Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)
Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2007
Θέματα της φάσης επιλογής (*) για την 9η τάξη
1. Τετραγωνισμένο τετράγωνο διαμερίστηκε σε τετράγωνα και . Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί μια γραμμή του αρχικού τετραγώνου, που τέμνει περιττό αριθμό τετραγώνων της διαμέρισης. (Μπερλόβ)
2. Οι διαφορετικοί μεταξύ τους μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και ικανοποιούν την σχέση . Να αποδείξετε, ότι . (Μπερλόβ)
3. Ευθεία, διερχόμενη από το σημείο τομής των διαγώνιων τραπεζίου και παράλληλη προς τις βάσεις και αυτού, τέμνει την πλευρά στο σημείο . Κύκλος διερχόμενος από τις κορυφές και του τραπεζίου, τέμνει τις βάσεις του και στα σημεία και αντίστοιχα και εφάπτεται της πλευράς στο σημείο . Αποδείξτε, ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθείών και . (Μπερλόβ)
4. Ο Λευτέρης έχει νομίσματα (), από τα οποία τα μισά και πάνω είναι γνήσια. Είναι γνωστό, ότι όλα τα γνήσια νομίσματα έχουν το ίδιο βάρος και το βάρος κάθε κάλπικου νομίσματος διαφέρει από το βάρος ενός αληθινού (όμως μπορεί διαφορετικά μεταξύ τους κάλπικα νομίσματα να έχουν διαφορετικό βάρος). Να αποδείξετε, ότι με ζυγίσεις σε ζυγό ισορροπίας χωρίς σταθμά ο Λευτέρης θα μπορέσει να βρει τουλάχιστόν ένα γνήσιο νόμισμα. (Κάρποβ, Πάστορ)
5. Στον πίνακα είναι γραμμένο το τριώνυμο . Παίζουν δυο: με μια κίνηση επιτρέπεται να αφαιρεθεί μια μονάδα είτε από τον συντελεστή του , είτε από τον σταθερό συντελεστή. Κερδίζει αυτός, μετά την κίνηση του οποίου πρώτη φορά θα εμφανιστεί τριώνυμο, που έχει πραγματική ρίζα. Ποιος κερδίζει αν παίξει σωστά; (Ιβάνοβα)
6. Το είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο για το οποίο ισχύει . Το σημείο είναι το μέσο της διαγωνίου . Να αποδείξετε, ότι . (Παστόρ)
7. Θεωρούμε την τοποθέτηση των αριθμών και πάνω σε κύκλο. Έστω , το πλήθος των αλλαγών προσήμου καθώς διατρέχουμε όλο τον κύκλο. Να βρείτε το άθροισμα των αριθμών για όλες τις δυνατές τοποθετήσεις. (Καρπόβ)
8. Να λύσετε στους μη μηδενικούς φυσικούς την εξίσωση . (Πετρόβ)
(*) Η φάση επιλογής διαξάγοταν μέχρι το 2008 και είχε ως σκοπό την επιλογή της ομάδας που θα εκπροσωπούσε την περιοχή της Αγιάς Πετρούπολης στην πανρωσική ολυμπιάδα. Από το 2009 και ύστερα αυτή η φάση είναι ενιαία για όλη την Ρωσία και είναι η τρίτη φάση της πανρωσικής ολυμπιάδας.
Θέματα της φάσης επιλογής (*) για την 9η τάξη
1. Τετραγωνισμένο τετράγωνο διαμερίστηκε σε τετράγωνα και . Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί μια γραμμή του αρχικού τετραγώνου, που τέμνει περιττό αριθμό τετραγώνων της διαμέρισης. (Μπερλόβ)
2. Οι διαφορετικοί μεταξύ τους μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και ικανοποιούν την σχέση . Να αποδείξετε, ότι . (Μπερλόβ)
3. Ευθεία, διερχόμενη από το σημείο τομής των διαγώνιων τραπεζίου και παράλληλη προς τις βάσεις και αυτού, τέμνει την πλευρά στο σημείο . Κύκλος διερχόμενος από τις κορυφές και του τραπεζίου, τέμνει τις βάσεις του και στα σημεία και αντίστοιχα και εφάπτεται της πλευράς στο σημείο . Αποδείξτε, ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθείών και . (Μπερλόβ)
4. Ο Λευτέρης έχει νομίσματα (), από τα οποία τα μισά και πάνω είναι γνήσια. Είναι γνωστό, ότι όλα τα γνήσια νομίσματα έχουν το ίδιο βάρος και το βάρος κάθε κάλπικου νομίσματος διαφέρει από το βάρος ενός αληθινού (όμως μπορεί διαφορετικά μεταξύ τους κάλπικα νομίσματα να έχουν διαφορετικό βάρος). Να αποδείξετε, ότι με ζυγίσεις σε ζυγό ισορροπίας χωρίς σταθμά ο Λευτέρης θα μπορέσει να βρει τουλάχιστόν ένα γνήσιο νόμισμα. (Κάρποβ, Πάστορ)
5. Στον πίνακα είναι γραμμένο το τριώνυμο . Παίζουν δυο: με μια κίνηση επιτρέπεται να αφαιρεθεί μια μονάδα είτε από τον συντελεστή του , είτε από τον σταθερό συντελεστή. Κερδίζει αυτός, μετά την κίνηση του οποίου πρώτη φορά θα εμφανιστεί τριώνυμο, που έχει πραγματική ρίζα. Ποιος κερδίζει αν παίξει σωστά; (Ιβάνοβα)
6. Το είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο για το οποίο ισχύει . Το σημείο είναι το μέσο της διαγωνίου . Να αποδείξετε, ότι . (Παστόρ)
7. Θεωρούμε την τοποθέτηση των αριθμών και πάνω σε κύκλο. Έστω , το πλήθος των αλλαγών προσήμου καθώς διατρέχουμε όλο τον κύκλο. Να βρείτε το άθροισμα των αριθμών για όλες τις δυνατές τοποθετήσεις. (Καρπόβ)
8. Να λύσετε στους μη μηδενικούς φυσικούς την εξίσωση . (Πετρόβ)
(*) Η φάση επιλογής διαξάγοταν μέχρι το 2008 και είχε ως σκοπό την επιλογή της ομάδας που θα εκπροσωπούσε την περιοχή της Αγιάς Πετρούπολης στην πανρωσική ολυμπιάδα. Από το 2009 και ύστερα αυτή η φάση είναι ενιαία για όλη την Ρωσία και είναι η τρίτη φάση της πανρωσικής ολυμπιάδας.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τρί Ιαν 09, 2024 11:39 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)
Έστω ότι , οπότε περιττοί, οπότε , άτοπο.Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2007
Θέματα της φάσης επιλογής (*) για την 9η τάξη
2. Οι διαφορετικοί μεταξύ τους μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και ικανοποιούν την σχέση . Να αποδείξετε, ότι . (Μπερλόβ)
Άρα, .
Έτσι, , και αφού .
Έστω λοιπόν .
Θέλουμε .
Είναι , και αν , είναι τέλειο τετράγωνο, και αφού , είναι .
Έτσι, , και άρα θέλουμε να δείξουμε ότι , και αφού , θέλουμε .
Από AM-GM, , και άρα αρκεί , που προφανώς ισχύει.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)
Κερδίζει ο δεύτερος παίκτης παίζοντας ως εξής:Al.Koutsouridis έγραψε:
5. Στον πίνακα είναι γραμμένο το τριώνυμο . Παίζουν δυο: με μια κίνηση επιτρέπεται να αφαιρεθεί μια μονάδα είτε από τον συντελεστή του , είτε από τον σταθερό συντελεστή. Κερδίζει αυτός, μετά την κίνηση του οποίου πρώτη φορά θα εμφανιστεί τριώνυμο, που έχει πραγματική ρίζα. Ποιος κερδίζει αν παίξει σωστά; (Ιβάνοβα)
Αν ο συντελεστής του είναι θετικός, τότε αφαιρεί μία μονάδα από τον συντελεστή του . Αλλιώς αφαιρεί από τον σταθερό συντελεστή.
Ας δούμε γιατί αυτή η στρατηγική δουλεύει: Μετά από κάθε κίνηση του, ο πρώτος παίκτης θα καταλήγει σε ένα πολυώνυμο της μορφής ώστε να ισχύει ένα από τα πιο πάτω:
(α) και (θετικός) περιττός.
(β) και .
Πράγματι, όσο ισχύει ότι , ο δεύτερος παίκτης μειώνει το και διατηρεί . Το μόνο που μπορεί να κάνει ο πρώτος παίκτης στην επόμενη κίνησή του είναι να μειώσει το και άρα και το το πολύ κατά . Αν τώρα το γίνει ίσο με , παρατηρούμε ότι ούτως ή άλλως θα έχει γίνει περιττός αριθμός κινήσεων οπότε το θα είναι περιττό. (Αρχικά ισούται με και σε κάθε κίνηση μειώνεται κατά .)
Κανένα από αυτά τα πολυώνυμα όμως δεν έχει πραγματική ρίζα. Πράγματι η διακρίνουσα ισούται με . Στην πρώτη περίπτωση είναι προφανώς αρνητική. Στην δεύτερη έχουμε
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2007
Θέματα της φάσης επιλογής (*) για την 9η τάξη
3. Ευθεία, διερχόμενη από το σημείο τομής των διαγώνιων τραπεζίου και παράλληλη προς τις βάσεις και αυτού, τέμνει την πλευρά στο σημείο . Κύκλος διερχόμενος από τις κορυφές και του τραπεζίου, τέμνει τις βάσεις του και στα σημεία και αντίστοιχα και εφάπτεται της πλευράς στο σημείο . Αποδείξτε, ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθείών και . (Μπερλόβ)
Έστω .
Είναι και , οπότε (1).
Επίσης, (2).
Από (1), (2), .
Αν τώρα , είναι .
και αφού , , οπότε συνευθειακά και συνευθειακά, και επομένως οι συντρέχουν στο .
(Στο σχήμα δεν εμφανίζεται το λόγω μεγέθους του σχήματος).
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)
Μια διαφορετική προσέγγιση για το δεύτερο θέμα:
Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω .
Σαν πολυώνυμο ως προς το η εξίσωση γράφεται:
Με
Επομένως πρέπει για κάποιο θετικό ακέραιο .
Άρα αφού σχηματίζεται πυθαγόρεια τριάδα για κάποιους θετικούς ακέραιους με έχουμε τις πιθανές περιπτώσεις:
Δηλαδή πρέπει να δείξω ότι που ισχύει από και αφού .
Δηλαδή πρέπει να δείξω ότι που ισχύει προφανώς.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω .
Σαν πολυώνυμο ως προς το η εξίσωση γράφεται:
Με
Επομένως πρέπει για κάποιο θετικό ακέραιο .
Άρα αφού σχηματίζεται πυθαγόρεια τριάδα για κάποιους θετικούς ακέραιους με έχουμε τις πιθανές περιπτώσεις:
Δηλαδή πρέπει να δείξω ότι που ισχύει από και αφού .
Δηλαδή πρέπει να δείξω ότι που ισχύει προφανώς.
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2007
6. Το είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο για το οποίο ισχύει . Το σημείο είναι το μέσο της διαγωνίου . Να αποδείξετε, ότι . (Παστόρ)
[attachment=0]Πετρούπολη 2007_Φ3_Τ9_6.png[/attachment]
Η ευθεία είναι μεσοκάθετος της χορδής (αφού μέσο της χορδής και το κέντρο του κύκλου).
Αν το συμμετρικό του ως προς την , θα είναι και .
Από το τελευταίο συμπεραίνουμε ότι το ισοσκελές τραπέζιο και άρα .
Από την τριγωνική ανισότητα στο προκύπτει το ζητούμενο.
- Συνημμένα
-
- Πετρούπολη 2007_Φ3_Τ9_6.png (17.41 KiB) Προβλήθηκε 1455 φορές
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)
Ας δούμε και την άποψη που ακολουθεί:Al.Koutsouridis έγραψε: 6. Το είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο για το οποίο ισχύει . Το σημείο είναι το μέσο της διαγωνίου . Να αποδείξετε, ότι . (Παστόρ)
Έστω και τα μέσα των αντίστοιχα. Τότε από παίρνουμε: Η τελευταία όμως ισχύει,
αφού για το τυχόν σημείο της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου έχουμε
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)
Θα πρόσθετα το πρασινισμένο για να αποφευχθεί η σύγχυση με της οριζόντιες και κάθετες γραμμές που ορίζουν το πλέγμα.Al.Koutsouridis έγραψε:
1. Τετραγωνισμένο τετράγωνο διαμερίστηκε σε τετράγωνα και . Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί μια γραμμή από τετράγωνα του αρχικού τετραγώνου, που τέμνει περιττό αριθμό τετραγώνων της διαμέρισης. (Μπερλόβ)
Κοιτάζουμε τις κάθετες γραμμές. Έστω ότι η κάθετη γραμμή τέμνει τετράγωνα της διαμέρισης.
Κάθε τετράγωνο της διαμέρισης τέμνεται από δύο κάθετες γραμμές. Αν λοιπόν η διαμέριση έχει τετράγωνα τότε πρέπει . Πρέπει λοιπόν κάποιο από τα να είναι περιττό, έστο το .
Αφού η κάθετη γραμμή τέμνει τετράγωνα της διαμέρισης, τότε τέμνει και τετράγωνα της διαμέρισης. Συνολικά τέμνει τετράγωνα της διαμέρισης. Δηλαδή περιττό αριθμό τετραγώνων της διαμέρισης όπως θέλαμε να δείξουμε.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2007
Θέματα της φάσης επιλογής (*) για την 9η τάξη
8. Να λύσετε στους μη μηδενικούς φυσικούς την εξίσωση . (Πετρόβ)
. Η λύση αύριο αν δεν απαντηθεί.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)
Αν , είναι , οπότε έχουμε μία λύση .Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2007
Θέματα της φάσης επιλογής (*) για την 9η τάξη
8. Να λύσετε στους μη μηδενικούς φυσικούς την εξίσωση . (Πετρόβ)
Έστω τώρα .
Είναι .
Είναι , άρα .
Συνεπώς, υπάρχει άρτιο πλήθος περιττών δυνάμεων, οπότε ή , οπότε ή .
Αν .
Άρα, .
Είναι , οπότε , ... και .
Έτσι, .
Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο έχουμε ότι , για κάθε , και από την Άπειρη κάθοδο του Fermat πρέπει , άτοπο.
Έστω ότι ο .
Είναι .
Αν , είναι , άτοπο.
Έτσι, .
Είναι λοιπόν .
Αν ο είναι πρώτος αριθμός, έστω , έχουμε .
Από Θ. Wilson , άτοπο.
Έστω ότι ο είναι σύνθετος, με , και .
Αφού , είναι και όμοια , και αφού , έχουμε , που είναι άτοπο, καθώς .
Τελικά, μοναδική λύση .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες