4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Datis-Kalali » Παρ Αύγ 11, 2017 2:37 pm

Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής.
1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων (a,b,c)
που ικανοποιούν την εξίσωση
a^3+b^3-3ab=2017^c+1

2. Αν a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε
a+b+c=1 να δείξετε ότι
\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}+4abc<\frac{5}{16abc}

3.Δίνεται το σταθερό κανονικό εννεάγωνο A_1 A_2…A_9 στο επίπεδο. 3 κορυφές του εννεάγωνο λέγονται «κανονική τριάδα» όταν σχηματίζουνε μία ισόπλευρο τρίγωνο. Σημειώνουμε κάθε κορυφή του εννεάγωνου με τους αριθμούς 0 ή 1. Ένα εννεάγωνο λέγεται «τακτοποιημένο» όταν δεν έχει 3 διαδοχικές κορυφές σημειωμένα με τον αριθμό μηδέν. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούμε να σημειώνουμε το εννεάγωνο , έτσι ώστε οι αριθμοί των κάθε «κανονική τριάδα» έχουν άθροισμα 2 και το εννεάγωνο είναι «τακτοποιημένο».

4.Δίνεται το τρίγωνο ABC (AB<AC) με περιεγραμμένο κύκλο (\Gamma) και περίκεντρο O. Οι εφαπτόμενες στο (\Gamma) από τα σημεία B και C τέμνονται στο σημείο K και το OK τέμνει την πλευρά BC στο σημείο Z. Η ευθεία BO τέμνει τις ευθείες AZ και AC στα σημεία M και X αντίστοιχα και η ευθεία MC τέμνει την AB στο σημείο Y. Να δείξετε ότι το περιεγραμμένο κύκλο του τρίγωνου AXY και ο κύκλος (\Gamma) εφάπτονται.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1065
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ορέστης Λιγνός » Παρ Αύγ 11, 2017 10:27 pm

Datis-Kalali έγραψε:

2. Αν a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε
a+b+c=1 να δείξετε ότι
\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}+4abc<\frac{5}{16abc}



Είναι \dfrac{1}{a+bc}=\dfrac{1}{1-b-c+bc}=\dfrac{1}{(1-b)(1-c)}=\dfrac{1}{(a+c)(a+b)}, οπότε \displaystyle \rm {LHS} = \displaystyle \sum\dfrac{1}{(a+c)(a+b)}+4abc=

\dfrac{a+b+a+c+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}+4abc \leqslant \dfrac{2}{8abc}+4abc=\dfrac{1}{4abc}+4abc.

Αρκεί λοιπόν 4abc+\dfrac{1}{4abc}<\dfrac{5}{16abc} \Rightarrow abc<\dfrac{1}{8}, που ισχύει, καθώς abc \leqslant \dfrac{(a+b+c)^3}{27}=\dfrac{1}{27}<\dfrac{1}{8}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1065
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Ορέστης Λιγνός » Παρ Αύγ 11, 2017 11:21 pm

Datis-Kalali έγραψε:Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής.

4.Δίνεται το τρίγωνο ABC (AB<AC) με περιεγραμμένο κύκλο (\Gamma) και περίκεντρο O. Οι εφαπτόμενες στο (\Gamma) από τα σημεία B και C τέμνονται στο σημείο K και το OK τέμνει την πλευρά BC στο σημείο Z. Η ευθεία BO τέμνει τις ευθείες AZ και AC στα σημεία M και X αντίστοιχα και η ευθεία MC τέμνει την AB στο σημείο Y. Να δείξετε ότι το περιεγραμμένο κύκλο του τρίγωνου AXY και ο κύκλος (\Gamma) εφάπτονται.


Το Z είναι προφανώς το μέσο της BC, οπότε από το Θ. Ceva για τις σεβιανές AZ,BX,CY έχουμε ότι \dfrac{AY}{YB}=\dfrac{AX}{XC} \Rightarrow XY \parallel BC.

Αν (\epsilon) η εφαπτόμενη του κύκλου (A,X,Y) στο A, και D ένα σημείο της προς το ημιεπίπεδο που περιέχει το C, είναι \widehat{DAC}=\widehat{DAX}=\widehat{AYX}=\widehat{ABC} \Rightarrow \widehat{DAC}=\widehat{ABC}.

Η τελευταία σχέση σημαίνει ότι η (\epsilon) εφάπτεται και στον κύκλο (A,B,C).

Συνεπώς, οι κύκλοι (A,B,C), (A,X,Y) εφάπτονται στο A.

DATIS.png
DATIS.png (25.24 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1065
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Αύγ 12, 2017 12:44 am

Datis-Kalali έγραψε:Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής.
1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων (a,b,c)
που ικανοποιούν την εξίσωση
a^3+b^3-3ab=2017^c+1




Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη.

Είναι a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow

a^3 \equiv 0 \pmod 3 \,\, \textnormal{\gr και} \, \,
 b^3 \equiv 2 \pmod 3 ή a^3 \equiv b^3 \equiv 1 \pmod 3.

Αν a^3 \equiv 0 \pmod 3 \,\, \textnormal{\gr και} \, \,
 b^3 \equiv 2 \pmod 3, έπεται ότι 3 \mid a \Rightarrow a^3+b^3-3ab \equiv b^3 \pmod 9 \Rightarrow

2017^c+1 \equiv b^3 \pmod 9 \Rightarrow b^3 \equiv 2 \bmod 9, που είναι άτοπο, καθώς b^3 \equiv -1,0 ή 1 \pmod 9.

Συνεπώς, a^3 \equiv b^3 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow a \equiv b \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow a^3,b^3 \equiv 0 \,\, \textnormal{\gr ή} \,\, 1 \pmod 9.

Συνεπώς, a^3+b^3 \equiv 0,1, ή 2 \pmod 9

Είναι επίσης ab \equiv 1 \cdot 1 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow 3ab \equiv 3 \pmod 9.

Είναι όμως a^3+b^3=3ab+2017^c+1 \equiv 5 \pmod 9 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 5 \pmod 9, άτοπο.

Συνεπώς, η εξίσωση δεν έχει λύσεις.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Panagiotis11
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Κυρ Απρ 09, 2017 7:33 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Panagiotis11 » Σάβ Αύγ 12, 2017 1:03 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής.
1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων (a,b,c)
που ικανοποιούν την εξίσωση
a^3+b^3-3ab=2017^c+1




Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη.

Είναι a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow



Καλησπέρα Ορέστη.Μερικές ερωτήσεις.

Πρώτον πως επέλεξες να πάρεις (mod 3) και δεύτερον πώς συμπέρανες ότι 2017^c+1\equiv 2.Παίρνοντας 17^3+1=4914\equiv 0(mod 3) πράγμα το οποίο δεν αληθεύει την σχέση που έδωσες.Ανυπομονώ την απάντηση σου!


Μπορεί να απογοητευθείς αν αποτύχεις, αλλά είσαι χαμένος αν δεν προσπαθήσεις.
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 459
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Σάβ Αύγ 12, 2017 1:23 am

Panagiotis11 έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής.
1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων (a,b,c)
που ικανοποιούν την εξίσωση
a^3+b^3-3ab=2017^c+1




Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη.

Είναι a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow



Καλησπέρα Ορέστη.Μερικές ερωτήσεις.

Πρώτον πως επέλεξες να πάρεις (mod 3) και δεύτερον πώς συμπέρανες ότι 2017^c+1\equiv 2.Παίρνοντας 17^3+1=4914\equiv 0(mod 3) πράγμα το οποίο δεν αληθεύει την σχέση που έδωσες.Ανυπομονώ την απάντηση σου!


Γειά σου Παναγιώτη!

1. Δοκιμάζουμε συχνά το mod 3 όταν δολεύουμε με κύβους.

2. Αλλο το 2017 και αλλο το 17. Η σχέση που απέδειξε ο Ορςστης προκύπτει αμεσα αφού το 2017 αφήνει υπόλοιπο 1 οταν διαρείται με το 3.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7345
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Demetres » Σάβ Αύγ 12, 2017 5:43 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:

2. Αν a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε
a+b+c=1 να δείξετε ότι
\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}+4abc<\frac{5}{16abc}



Είναι \dfrac{1}{a+bc}=\dfrac{1}{1-b-c+bc}=\dfrac{1}{(1-b)(1-c)}=\dfrac{1}{(a+c)(a+b)}, οπότε \displaystyle \rm {LHS} = \displaystyle \sum\dfrac{1}{(a+c)(a+b)}+4abc=

\dfrac{a+b+a+c+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}+4abc \leqslant \dfrac{2}{8abc}+4abc=\dfrac{1}{4abc}+4abc.

Αρκεί λοιπόν 4abc+\dfrac{1}{4abc}<\dfrac{5}{16abc} \Rightarrow abc<\dfrac{1}{8}, που ισχύει, καθώς abc \leqslant \dfrac{(a+b+c)^3}{27}=\dfrac{1}{27}<\dfrac{1}{8}.


Από την απόδειξη του Ορέστη παίρνουμε και ένα καλύτερο φράγμα:

Αφού \displaystyle{ abc \leqslant \frac{1}{27}}, τότε είναι και \displaystyle{4abc \leqslant \frac{4}{27^2abc}.} Καταλήγουμε λοιπόν στο

\displaystyle{\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}+4abc \leqslant \left(\frac{1}{4} + \frac{4}{27^2} \right)\frac{1}{abc} = \frac{745}{2916} \frac{1}{abc}}.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7345
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Demetres » Σάβ Αύγ 12, 2017 5:50 pm

Datis-Kalali έγραψε:3.Δίνεται το σταθερό κανονικό εννεάγωνο A_1 A_2…A_9 στο επίπεδο. 3 κορυφές του εννεάγωνο λέγονται «κανονική τριάδα» όταν σχηματίζουνε μία ισόπλευρο τρίγωνο. Σημειώνουμε κάθε κορυφή του εννεάγωνου με τους αριθμούς 0 ή 1. Ένα εννεάγωνο λέγεται «τακτοποιημένο» όταν δεν έχει 3 διαδοχικές κορυφές σημειωμένα με τον αριθμό μηδέν. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούμε να σημειώνουμε το εννεάγωνο , έτσι ώστε οι αριθμοί των κάθε «κανονική τριάδα» έχουν άθροισμα 2 και το εννεάγωνο είναι «τακτοποιημένο».


Οι κανονικές τριάδες είναι οι \{A_1,A_4,A_7\},\{A_2,A_5,A_8\},\{A_3,A_6,A_9\}. Για να έχει κάθε τέτοια τριάδα άθροισμα δύο πρέπει να επιλέξουμε ακριβώς μια κορυφή από κάθε τριάδα στην οποία θα τοποθετήσουνε το 0 ενώ στις άλλες κορυφές πρέπει να τοποθετήσουμε το 1.

Υπάρχουν ακριβώς 3^3 = 27 τρόποι να γίνει το πιο πάνω. Κάποιοι όμως δεν θα δώσουν τακτοποιημένο εννιάγωνο. Επειδή τοποπθετούμε ακριβώς 3 μηδενικά, από αυτούς τους 27 τρόπους, το πολύ 9 δίνουν μη τακτοποιημένα εννιάγωνα. Αυτοί που έχουν μηδενικά στις κορυφές A_{k+1},A_{k+2},A_{k+3} για k=1,2,\ldots,9 και τους δείκτες να είναι modulo 9. Όλοι όμως αυτοί οι τρόποι δίνουν κανονικές τριάδες με άθροισμα 2 αφού επιλέξαμε ακριβώς ένα 0 από κάθε κανονική τριάδα.

Άρα εν τέλει έχουμε 27-9=18 τρόπους ώστε κάθε κανονική τριάδα να έχει άθροισμα 2 και το εννιάγωνο να είναι τακτοποιημένο.



Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης