Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 427
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Δεκ 02, 2017 1:46 pm

Α΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Δύο φίλοι, οι \displaystyle{A} και \displaystyle{B}, έχουν από μια υπολογιστική μηχανή και αρχίζουν να κάνουν πράξεις ταυτόχρονα. Ο \displaystyle{A} ξεκινά με τον αριθμό \displaystyle{100} και σε κάθε βήμα προσθέτει \displaystyle{3}, ενώ ο \displaystyle{B} ξεκινά με τον αριθμό \displaystyle{2018} και σε κάθε βήμα αφαιρεί \displaystyle{4}. Ύστερα από \displaystyle{\nu} βήματα, οι δύο φίλοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα.

(α) Να βρείτε την τιμή του \displaystyle{\nu}.
(β) Ποιο είναι το κοινό αποτέλεσμα στο οποίο καταλήγουν οι δύο φίλοι;

Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma}. Το \displaystyle{A\Delta} είναι ύψος του τριγώνου \displaystyle{AB\Gamma}, το \displaystyle{E} είναι το μέσο του \displaystyle{\Delta\Gamma} και το \displaystyle{Z} είναι σημείο του \displaystyle{A\Delat}, ώστε το μήκος του \displaystyle{\Delta Z} να είναι διπλάσιο από το μήκος του \displaystyle{AZ}. Αν το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{ABZ} είναι \displaystyle{5\; cm^2} και το εμβαδόν του τετραπλεύρου \displaystyle{A\Gamma EZ} είναι \displaystyle{30\; cm^2}, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{BEZ}.
Pagk_A2.png
Pagk_A2.png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές
Πρόβλημα 3

Τρία δοχεία, τα \displaystyle{A, B} και \displaystyle{\Gamma}, περιέχουν διάλυμα νερού με οξύ. Το δοχείο \displaystyle{A} περιέχει \displaystyle{400\; ml} διάλυμα με περιεκτικότητα \displaystyle{45\%} σε οξύ. Το δοχείο \displaystyle{B} περιέχει \displaystyle{500\; ml} διάλυμα με περιεκτικότητα \displaystyle{48\%} σε οξύ. Το δοχείο \displaystyle{\Gamma} περιέχει \displaystyle{100\; ml} διάλυμα με άγνωστη περιεκτικότητα σε οξύ. Αδειάζουμε όλη την ποσότητα διαλύματος του δοχείου \displaystyle{\Gamma} στα δύο πρώτα δοχεία, ώστε και τα δύο να έχουν τώρα διάλυμα με περιεκτικότητα \displaystyle{50\%} σε οξύ το καθένα. Να υπολογίσετε την ποσότητα (σε \displaystyle{ml}) από διάλυμα που προσθέσαμε στο δοχείο \displaystyle{A}.

Πρόβλημα 4

Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς που είναι μικρότεροι του \displaystyle{2017} και οι οποίοι όταν διαιρεθούν με τους αριθμούς \displaystyle{7,8} και \displaystyle{9} αφήνουν υπόλοιπα \displaystyle{6,7} και \displaystyle{8}, αντίστοιχα.


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 427
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Κυρ Δεκ 03, 2017 12:28 pm

Β΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Ίδιο με το πρόβλημα 2 της Α΄ Γυμνασίου.

Πρόβλημα 2

Τρεις φίλοι, οι \displaystyle{A, B} και \displaystyle{\Gamma}, έχουν από μια υπολογιστική μηχανή και αρχίζουν να κάνουν πράξεις ταυτόχρονα. Ο \displaystyle{A} ξεκινά με τον αριθμό \displaystyle{100} και σε κάθε βήμα προσθέτει \displaystyle{3}, ο \displaystyle{B} ξεκινά με τον αριθμό \displaystyle{2018} και σε κάθε βήμα αφαιρεί \displaystyle{4}, ενώ ο \displaystyle{\Gamma} ξεκινά με τον αριθμό \displaystyle{N} και στο πρώτο βήμα προσθέτει \displaystyle{1}, στο δεύτερο βήμα \displaystyle{2}, στο τρίτο βήμα \displaystyle{3}, κ.ο.κ. Αν ύστερα από \displaystyle{\nu} βήματα οι τρεις φίλοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα, να βρείτε τον αριθμό \displaystyle{N}.

Πρόβλημα 3

Ο Γιώργος χρωστά στον Γιάννη €\displaystyle{132}. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ο Γιώργος να ξεπληρώσει το χρέος του, χρησιμοποιώντας κέρματα του €\displaystyle{1} και χαρτονομίσματα των €\displaystyle{5} και €\displaystyle{10};

Σημείωση: Σε κάθε τρόπο μας ενδιαφέρει το πλήθος των νομισμάτων και όχι η σειρά με την οποία επιλέγονται π.χ. ένας τρόπος είναι «\displaystyle{32} κέρματα του €\displaystyle{1} και \displaystyle{10} χαρτονομίσματα των €\displaystyle{10}».

Πρόβλημα 4

(α) Να δείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{\alpha, \beta} ισχύει ότι: \displaystyle{\alpha^2-\beta^2=(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)}

(β) Έστω \displaystyle{x, y} θετικοί πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι \displaystyle{x+y=xy=y^2-x^2}.

i. Να δείξετε ότι \displaystyle{x-\frac{1}{x}=1}.
ii. Να δείξετε ότι ο \displaystyle{x^3-\frac{1}{x^3}} είναι ακέραιος αριθμός.


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 427
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Δευ Δεκ 04, 2017 1:26 pm

Γ΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Δίνονται θετικοί πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x,y} τέτοιοι, ώστε ο αριθμός \displaystyle{\frac{x}{y}} να είναι ακέραιος και να ισχύει ότι: \displaystyle{\frac{3}{7}<\frac{2x+y}{3x+10y}<\frac{4}{9}}

Να βρείτε τον αριθμό \displaystyle{\frac{x}{y}}.


Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα το \displaystyle{AB\Gamma\Gelta} είναι τετράγωνο πλευράς \displaystyle{1\; cm} και το \displaystyle{AE\Gamma} είναι τόξο με κέντρο το \displaystyle{\Delta} και ακτίνα \displaystyle{\Delta\Gamma}. Ο κύκλος με κέντρο το \displaystyle{K} και ακτίνα \displaystyle{KE} εφάπτεται στις πλευρές \displaystyle{AB, B\Gamma} και στο τόξο \displaystyle{AE\Gamma}.

(α) Να δείξετε ότι \displaystyle{(KE)=(3-2\sqrt{2})\;  cm}.
(β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής.
Pagk_C2.png
Pagk_C2.png (20.56 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές
Πρόβλημα 3

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=\frac{12345^2}{54321\cdot 66666}+\frac{54321^2}{12345\cdot 66666}-\frac{66666^2}{12345\cdot 54321}}

Πρόβλημα 4

Έστω \displaystyle{\alpha, \beta, \gamma} ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι \displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=0}.
Να δείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{\frac{\alpha^4+\beta^4+\gamma^4}{2}} είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού.


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 611
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Δεκ 04, 2017 9:41 pm

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 04, 2017 1:26 pm
Γ΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

Έστω \displaystyle{\alpha, \beta, \gamma} ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι \displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=0}.
Να δείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{\frac{\alpha^4+\beta^4+\gamma^4}{2}} είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού.
Από την ταυτότητα Euler είναι a^3+b^3+c^3=3abc οπότε έχουμε διαδοχικά

a^3+b^3 = 3abc-c^3 \Rigtharrow

(a^3+b^3)(a+b) = (3abc-c^3)(a+b) \Rightarrow

a^4+b^4 +ab(a^2+b^2) = (3abc-c^3) (-c) \Rightarrow

a^4+b^4+c^4 = (3abc-c^3) (-c) -ab(a^2+b^2)+c^4 \Rightarrow

a^4+b^4+c^4 = -3abc^2+c^4 -ab((a+b)^2-2ab) +c^4 \Rightarrow

a^4+b^4+c^4 = -3abc^2+2c^4-ab((-c)^2-2ab) \Rightarrow

a^4+b^4+c^4= 2c^4 -3abc^2 -abc^2+2(ab)^2 \Rightarrow

a^4+b^4+c^4 = 2c^4 -4abc^2+2(ab)^2 = 2(c^2-ab)^2

Γεγονός που αποδεικνύει το ζητούμενο


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3023
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Δεκ 04, 2017 10:22 pm

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 04, 2017 1:26 pm
Πρόβλημα 3

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=\frac{12345^2}{54321\cdot 66666}+\frac{54321^2}{12345\cdot 66666}-\frac{66666^2}{12345\cdot 54321}}
Έχουμε διαδοχικά:
\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{A} &= \frac{12345^2}{54321 \cdot 66666} + \frac{54321^2}{12345 \cdot 66666} - \frac{66666^2}{12345 \cdot 54321} \\\\ 
 &= \frac{12345^3}{1234 \cdot 54321 \cdot 66666} + \frac{54321^3}{54321 \cdot 12345 \cdot 66666} - \frac{66666^3}{66666 \cdot 12345 \cdot 54321}\\\\ 
 &= \frac{12345^3 + 54321^3 -66666^3}{54321 \cdot 12345 \cdot 66666} \\\\ 
 &=- \frac{3 \cdot 12345 \cdot 54321 \cdot 66666}{12345 \cdot 54321 \cdot 66666} \\  
 &=-3  
\end{aligned}}
διότι είναι 12345  + 54321 - 66666 =0 οπότε 12345^3  + 54321^3 - 66666^3 = - 3 \cdot 12345 \cdot 54321 \cdot 66666 .


Βέβαια οι αριθμοί δε παίζουν κανένα ρόλο. Μπορούμε να το κάνουμε με \alpha , \beta , \gamma τέτοιους ώστε \alpha + \beta  + \gamma=0 οπότε και θα ισχύει \alpha^3 + \beta + \gamma^3 = 3 \alpha \beta \gamma.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6095
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 05, 2017 8:59 am

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 04, 2017 1:26 pm
Γ΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

Έστω \displaystyle{\alpha, \beta, \gamma} ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι \displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=0}.
Να δείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{\frac{\alpha^4+\beta^4+\gamma^4}{2}} είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού.
\displaystyle \alpha  + \beta  =  - \gamma  \Rightarrow {(\alpha  + \beta )^4} = {\gamma ^4}

\displaystyle \frac{{{\alpha ^4} + {\beta ^4} + {\gamma ^4}}}{2} = \frac{{{\alpha ^4} + {\beta ^4} + {{(\alpha  + \beta )}^4}}}{2} = \frac{{{\alpha ^4} + {\beta ^4} + {{({\alpha ^2} + 2\alpha \beta  + {\beta ^2})}^2}}}{2} =

\displaystyle \frac{{{\alpha ^4} + {\beta ^4} + {{({\alpha ^2} + {\beta ^2})}^2} + 4{\alpha ^2}{\beta ^2} + 4\alpha \beta ({\alpha ^2} + {\beta ^2})}}{2} = \frac{{2{{({\alpha ^2} + {\beta ^2})}^2} + 2{\alpha ^2}{\beta ^2} + 4\alpha \beta ({\alpha ^2} + {\beta ^2})}}{2} =

\displaystyle {({\alpha ^2} + {\beta ^2})^2} + 2\alpha \beta ({\alpha ^2} + {\beta ^2}) + {\alpha ^2}{\beta ^2} = {({\alpha ^2} + \alpha \beta  + {\beta ^2})^2}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6095
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 05, 2017 10:01 am

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 04, 2017 1:26 pm
Γ΄ Γυμνασίου



Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα το \displaystyle{AB\Gamma\Gelta} είναι τετράγωνο πλευράς \displaystyle{1\; cm} και το \displaystyle{AE\Gamma} είναι τόξο με κέντρο το \displaystyle{\Delta} και ακτίνα \displaystyle{\Delta\Gamma}. Ο κύκλος με κέντρο το \displaystyle{K} και ακτίνα \displaystyle{KE} εφάπτεται στις πλευρές \displaystyle{AB, B\Gamma} και στο τόξο \displaystyle{AE\Gamma}.

(α) Να δείξετε ότι \displaystyle{(KE)=(3-2\sqrt{2})\;  cm}.
(β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής
Παγκύπριος 2017 (Γ. Γυμνάσιο).II.png
Παγκύπριος 2017 (Γ. Γυμνάσιο).II.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές
α) Έστω \rho η ακτίνα του κύκλου. Με Πυθαγόρειο βρίσκω ότι B\Delta =\sqrt 2 και \displaystyle {\rm B}\Delta  = 1 + \rho  + {\rm B}{\rm K} \Leftrightarrow {\rm B}{\rm K} = \sqrt 2  - \rho  - 1

\displaystyle {\rm K}{\rm Z}||\Delta \Gamma  \Leftrightarrow \frac{\rho }{1} = \frac{{{\rm B}{\rm K}}}{{{\rm B}\Delta }} \Leftrightarrow \rho  = \frac{{\sqrt 2  - \rho  - 1}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \rho \sqrt 2  + \rho  = \sqrt 2  - 1 \Leftrightarrow \rho (\sqrt 2  + 1) = \sqrt 2  - 1 \Leftrightarrow

\displaystyle \rho  = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  + 1}} = \frac{{{{(\sqrt 2  - 1)}^2}}}{{(\sqrt 2  + 1)(\sqrt 2  - 1)}} \Leftrightarrow \boxed{\rho  = (3 - 2\sqrt 2 )cm}

β) Έστω S το ζητούμενο εμβαδόν, E_T το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου και E_k το εμβαδόν του κύκλου.

\displaystyle S = ({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) - {E_T}-{E_k} } = 1 - \frac{\pi }{4} - \pi {(3 - 2\sqrt 2 )^2} = 1 - \frac{\pi }{4} - \pi (17 - 12\sqrt 2 ) \Leftrightarrow

\boxed{S = \frac{{4 - (69 - 48\sqrt 2 )\pi }}{4}c{m^2}}


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 23
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Τετ Δεκ 06, 2017 7:40 pm

Α΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma}. Το \displaystyle{A\Delta} είναι ύψος του τριγώνου \displaystyle{AB\Gamma}, το \displaystyle{E} είναι το μέσο του \displaystyle{\Delta\Gamma} και το \displaystyle{Z} είναι σημείο του \displaystyle{A\Delat}, ώστε το μήκος του \displaystyle{\Delta Z} να είναι διπλάσιο από το μήκος του \displaystyle{AZ}. Αν το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{ABZ} είναι \displaystyle{5\; cm^2} και το εμβαδόν του τετραπλεύρου \displaystyle{A\Gamma EZ} είναι \displaystyle{30\; cm^2}, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{BEZ}.

Pagk_A2.png

Εφόσον το μήκος του \displaystyle{\displaystyle{\Delta Z}} είναι διπλάσιο από το μήκος του \displaystyle{\displaystyle{AZ}}, το\displaystyle{E\bigtriangleup B\Delta Z=2E\bigtriangleup ABZ=2\cdot 5=10 cm^2}


Προσθέτουμε την βοηθητική γραμμή \displaystyle{AE}. Γνωρίζουμε ότι \displaystyle{\displaystyle{E}} είναι το μέσο του \displaystyle{\displaystyle{\Delta\Gamma}} επομένως \displaystyle{E\bigtriangleup A\Delta E=E\bigtriangleup AE\Gamma}

E\bigtriangleup AE\Gamma =30- \frac{1}{3} E\bigtriangleup A\Delta E=E\bigtriangleup A\Delta E
\frac{4}{3}E\bigtriangleup A\Delta E=30cm^{2}

E\bigtriangleup A\Delta E=\frac{90}{4}cm^{2}

E\bigtriangleup Z\Delta E=\frac{2}{3}E\bigtriangleup A\Delta E=\frac{2}{3}\cdot \frac{90}{4}=15cm^{2}
\boxed { E\bigtriangleup BEZ=E\bigtriangleup B\Delta Z+E\bigtriangleup Z\Delta E=10+15=25cm^{2}}
Συνημμένα
Πρόβλημα 2.png
Πρόβλημα 2.png (22.63 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες