Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015 (ΦΙ τάξη 8)

[Al.Koutsouridis]

Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2015

Θέματα της πρώτης φάσης για την 8η τάξη.


1. Σε ένα βαγόνι καθήμενων βρίσκονται τριθέσια καθίσματα για τους επιβάτες, 20 σειρές των δυο καθισμάτων. Ο Κώστας παρατήρησε, ότι σε κάθε σειρά κάθονται 3 ή 5 άτομα. Ύστερα ο Κώστας υπολόγισε, σε πόσα καθίσματα κάθονται 3 άτομα και σε πόσα ένα άτομο. Να βρείτε το άθροισμα των αριθμών του Κώστα. (Κοχάς)


2. Ποιοι πρώτοι μπορούν να γραφούν στη μορφή



για ακέραια ;


3. Στο διαγαλαξιακό φεστιβάλ «Ουράνιο Τόξο» προσήλθαν 107 πράσινα και μωβ ανθρωπάκια. Τα πράσινα ανθρωπάκια αντιλαμβάνονται σωστά τα χρώματα, δυστυχώς όμως τα μωβ αντιλαμβάνονται το πράσινο ως μωβ και το ανάποδο. Κοιτώντας γύρο, γύρο, κάθε συμμετέχων του φεστιβάλ πλησίασε κάποιον και είπε «Μα τι μωβ που είσαι!» και δώρισε ένα κάκτο. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός από ανθρωπάκια που θα μπορούσαν να μην πάρουν ούτε ένα κάκτο; (Τσουχνόβ)


4. Κατά μήκος μαιανδρικού ποταμού βρίσκονται τρεις πόλεις Α, Β και Γ (όχι απαραίτητα με αυτή την σειρά και όχι απαραίτητα στην ίδια ζώνη ώρας). Μεταξύ των πόλεων κινούνται ποταμόπλοια, η ταχύτητα τους είναι 6 φορές μεγαλύτερη της ταχύτητας του ποταμού. Παρακάτω φαίνεται κομμάτι πίνακα δρομολογίων, ή ώρα είναι παντού τοπική, κάθε δρομολόγιο εκτελείται σε μια μέρα.



Η Ναυσικά, βρισκόμενη στην πιο ψηλά εκ των τριών πόλεων (κατά την ροή του ποταμού), πέταξε μια μπάλα. Σε πόση ώρα θα την δουν οι κάτοικοι της πιο χαμηλά βρισκόμενης πόλης, εάν η μπάλα δε βρίσκει εμπόδια κατά το πλου της; (Σόλνιν)


5. Στην πλευρά τριγώνου δίνεται σημείο και στο τμήμα , σημείο . Είναι γνωστό ότι . Να αποδείξετε, ότι . (Σμιρνόβ)

[Mihalis_Lambrou]

1. Σε ένα βαγόνι καθήμενων βρίσκονται τριθέσια καθίσματα για τους επιβάτες, 20 σειρές των δυο καθισμάτων. Ο Κώστας παρατήρησε, ότι σε κάθε σειρά κάθονται 3 ή 5 άτομα. Ύστερα ο Κώστας υπολόγισε, σε πόσα καθίσματα κάθονται 3 άτομα και σε πόσα ένα άτομο. Να βρείτε το άθροισμα των αριθμών του Κώστα. (Κοχάς)

Σε κάθε σειρά κάθονται στα καθίσματα είτε είτε είτε άτομα. Παρατηρούμε ότι σε κάθε μία από τις σειρές τα καθίσματα στα οποία κάθονται είτε είτε άτομο είναι ακριβώς . Π.χ. στην περίπτωση κάθονται τρία άτομα στο "αριστερό" κάθισμα ενώ δεν υπάρχει κάθισμα στο οποίο κάθεται ένα άτομο. Όμοια οι περιπτώσεις , .
Συνεπώς το άθροισμα των αριθμών του Κώστα είναι , όσα και οι σειρές.

[Mihalis_Lambrou]

2. Ποιοι πρώτοι μπορούν να γραφούν στη μορφή



για ακέραια ;

Ας δούμε πρώτα την περίπτωση .

Για ελέγχουμε με το χέρι. Θα βρούμε τις λύσεις και . Για η παράσταση ισούται που είνα σύνθετος.

Για γράφουμε με . Η παράσταση γίνεται (σύνθετος).

[S.E.Louridas]

Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2015
Θέματα της πρώτης φάσης για την 8η τάξη......

5. Στην πλευρά τριγώνου δίνεται σημείο και στο τμήμα , σημείο . Είναι γνωστό ότι . Να αποδείξετε, ότι . (Σμιρνόβ)

Αν προεκτείνουμε την κατά , τότε επίσης έχουμε Συνεπώς η πλευρά είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, άρα η απέναντι από αυτή γωνία είναι μεγαλύτερη των

[nikkru]

Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2015

Θέματα της πρώτης φάσης για την 8η τάξη.


5. Στην πλευρά τριγώνου δίνεται σημείο και στο τμήμα , σημείο . Είναι γνωστό ότι . Να αποδείξετε, ότι . (Σμιρνόβ)

Άλλη μια απόδειξη του Θ5.

Π2015_Φ1_Τ8_Θ5.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 1134 φορές

Αφού είναι . Έχουμε δεδομένο ότι οπότε .

Ακόμη, άρα , με συνέπεια , άρα .

[nikkru]

Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2015

Θέματα της πρώτης φάσης για την 8η τάξη.


4. Κατά μήκος μαιανδρικού ποταμού βρίσκονται τρεις πόλεις Α, Β και Γ (όχι απαραίτητα με αυτή την σειρά και όχι απαραίτητα στην ίδια ζώνη ώρας). Μεταξύ των πόλεων κινούνται ποταμόπλοια, η ταχύτητα τους είναι 6 φορές μεγαλύτερη της ταχύτητας του ποταμού. Παρακάτω φαίνεται κομμάτι πίνακα δρομολογίων, ή ώρα είναι παντού τοπική, κάθε δρομολόγιο εκτελείται σε μια μέρα.



Η Ναυσικά, βρισκόμενη στην πιο ψηλά εκ των τριών πόλεων (κατά την ροή του ποταμού), πέταξε μια μπάλα. Σε πόση ώρα θα την δουν οι κάτοικοι της πιο χαμηλά βρισκόμενης πόλης, εάν η μπάλα δε βρίσκει εμπόδια κατά το πλου της; (Σόλνιν)

Το ποταμόπλοιο αν ξεκινήσει από μα πόλη π.χ. την Γ, πάει στην Β μετά στην Α και επιστρέψει στην Γ ο συνολικός χρόνος ταξιδιού είναι
( όταν η αρχική και τελική πόλη ταξιδιού είναι ίδια, ο συνολικός χρόνος δεν επηρεάζεται από την αλλαγή ζώνης ώρας).

Ας ονομάσουμε την ταχύτητα του ποταμού και το μήκος της διαδρομής (μέσω του ποταμού) από την πόλη που βρίσκεται ψηλότερα έως την πόλη που βρίσκεται χαμηλότερα (μεταξύ των πόλεων Α,Β,Γ).

Ο χρόνος που κατέβει το ποταμόπλοιο είναι και ο χρόνος που ανεβαίνει είναι . (η σχετική ταχύτητα του ποταμόπλοιου είναι εξαπλάσια από την ταχύτητα του ποταμού ).

Αφού , ο χρόνος που χρειάζεται η μπάλα για να πάει από την πόλη που είναι ψηλότερα στην πόλη που είναι χαμηλότερα είναι ώρες.

[Demetres]

3. Στο διαγαλαξιακό φεστιβάλ «Ουράνιο Τόξο» προσήλθαν 107 πράσινα και μωβ ανθρωπάκια. Τα πράσινα ανθρωπάκια αντιλαμβάνονται σωστά τα χρώματα, δυστυχώς όμως τα μωβ αντιλαμβάνονται το πράσινο ως μωβ και το ανάποδο. Κοιτώντας γύρο, γύρο, κάθε συμμετέχων του φεστιβάλ πλησίασε κάποιον και είπε «Μα τι μωβ που είσαι!» και δώρισε ένα κάκτο. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός από ανθρωπάκια που θα μπορούσαν να μην πάρουν ούτε ένα κάκτο; (Τσουχνόβ)

Θα δείξουμε τα εξής:

(α) Υπάρχει σίγουρα ένα ανθρωπάκι που δεν θα πάρει κάκτο.
(β) Μπορούν όλα εκτός από ένα ανθρωπάκι να πάρουν κάκτο.

Από τα (α) και (β) ο ελάχιστος αριθμός ισούται με .

Για το (α), παρατηρούμε ότι τα πράσινα ανθρωπάκια δίνουν κάκτους μόνο στα μωβ ανθρωπάκια και αντίστροφα. Αν λοιπόν χωρίς βλάβη της γενικότητας τα πράσινα ανθρωπάκια είναι περισσότερα, τότε τουλάχιστον ένα πράσινο ανθρωπάκι δεν θα πάρει κάκτο. (Δεν μπορεί ο αριθμός των πράσινων και μωβ να είναι ο ίδιος αφού υπάεχει περιττός αριθμός από ανθρωπάκια.)

Για το (β), έστω ότι έχουμε πράσινα ανθρωπάκια και μωβ τα οποία συμβολίζουμε με και αντίστοιχα. Για τα και ανταλλάζουν κάκτους. Επίσης το δίνει κάκτο στο . Άρα όλα τσα ανθρωπάκια πήραν κάκτο εκτός από το .