ΘΑΛΗΣ 2017

#1

Τα θέματα του 2017 !!!

Αναρτήστε τις ωραίες λύσεις και τα σχόλιά σας .

Εύχομαι καλές εμπνύσεις !

Καλά αποτελέσματα στους μαθητές που διαγωνίστηκαν !!!

Μπ

(Δόθηκε οδηγία ότι ο ν είναι φυσικός σε σχετικό θέμα της Β΄Λυκείου)

#2

ΘΕΜΑ 2/ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Με συμπλήρωση τετραγώνου παίρνουμε

x^2+4y^2+9z^2-4x-4y+12z+6=(x-2)^2+(2y-1)^2+(3z+2)^2-3

.

Συνεπώς θέλουμε να βρούμε τους ακεραίους με

(x-2)^2+(2y-1)^2+(3z+2)^2=3

Αλλά το 3 δεν είναι τέλειο τετράγωνο, αλλά ούτε άθροισμα δύο τετραγώνων. Γράφεται μοναδικά ως 1+1+1=3

κι άρα

και

(Σχόλιο*)

Συνεπώς,

x=1

ή

,

ή

και

Οι λύσεις

, λοιπόν, είναι

(1,0,-1)

,

και

(13 Νοεμβρίου 2017- Σχόλιο*)

Αφού $0\leq (x-2)^2\leq 3<4$ , eίναι $0\leq |x-2| < \sqrt{4}=2,$ κι άρα |x-2|=0

ή

Ομοίως,

ή

και

ή

Ο μοναδικός τρόπος να γράψουμε το 3 ως άθροισμα 0 και 1 είναι 1+1+1.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

ΘΕΜΑ 1/ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Είναι

$x^{10}-4x^2-5-x-3=(x^3-x-1)(x^7+x^5+x^4+x^3+2x^2+2x+3)$ ,

οπότε το συμπέρασμα έπεται.

Διαφορετικά, από τη δοθείσα έχουμε

$x^4=x\cdot x^3=x(x+1)=x^2+x$

και

x^6=(x^3)^2=(x+1)^2

Συνεπώς,

$\begin{aligned} x^{10}&=x^6\cdot x^4\\ &=x(x+1)^3\\ &=x(x^3+3x^2+3x+1)\\ &=x^4+3x^3+3x^2+x\\ &=(x^2+x)+3(x+1)+3x^2+x\\ &=4x^2+5x+3\\ \end{aligned}$
και το συμπέρασμα έπεται άμεσα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

ΘΕΜΑ 3/ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Είναι

x^7+x^6+x^5+1=(x^2+1)(x^5+x^4-x^2+1)

οπότε ο

ισούται με $\nu^5+\nu^4-\nu^2+1=\nu^4(\nu+1)-(\nu-1)(\nu+1)=(\nu+1)(\nu^4-\nu+1).$ .

Αφού $\nu\geq 2$ είναι $\nu+1\geq 3$ και $\nu^4-\nu+1=\nu(\nu^3-1)+1\geq 2\cdot (2^3-1)+1=15$ .

Άρα ο

είναι σύνθετος.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

Πρόβλημα 2/ Β' Λυκείου

: Θαλής B. Γεωμ. 2017.2.png (20.75 KiB) Προβλήθηκε 15260 φορές

To $\displaystyle {\rm A}\Gamma \Delta$ είναι ισοσκελές και το $\displaystyle {\rm B}\Gamma {\rm E}\Delta$ εγγεγραμμένο, άρα: $\displaystyle \Gamma \widehat \Delta {\rm A} = \Gamma \widehat {\rm E}{\rm B} = {45^0}$ και $\displaystyle {\rm A}\widehat \Gamma \Delta = {90^0}$

$\displaystyle {\rm E}\widehat {\rm B}\Gamma = {\rm E}\widehat \Delta \Gamma = \Delta \widehat {\rm E}\Gamma = {67,5^0}$ , οπότε τα ισοσκελή τρίγωνα $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma ,\Gamma \Delta {\rm E}$ είναι ίσα, άρα το $\displaystyle {\rm B}\Gamma {\rm E}\Delta$

είναι ισοσκελές τραπέζιο κι επειδή $\displaystyle \Delta \widehat \Gamma {\rm E} = {45^0},$ θα είναι $\boxed{\Gamma \Delta \bot {\rm B}{\rm E}}$

KARKAR · #6

: Γ.png (26.82 KiB) Προβλήθηκε 15246 φορές

$\widehat{OCD}=90^0$ , ABEC

, ρόμβος αφού οι έγχρωμοι

κύκλοι είναι ίσοι (η κοινή τους χορδή φαίνεται υπό γωνία 36^0

)

#7

ΘΕΜΑ 3/ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Ένας αριθμός της δοθείσας μορφής διαιρείται με το 5 αν λήγει σε 5. Τέτοιος αριθμός με ψηφία 4 και 9 δεν μπορεί να σχηματισθεί.

Για να διαιρείται ο αριθμός

με

ή

πρέπει να είναι άρτιος, κι άρα να λήγει σε 4.

Για να διαιρείται με το 3 και το 9 πρέπει το άρθοισμα των ψηφίων του να διαιρείται με το 9.

Αν χρησιμοποιήσουμε το 9, αποκλείεται ο αριθμός να διαιρείται που λήγει σε 4 να διαιρείται με το 9, ούτε με το 3 ούτε με 6.

Συνεπώς, το μέγιστο σύνολο διαιρετών από τη δοθείσα λίστα είναι το 2,4,7, 8

Για να διαρείται με το 8, πρέπει ο αριθμός που σχηματίζεται από τα τελευταία 3 ψηφία να διαιρείται με το 8.

Αφού το 994=1000-6

δεν διαιρείται με το 8, όλοι οι άλλοι αριθμοί της μορφής της άσκησης με περισσότερα από 2 ψηφία, δε διαιρούνται με το 8.

Συνεπώς, το μέγιστο σύνολο διαιρετών από τη δοθείσα λίστα είναι το 2, 4, 7

.

Από τους αριθμούς που διαιρούνται από όσο γίνεται περισσότερους από αυτούς, επιλέγουμε τον ελάχιστο.

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι ο 994.

--Σημείωση: Εάν δεν απαιτείται να χρησιμοποιήσουμε το 9 τουλάχιστον μια φορά, τότε η απάντηση είναι 4, όπως αναφέρθηκε από τον Τσιάλα Νικόλαο εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#8

Πρόβλημα 4/ A' Λυκείου

: Θαλής A. Γεωμ. 2017.4.png (14.98 KiB) Προβλήθηκε 15188 φορές

Η παραλληλία $\displaystyle \Pi {\rm P}||{\rm B}\Gamma$ και τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle {\rm B}\Delta {\rm M},{\rm M}{\rm E}\Gamma$ , εύκολα δίνουν ότι το $\displaystyle \Pi {\rm P}{\rm T}$ είναι ισόπλευρο.

$\displaystyle \Pi {\rm T} = \Pi {\rm K} + {\rm K}{\rm T} = {\rm A}{\rm B} + {\rm K}\Lambda = \alpha + \frac{\alpha }{2} = \frac{{3\alpha }}{2} \Rightarrow$ $\boxed{(\Pi {\rm P}{\rm T}) = \frac{{9{\alpha ^2}\sqrt 3 }}{{16}}}$

JimNt. · #9

Θέμα 4/Β Λυκείου
Είναι $ab=2(a+b) \ge 4\sqrt{ab}$ $\Leftrightarrow$ $ab \ge 16$ . Το μήκος της διαγωνίου είναι $\sqrt{a^2+b^2} \ge \sqrt{2ab} \ge 4\sqrt{2}$ . Ισότητα ανν a=b=4

.

Τσιαλας Νικολαος · #10

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 11, 2017 11:18 am
ΘΕΜΑ 3/ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Ένας αριθμός της δοθείσας μορφής διαιρείται με το 5 αν λήγει σε 5. Αυτοί οι αιρθμοί, όμως, αποκλείουν όλους τους άρτιους διαιρέτες κι έτσι μικραίνουν πολύ το σύνολο των διαιρετών από τους

Για να διαιρείται ο αριθμός με ή πρέπει να είναι άρτιος, κι άρα να λήγει σε 4.

Για να διαιρείται με το 3 και το 9 πρέπει το άρθοισμα των ψηφίων του να διαιρείται με το 9.

Αν χρησιμοποιήσουμε το 9, αποκλείεται ο αριθμός να διαιρείται που λήγει σε 4 να διαιρείται με το 9.

Συνεπώς, το μέγιστο σύνολο διαιρετών από τη δοθείσα λίστα είναι το .

Για να διαρείται με το 8, πρέπει ο αριθμός που σχηματίζεται από τα τελευταία 3 ψηφία να διαιρείται με το 8.

Αφού το δεν διαιρείται με το 8, όλοι οι άλλοι αριθμοί της μορφής της άσκησης με περισσότερα από 2 ψηφία, δε διαιρούνται με το 8.

Συνεπώς, το μέγιστο σύνολο διαιρετών από τη δοθείσα λίστα είναι το .

Από τους αριθμούς που διαιρούνται από όσο γίνεται περισσότερους από αυτούς, επιλέγουμε τον ελάχιστο.

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι ο $94=2^2\cdot 3\cdot 7$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ο ζητούμενος αριθμός ειναι το 994. Το 94 δεν διαιρείτε με το 7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Β Λυκείου.
Πρόβλημα 3
έχει παράληψη ότι το $\nu$ είναι φυσικός.
Σε εξεταστικό κέντρο δόθηκε η πληροφορία στους μαθητές.

Είναι $n^{7}+n^{6}+n^{5}+1=n^{5}(n^{2}+1)+(n^{2}+1)(n^{4}-n^{2}+1)=(n^{2}+1)(n^{5}+1+n^{4}-n^{2})$

Αλλά $(n^{5}+1+n^{4}-n^{2})=(n+1)(n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1)+(n+1)n^{2}(n-1)=(n+1)(n^{4}-n+1)$

Ετσι ο αριθμός είναι ο $(n+1)(n^{4}-n+1)$

που είναι σύνθετος γιατί $n\geq 2\Rightarrow n^{4}-n+1\geq 10$

πρόβλημα 4

Εχουμε ότι ab=2(a+b)

και θέλουμε ελαχιστοποίηση του $a^{2}+b^{2}$

Ειναι $2(a+b)=ab\leq (\frac{a+b}{2})^{2}$

Αρα $a+b\geq 8$

Αλλά $a^{2}+b^{2}\geq \frac{1}{2}(a+b)^{2}\geq 32$

Η ελάχιστη τιμή της διαγωνίου που είναι $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

είναι $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

#12

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 11, 2017 11:46 am

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 11, 2017 11:18 am
ΘΕΜΑ 3/ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Ένας αριθμός της δοθείσας μορφής διαιρείται με το 5 αν λήγει σε 5. Αυτοί οι αιρθμοί, όμως, αποκλείουν όλους τους άρτιους διαιρέτες κι έτσι μικραίνουν πολύ το σύνολο των διαιρετών από τους

Για να διαιρείται ο αριθμός με ή πρέπει να είναι άρτιος, κι άρα να λήγει σε 4.

Για να διαιρείται με το 3 και το 9 πρέπει το άρθοισμα των ψηφίων του να διαιρείται με το 9.

Αν χρησιμοποιήσουμε το 9, αποκλείεται ο αριθμός να διαιρείται που λήγει σε 4 να διαιρείται με το 9.

Συνεπώς, το μέγιστο σύνολο διαιρετών από τη δοθείσα λίστα είναι το .

Για να διαρείται με το 8, πρέπει ο αριθμός που σχηματίζεται από τα τελευταία 3 ψηφία να διαιρείται με το 8.

Αφού το δεν διαιρείται με το 8, όλοι οι άλλοι αριθμοί της μορφής της άσκησης με περισσότερα από 2 ψηφία, δε διαιρούνται με το 8.

Συνεπώς, το μέγιστο σύνολο διαιρετών από τη δοθείσα λίστα είναι το .

Από τους αριθμούς που διαιρούνται από όσο γίνεται περισσότερους από αυτούς, επιλέγουμε τον ελάχιστο.

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι ο $94=2^2\cdot 3\cdot 7$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας
Ο ζητούμενος αριθμός ειναι το 994. Το 94 δεν διαιρείτε με το 7

994 είχα στην αρχή αλλά το άλαξα εκ παραδρομής...θα το διορθώσω σύντομα.

Ευχαριστώ!

Αχιλλέας

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #13

Για το 2ο της Τρίτης Λυκείου...
Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα
$\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )\left ( x^{4} -x+1\right )=0$ ,
Oι παράγοντες $x^{2}+1$ και $x^{4} -x+1$ είναι θετικοί για κάθε x και έτσι η μόνη πραγματική ρίζα είναι το -1.
Συγνώμη για τη βιασύνη , είμαι σε σχολείο για το διαγωνισμό...

#14

ΘΕΜΑ 1/Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Όχι, διότι ο συνολικός χρόνος παιχνιδιού για όλους τους παίχτες που είναι $11\cdot 90$ λεπτά, δεν διαιρείται με το 16.

Αναλυτικότερα, αλλά όχι στο πνεύμα των διαγωνισμών.

Έστω ότι ο προπονητής χρησιμοποίησε

συνθέσεις για χρόνο y_i

η καθεμία

Τότε $y_1+y_2+\dots+y_k=90.$

Έστω $x_{j}=a$ ο συνολικός χρόνος του

στου παίκτη κι έστω $x_{i,j}$ ο χρόνος του

στου παίκτη είναι στη σύνθεση

, ο οποίος μπορεί να είναι και μηδέν.

Έχουμε $x_{i,1}+x_{i,2}+\dots+x_{i,16}=11y_i.$ για $i=1,2,\dots,k$ και $x_j=x_{1,j}+x_{2,j}+\dots+x_{k,j}=a$ για $j=1,2,\dots,16.$

Για τις

συνθέσεις έχουμε:

$\begin{array}{cccccccccc} x_{1,1} &+&x_{1,2}&+& x_{1,3}&+&...&+&x_{1,16}&=11y_1\\ +&& +&& +&&...&&+& &\\ x_{2,1} &+&x_{2,2}&+& x_{2,3}&+&...&+&x_{2,16}&=11y_2\\ +&& +&& +&&...&&+& &\\ ... &...& ...&...&...&... &...& ...&...&...\\ +&& +&& +&&...&&+& &\\ x_{k,1} &+&x_{k,2}&+& x_{k,3}&+&...&+&x_{k,16}&=11y_k\\ ||&& ||&& ||&&...&&||& &\\ x_1&& x_2&& x_3&&...&&x_{16}& &\\ ||&& ||&& ||&&...&&||& &\\ a&& a&& a&&...&&a& &\\ \end{array}$

Αθροίζοντας κατά γραμμή παίρνουμε

$(x_{1,1}+x_{1,2}+\dots+x_{1,16})+\dots +(x_{k,1}+x_{k,2}+\dots+x_{k,16})=11(y_1+y_2+\cdots+y_k)=11\cdot 90$

Αθροίζοντας κατά στήλη παίρνουμε

$(x_{1,1}+x_{2,1}+\dots+x_{k,1})+\dots +(x_{1,16}+x_{2,16}+\dots+x_{k,16})=16a.$

Αφού τα αθοίσματα είναι ίδια έχουμε $\boxed{16a=11\cdot 90}.$

Το αριστερό μέλος (το άθροισμα των στοιχείων κατά στήλη στο παρακάτω σχόλιο) είναι πολλαπλάσιο του 16,
ενώ το $11\cdot 90$ , (το άθροισμα των στοιχείων κατά γραμμή) όχι.

Άρα δεν είναι δυνατόν.

Φιλικά,

Αχιλλέας

(Συνεχείς διορθώσεις τυπογραφικών ...

) και προσθήκη πίνακα για καλύτερη επεξήγηση.)

JimNt. · #15

Διαφορετικά. Αν κάθε παίκτης έπαιξε

λεπτά πρέπει $16x=11\cdot 90$ , που δεν έχει ακέραια λύση.

JimNt. · #16

Θέμα 1 /Γ Λυκείου
Για x=a

παίρνουμε

. Για

παίρνουμε

$\Rightarrow$ f(a)=a

. Συνεπώς, a=0

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #17

Πρόβλημα 1 Β' Λυκείου

Ισχύει $\displaystyle {\rho ^3} = \rho + 1$

$\displaystyle {\rho ^{10}} - 4{\rho ^2} - 5\rho - 3 = {\left( {{\rho ^3}} \right)^3}\rho - 4{\rho ^2} - 5\rho - 3 = {\left( {\rho + 1} \right)^3}\rho - 4{\rho ^2} - 5\rho - 3 =$

= $\displaystyle {\rho ^4} + 3{\rho ^3} - ({\rho ^2} + 4\rho + 3) = {\rho ^3}(\rho + 3) - (\rho + 3)(\rho + 1) = (\rho + 3)[{\rho ^3} - (\rho + 1) = 0$

#18

Το πρόβλημα 1 της Γ' Γυμνασίου είναι σωστό;

#19

Θεωρώ ατυχέστατο το πρόβλημα 1 της Α Λυκείου. Επίσης στο 1 της Γ γυμνασίου η αριθμητική τιμή
βγαίνει συναρτήσει του 5^2^v

. πιστεύω ότι ήταν 2v+1

και ο δεύτερος εκθέτης (τυπο)

Τσιαλας Νικολαος · #20

Υπάρχει "θέμα" με το θέμα της Ά λυκείου... Μαθήτρια έγραψε ότι η σωστή απάντηση είναι το 4!!! Αφού απάντησε ότι δεν θα βάλει κανένα 9αρι και η άσκηση λέει όσες φορές θέλουμε!!! Τι γίνεται τώρα???

ΘΑΛΗΣ 2017

ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Μέλη σε σύνδεση