του , να αποδείξετε ότι .
Ακόμα αφού η είναι εφαπτόμενη έχουμε πως
Θα αποδείξουμε αρχικά πως .
Πράγματι αφού και προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα, επομένως , άρα .
Έτσι προκύπτει σύμφωνα με τα παραπάνω πως .
Προκύπτει ακόμα πως τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Έστω το μέσο του και το σημείο τομής των και .
Προφανώς από την ομοιότητα των και ισχύει ότι .
Θα αποδείξουμε πως τα σημεία είναι συνευθειακά.
Αρκεί να αποδείξουμε πως τα σημεία είναι συνευθειακά.
Ισχύει ότι (αφού το είναι ισοσκελές).
Έχουμε ότι (1).
Από την ομοιότητα των και ισχύει ακόμα ότι (2).
Από (1) και (2) προκύπτει ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια, άρα αφού προκύπτει ότι
Αφού λοιπόν , προκύπτει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, άρα και τα σημεία είναι συνευθειακά.
Επομένως .
Όμως αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές ( και εφαπτόμενες), ισχύει ότι .
Συνεπώς .
Ο κύκλος με κέντρο θα μπορούσε να ήταν ένας τυχαίος κύκλος...
Houston, we have a problem!
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2018
Θέτουμε και το σύστημα γράφεται
Με πρόσθεση αυτών καταλήγουμε στην
Τότε οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται
Άρα οπότε
Τελικά, υπάρχουν δύο λύσεις του αρχικού συστήματος, οι
Μάγκος Θάνος
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2018
Soteris έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 13, 2018 1:36 pm
Πρόβλημα 4
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και το περίκεντρό του. Οι ημιευθείες και τέμνουν τις πλευρές στα σημεία , αντίστοιχα. Από το σημείο φέρουμε ευθεία παράλληλη στην που τέμνει την στο σημείο . Έστω το σημείο τομής της μεσοκάθετης του με την . Φέρουμε τον κύκλο και ονομάζουμε το ημικύκλιο του κύκλο αυτού που βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η με την κορυφή . Αν οι εφαπτομένες από τα σημεία εφάπτονται του στα σημεία , αντίστοιχα, και το μέσον του , να αποδείξετε ότι .
Λόγω του εγγραψίμου είναι . Λόγω της ομοιότητας των ,Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 13, 2018 2:53 pm
Ο κύκλος με κέντρο θα μπορούσε να ήταν ένας τυχαίος κύκλος...
( γωνίες βάσης ) , όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες . Τότε όμως ,
συνεπώς το είναι σημείο του περικύκλου . Η είναι κι αυτή - προφανώς - ίση με τη .
Εικάζω ότι ο θεματοδότης είχε κι άλλο ερώτημα , πιθανόν γι αυτό κάποια δεδομένα φαίνονται περιττά .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: andrei.eckstein και 6 επισκέπτες