Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Πρόβλημα 1
Ένα σχολείο έχει μαθητές. Σε μια έρευνα που έγινε στο σχολείο διαπιστώθηκε ότι:
i. Οι μαθητές έχουν στην κατοχή τους ποδήλατο.
ii. Οι μαθητές έχουν κινητό τηλέφωνο.
iii. Οι μαθητές έχουν μπάλα ποδοσφαίρου.
iv. Οι μαθητές έχουν ηλεκτρονικό υπολογιστή.
Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό μαθητών που έχουν σίγουρα στην κατοχή τους και ποδήλατο και κινητό τηλέφωνο και μπάλα ποδοσφαίρου και ηλεκτρονικό υπολογιστή.
Πρόβλημα 2
Δίνεται ο αριθμός , με και να είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη , για τα οποία ο αριθμός είναι ακέραιος.
Πρόβλημα 3
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο . Φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών , αντίστοιχα. Από την κορυφή φέρουμε τις κάθετες και προς τις και , οι οποίες τέμνουν τις διχοτόμους στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω τα σημεία τομής των και με την ευθεία , αντίστοιχα. Αν είναι τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(β)
Σημείωση: Με συμβολίζουμε τον εμβαδόν του σχήματος .
Πρόβλημα 4
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε . Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του .
Ένα σχολείο έχει μαθητές. Σε μια έρευνα που έγινε στο σχολείο διαπιστώθηκε ότι:
i. Οι μαθητές έχουν στην κατοχή τους ποδήλατο.
ii. Οι μαθητές έχουν κινητό τηλέφωνο.
iii. Οι μαθητές έχουν μπάλα ποδοσφαίρου.
iv. Οι μαθητές έχουν ηλεκτρονικό υπολογιστή.
Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό μαθητών που έχουν σίγουρα στην κατοχή τους και ποδήλατο και κινητό τηλέφωνο και μπάλα ποδοσφαίρου και ηλεκτρονικό υπολογιστή.
Πρόβλημα 2
Δίνεται ο αριθμός , με και να είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη , για τα οποία ο αριθμός είναι ακέραιος.
Πρόβλημα 3
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο . Φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών , αντίστοιχα. Από την κορυφή φέρουμε τις κάθετες και προς τις και , οι οποίες τέμνουν τις διχοτόμους στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω τα σημεία τομής των και με την ευθεία , αντίστοιχα. Αν είναι τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(β)
Σημείωση: Με συμβολίζουμε τον εμβαδόν του σχήματος .
Πρόβλημα 4
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε . Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του .
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Δείτε το πρόβλημα 4 της Β Λυκείου: http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... 1_2016.pdf
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
α) Τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα διότι έχουν ΆραSoteris έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 13, 2018 1:35 pm
Πρόβλημα 3
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο . Φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών , αντίστοιχα. Από την κορυφή φέρουμε τις κάθετες και προς τις και , οι οποίες τέμνουν τις διχοτόμους στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω τα σημεία τομής των και με την ευθεία , αντίστοιχα. Αν είναι τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(β)
Σημείωση: Με συμβολίζουμε τον εμβαδόν του σχήματος .
Επίσης, επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ισογώνια, οπότε άρα
το είναι ισοσκελές κι επειδή θα είναι και το ζητούμενο έπεται.
β) Έστω οι προβολές των στην Επειδή είναι το μέσο της θα είναι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες