Μαθηματική Ολυμπιάδα Λέοναρντ Όιλερ 2017, για την 8η τάξη
Επειδή οι δύο τελευταίες φάσεις την πανρωσικής ολυμπιάδας διεξάγονται μόνο για τις τάξεις 9-11, για την όγδοη τάξη διεξάγεται μια διαφορετική ολυμπιάδα. Το όνομα αυτής «Λέοναρντ Όιλερ». Διεξάγεται σε τρείς φάσης και μπορούν να συμμετάσχουν και παιδιά μικρότερων τάξεων. Αξιοσημείωτο είναι ότι οι διακριθέντες μαθητές καλούνται σε καλοκαιρινό σχολείο 24ημερών στο Σότσι με τα έξοδα μεταφοράς διαμονής πληρωμένα.
Παρακάτω τα περσινά θέματα της τελικής φάσης.
Πρώτη Μέρα
1. Μπορεί άραγε σε κάθε ψηφίο από το έως το να αντιστοιχίσουμε μία τιμή έτσι, ώστε όλες οι δέκα τιμές να είναι διαφορετικές μεταξύ τους και να βρεθούν 20 διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, ο καθένας εκ των οποίων, εξαιρουμένου του πρώτου, να κοστίζει περισσότερο από τον προηγούμενό του; Εδώ η τιμή ενός φυσικού αριθμού είναι το άθροισμα των τιμών των ψηφίων που τον αποτελούν.
2. Η γραφική παράσταση , όπου , έχει με τον άξονα των τεταγμένων κοινό το σημείο και ο άξονας των τετμημένων την τέμνει στα σημεία και . Συμβολίζουμε με την αρχή των αξόνων. Αποδείξτε, ότι
3. Οι διαγώνιοι κυρτού τετράπλευρου τέμνονται στο σημείο . Είναι γνωστό, ότι . Αποδείξτε, ότι .
4. Ο Δίας έχει ένα ζυγό, με τον οποίο έχει την δυνατότητα να μετρήσει το βάρος του φορτίου που τοποθετείτε σε αυτό και ένα σάκο με νομίσματα, μεταξύ των οποίων υπάρχουν των και γραμμαρίων. Του Δία του είναι γνωστό το συνολικό πλήθος , νομισμάτων των γραμμαρίων που περιέχει ο σάκος, αλλά του είναι άγνωστο ποια ακριβώς και πόσο ζυγίζουν. Θέλει να κάνει τέσσερεις ζυγίσεις στο ζυγό και ως αποτέλεσμα εγγυημένα να βρει τουλάχιστον ένα νόμισμα των γραμμαρίων. Για ποιο μέγιστο αυτό είναι δυνατό;
Δεύτερη Μέρα
5. Ένας μη μηδενικός φυσικός αριθμός διαιρέθηκε (Ευκλείδεια διαίρεση) με τους αριθμούς . Μπορεί άραγε μεταξύ των υπολοίπων ακριβώς από φορές να προκύψουν οι αριθμοί ;
6. Στο κυρτό τετράπλευρο οι γωνίες και είναι ίσες με . Στις πλευρές και θεωρούμε δυο σημεία και αντίστοιχα έτσι, ώστε . Προέκυψε, ότι η ευθεία είναι παράλληλη προς την διχοτόμο της γωνίας . Να βρείτε την γωνία .
7. Δίνεται κύκλος μήκους 90. Μπορούμε άραγε να σημειώσουμε σε αυτόν σημεία έτσι, ώστε μεταξύ των τόξων με άκρα αυτά τα σημεία να προκύψουν τόξα με μήκη όλους τους ακέραιους από το έως το ;
8. Δίνεται περιττός φυσικός αριθμός , μεγαλύτερος του . Στον πίνακα γράφτηκαν όλοι οι μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί της μορφής , όπου μη μηδενικός φυσικός αριθμός. Προέκυψε, ότι για όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι πρώτοι. Αποδείξετε, ότι και ο κάθε ένας από τους υπόλοιπους φυσικούς αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα είναι είτε πρώτος είτε ίσος με ένα.
- Αρχική σελίδα Αρχική Σελίδα Ευρετήριο Δ. Συζήτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Αναζήτηση
-
- Τώρα είναι Παρ Απρ 19, 2024 9:21 pm
- Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+03:00
Μαθηματική Ολυμπιάδα Λέοναρντ Όιλερ 2017
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μαθηματική Ολυμπιάδα Λέοναρντ Όιλερ 2017
Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Ιαν 11, 2018 11:09 pm
Λέξεις Κλειδιά:
Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”
Μετάβαση σε
- Γενικά Μηνύματα
- ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR
- ΓΥΜΝΑΣΙΟ
- ↳ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- ↳ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- ↳ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- ΛΥΚΕΙΟ
- ↳ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ
- ↳ ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα A
- ↳ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία A
- ↳ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ
- ↳ ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα Β
- ↳ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία Β
- ↳ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού Β
- ↳ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ
- ↳ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'
- ↳ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
- ↳ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
- ↳ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
- ↳ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- ↳ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- ↳ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
- ↳ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- ΕΠΑ.Λ.
- ΔΗΜΟΤΙΚΟ
- Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
- ↳ Πανελλήνιες Εξετάσεις
- ↳ Εξετάσεις Σχολών
- ↳ Εξετάσεις Προτύπων και Πειραματικών Σχολείων
- ↳ Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
- ↳ Εξετάσεις Δεσμών
- ↳ Α' Δέσμη
- ↳ Δ' Δέσμη
- Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ
- ↳ Άλγεβρα
- ↳ Ανάλυση
- ↳ Γεωμετρία
- ↳ Στατιστική-Πιθανότητες
- ↳ Γενικά
- ↳ Μαθηματική απόδειξη & Λογική
- ↳ Σχολικά Βιβλία, Οδηγίες κ.α.
- ↳ Σχολικά Βιβλία του ΟΕΔΒ και Βιβλία Καθηγητή
- ↳ Βιβλία του Κέντρου Εκπαιδευτικής 'Ερευνας
- ↳ Οδηγίες Διδασκαλίας του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου κ.α.
- ↳ Οδηγίες Διδασκαλίας από Σχολικούς Συμβούλους κ.α.
- ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α.Σ.Ε.Π.
- ↳ Γενική Συζήτηση - Σχόλια
- ↳ Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Α.Ε.Ι.
- ↳ ΑΝΑΛΥΣΗ
- ↳ ΑΛΓΕΒΡΑ
- ↳ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
- ↳ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- ↳ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
- ↳ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ
- ↳ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
- ↳ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
- ↳ Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
- ↳ Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ
- ↳ Βασικά Θεωρήματα, Τεχνικές και Προτάσεις
- ↳ Άλγεβρα
- ↳ Γεωμετρία
- ↳ Θεωρία Αριθμών
- ↳ Συνδυαστική
- ↳ Θέματα για Γυμνάσιο - Juniors
- ↳ Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- ↳ Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- ↳ Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- ↳ Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Θέματα για Λύκειο - Seniors
- ↳ Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- ↳ Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- ↳ Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- ↳ Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Διαγωνισμοί για φοιτητές
- ↳ Βασικά Θεωρήματα, Τεχνικές και Προτάσεις (Φοιτητές)
- ↳ Άλγεβρα (Φοιτητές)
- ↳ Ανάλυση (Φοιτητές)
- ↳ Γεωμετρία (Φοιτητές)
- ↳ Θεωρία Αριθμών (Φοιτητές)
- ↳ Συνδυαστική-Πιθανότητες (Φοιτητές)
- ↳ Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Ιστορία των Μαθηματικών
- Διδακτική των Μαθηματικών
- ↳ Διαδραστικοί & σχέδια μαθημάτων με λογισμικό
- ↳ Ερευνητικές εργασίες (project)
- Μαθηματικά Κείμενα-Μελέτες
- Εκπαιδευτικά Θέματα
- Παιδαγωγικά Θέματα
- Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Άρθρα αρχικής σελίδας
- Ευρετήρια θεμάτων mathematica.gr
- ΟΔΗΓΙΕΣ LaTeX - ΛΟΓΙΣΜΙΚΑ - ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ - EBOOKS - ΝΕΕΣ ΠΡΟΣΘΗΚΕΣ
- ↳ Οδηγίες για γραφή με TeX
- ↳ Πακέτα και γραφή σε TeX-κειμενογράφο
- ↳ Δοκιμές γραφής με TeX
- ↳ Χρήσιμες Μαθηματικές Ιστοσελίδες
- ↳ Χρήσιμες Ιστοσελίδες (μη μαθηματικού περιεχομένου)
- ↳ Ελεύθερα ηλεκτρονικά Βιβλία (free e-books)
- ↳ Μαθηματικό Λογισμικό
- ↳ Μαθηματικά & Τεχνολογία
- ↳ Νέες Προσθήκες
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες