Ολυμπιάδα Μαθηματικού Σχολείου Νέων 2016 (Α. Πετρούπολη 4η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

[i]Το μαθηματικό σχολείο νέων (junior) είναι μια σειρά τάξεων, ομίλων, καλοκαιρινών σχολείων που οργανώνονται από το μαθηματικό τμήμα του κρατικού πανεπιστημίου της Αγίας Πετρούπολης. Το "σχολείο" αυτό διοργανώνει την αναφερθείσα ολυμπιάδα.[/i]

[b]Θέματα της δεύτερης φάσης για 4η τάξη, 2016.[/b]

[b]Βασική αίθουσα[/b]

[b]1.[/b] Εφτά νάνοι παρατάχθηκαν κατά σειρά ύψους, ξεκινώντας από τον πιο ψηλό. Ο πρώτος (δηλαδή ο ψηλότερος) είπε: «Το ύψος μου είναι 60 εκ». Ο δεύτερος είπε: «το ύψος μου είναι 61 εκ». Στη συνέχεια κατά σειρά: «το ύψος μου είναι 62 εκ», «το ύψος μου είναι 63 εκ», «το ύψος μου είναι 64 εκ», «το ύψος μου είναι 65 εκ», και στο τέλος ο πιο κοντός είπε: «Το ύψος μου είναι 66 εκ». Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός νάνων που θα μπορούσαν να είχαν πει αλήθεια.


[b]2.[/b] Η γατοτροφή πωλείται σε μεγάλα και μικρά πακέτα. Στο μεγάλο πακέτο υπάρχει περισσότερη γατοτροφή από ότι στο μικρό αλλά, λιγότερη από ότι σε δυο μικρά πακέτα. Ένα μεγάλο πακέτο και δυο μικρά φτάνουν ακριβώς για δυο μέρες για μια γάτα. Φτάνουν άραγε σε μια γάτα τέσσερα μεγάλα και τέσσερα μικρά πακέτα γατοτροφής για έξη μέρες;


[b]3.[/b] Η Ευγενία είχε 9 κάρτες με τα ψηφία από το 1 έως το 9. Έχασε την κάρτα με το 7. Μπορεί να τοποθετήσει τις εναπομείναντες 8 κάρτες σε μια σειρά έτσι, ώστε οποιεσδήποτε δυο γειτονικές κάρτες να σχηματίζουν αριθμό που να διαιρείται με το 7;


[b]4.[/b] Κόψτε το «τετραγωνικό» τρίγωνο (βλ. Σχήμα) σε μερικά κομμάτια διαφορετικού εμβαδού έτσι, ώστε το αθροίσματα των αριθμών σε κάθε κομμάτι να είναι ίσα.
[centre][attachment=0]jmsh_2016_class4.PNG[/attachment][/centre]

[b]Καταληκτική αίθουσα[/b]


[b]5.[/b] Ένας ταχυδακτυλουργός και ο βοηθός του επιδεικνύουν το ακόλουθο κόλπο. Οι θεατές τοποθετούν σε ένα κύκλο 11 νομίσματα (με κεφάλι ή γράμματα προς τα πάνω). Ο βοηθός σκεπάζει με κούπες όλα τα νομίσματα, εκτός από ένα. Έπειτα εισέρχεται ο ταχυδακτυλουργός και δείχνει σε άλλο ένα (σκεπασμένο) νόμισμα, που είναι τοποθετημένο όπως και το μη σκεπασμένο. Εξηγήστε πως μπορούν να συνεννοηθούν μεταξύ τους ο ταχυδακτυλουργός και ο βοηθός του, ώστε να κάνουν επίδειξη αυτού το κόλπου.


[b]6.[/b] Σε μια χώρα υπάρχουν 100 πόλεις χωρισμένες σε τρεις πολιτείες. Μερικές πόλεις συνδέονται με αυτοκινητόδρομους. Ο υπουργός μεταφορών βρήκε τουλάχιστον 70 πόλεις , τέτοιες ώστε από την κάθε μία να εξέρχονται τουλάχιστον 70 αυτοκινητόδρομοι. Να αποδείξετε, ότι κάποιος αυτοκινητόδρομος συνδέει πόλεις της ίδιας πολιτείας.


[b]7.[/b] Σε τρία παιδιά δόθηκε ένας αριθμός χωρίς μηδενικά στη γραφή του. Το κάθε παιδί κάπως μετέθεσε (άλλαξε θέση) τα ψηφία αυτού του αριθμού. Προέκυψε, ότι το άθροισμα αυτών των τεσσάρων αριθμών (συμπεριλαμβανομένου του αρχικού) γράφεται μόνο με το ψηφίο 1. Να αποδείξετε, ότι στον αρχικό αριθμό υπάρχει ψηφίο μεγαλύτερο ή ίσο με 5.

[Mihalis_Lambrou]

4. Κόψτε το «τετραγωνικό» τρίγωνο (βλ. Σχήμα) σε μερικά κομμάτια διαφορετικού εμβαδού έτσι, ώστε το αθροίσματα των αριθμών σε κάθε κομμάτι να είναι ίσα.

[Mihalis_Lambrou]

3. Η Ευγενία είχε 9 κάρτες με τα ψηφία από το 1 έως το 9. Έχασε την κάρτα με το 7. Μπορεί να τοποθετήσει τις εναπομείναντες 8 κάρτες σε μια σειρά έτσι, ώστε οποιεσδήποτε δυο γειτονικές κάρτες να σχηματίζουν αριθμό που να διαιρείται με το 7;

Όχι δεν μπορεί: Οι διαδοχικοί αριθμοί που επιτρέπονται είναι βέβαια οι

Ο δεν μπορεί να είναι πρώτος στην σειρά γιατί αμέσως μετά θα είναι υποχρεωτικά ο (για να δώσει τον επιτρεπτό ), κατόπιν υποχρεωτικά ο (λόγω του ) και μετά πάλι ο . Άρα σκαλώσαμε.
Για τον ίδιο λόγο ο δεν μπορεί να είναι δεύτερος, τρίτος ή τέταρτος.
Δεν μπορεί να είναι πέμπτος στην σειρά γιατί τότε ο προηγούμενος είναι υποχρεωτικά ο , ο προπροηγούμενος ο και ο πριν από αυτόν πάλι ο . Ξανασκαλώσαμε.
Για τον ίδιο λόγο ο δεν μπορεί να είναι έκτος, έβδομος ή όγδοος. Δηλαδή δεν χωράει πουθενά.

Edit: Διόρθωσα αρχική μου λύση γιατί είχα καταλάβει άλλη ερώτηση: Ότι τα διαδοχικά ζεύγη πρέπει να έχουν άθροισμα πολλαπλάσιο του (ούτε αυτό είναι εφικτό).

[Mihalis_Lambrou]

5. Ένας ταχυδακτυλουργός και ο βοηθός του επιδεικνύουν το ακόλουθο κόλπο. Οι θεατές τοποθετούν σε ένα κύκλο 11 νομίσματα (με κεφάλι ή γράμματα προς τα πάνω). Ο βοηθός σκεπάζει με κούπες όλα τα νομίσματα, εκτός από ένα. Έπειτα εισέρχεται ο ταχυδακτυλουργός και δείχνει σε άλλο ένα (σκεπασμένο) νόμισμα, που είναι τοποθετημένο όπως και το μη σκεπασμένο. Εξηγήστε πως μπορούν να συνεννοηθούν μεταξύ τους ο ταχυδακτυλουργός και ο βοηθός του, ώστε να κάνουν επίδειξη αυτού το κόλπου.

Εργαζόμαστε με την φορά των δεικτών του ρολογιού: Αφού τα νομίσματα είναι περιττό πλήθος, θα υπάρχουν δύο διαδοχικά που και τα δύο είναι γράμματα ή και τα δύο κεφάλι (διότι δεν θα μπορούσε να ήταν εναλλάξ, ΚΓΚΓ...Γ, που δίνει άρτιο πλήθος). Οπότε ο βοηθός αφήνει ασκέπαστο το πρώτο από δύο όμοια, και ο ταχυδακτυλουργός "μαντεύει" το αμέσως επόμενο (δίπλα του).

[Mihalis_Lambrou]

1. Εφτά νάνοι παρατάχθηκαν κατά σειρά ύψους, ξεκινώντας από τον πιο ψηλό. Ο πρώτος (δηλαδή ο ψηλότερος) είπε: «Το ύψος μου είναι 60 εκ». Ο δεύτερος είπε: «το ύψος μου είναι 61 εκ». Στη συνέχεια κατά σειρά: «το ύψος μου είναι 62 εκ», «το ύψος μου είναι 63 εκ», «το ύψος μου είναι 64 εκ», «το ύψος μου είναι 65 εκ», και στο τέλος ο πιο κοντός είπε: «Το ύψος μου είναι 66 εκ». Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός νάνων που θα μπορούσαν να είχαν πει αλήθεια.

Το πολύ ένας μπορεί να λέει την αλήθεια: Αν υπάρχει τουλάχιστον ένας που λέει την αλήθεια, εξετάζουμε τον πιο ψηλό από αυτούς. Τον λένε Ιβάν. Με άλλα λόγια δεν υπάρχει κανένας μπροστά από τον Ιβάν που να λέει την αλήθεια. Όλοι οι επόμενοι του Ιβάν λένε ψέματα αφού ισχυρίζονται ότι είναι ψηλότεροι από τον Ιβάν. Άρα κανένας μετά τον Ιβάν δεν λέει την αλήθεια. Μόνος και έρημος ο Ιβάν λέει την αλήθεια.

[Mihalis_Lambrou]

2. Η γατοτροφή πωλείται σε μεγάλα και μικρά πακέτα. Στο μεγάλο πακέτο υπάρχει περισσότερη γατοτροφή από ότι στο μικρό αλλά, λιγότερη από ότι σε δυο μικρά πακέτα. Ένα μεγάλο πακέτο και δυο μικρά φτάνουν ακριβώς για δυο μέρες για μια γάτα. Φτάνουν άραγε σε μια γάτα τέσσερα μεγάλα και τέσσερα μικρά πακέτα γατοτροφής για έξη μέρες;

Δεν φτάνουν.

Η υπόθεση είναι (όπου το βάρος σε κιλά του μικρού κουτιού και του μεγάλου.
Επίσης, για μέρες θέλουμε ακριβώς κιλά, οπότε για μέρες θέλουμε (τριπλασιάζουμε) ακριβώς κιλά. Όμως αφού (ισοδυναμεί με το δοθέν ) , δεν μας φτάνουν τα τέσσερα μεγάλα και τέσσερα μικρά πακέτα.

[Mihalis_Lambrou]

6. Σε μια χώρα υπάρχουν 100 πόλεις χωρισμένες σε τρεις πολιτείες. Μερικές πόλεις συνδέονται με αυτοκινητόδρομους. Ο υπουργός μεταφορών βρήκε τουλάχιστον 70 πόλεις , τέτοιες ώστε από την κάθε μία να εξέρχονται τουλάχιστον 70 αυτοκινητόδρομοι. Να αποδείξετε, ότι κάποιος αυτοκινητόδρομος συνδέει πόλεις της ίδιας πολιτείας.

Τα δεδομένα έχουν πολύ περίσσευμα: Μας αρκεί να ξέρουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον πόλεις τέτοιες ώστε από την κάθε μία να εξέρχονται τουλάχιστον αυτοκινητόδρομοι.

Τώρα, αφού οι πόλεις είναι , η πιο μεγάλη πολιτεία έχει τουλάχιστον πόλεις (γιατί με έχουμε έλλειμα). Άρα οι άλλες δύο πολιτείες μαζί έχουν το πολύ πόλεις. Αφού οι πόλεις με αυτοκινητοδρόμους είναι ή περισσότερες, σημαίνει κάποια δεν είναι από τις των δύο μικρότερων πολιτειών. Άρα είναι πόλη της μεγάλης πολιτείας. Αυτή η πόλη έχει αυτοκινητόδρομους, οπότε δεν μπορεί να συνδέεται μόνο με τις πόλεις στις άλλες δύο πολιτείες. Συνεπώς συνδέεται με τουλάχιστον μία πόλη από την δική της πολιτεία. Αυτό θέλαμε να δείξουμε.

[nikkru]

63.png (1.81 KiB) Προβλήθηκε 1112 φορές

4. Κόψτε το «τετραγωνικό» τρίγωνο (βλ. Σχήμα) σε μερικά κομμάτια διαφορετικού εμβαδού έτσι, ώστε το αθροίσματα των αριθμών σε κάθε κομμάτι να είναι ίσα.

Αυτή (και οι παραλλαγές της) είναι και η μοναδική περίπτωση (τρία κομμάτια με άθροισμα αριθμών κάθε κομματιού ) αφού το άθροισμα

όλων των αριθμών είναι και οι αριθμοί κάθε κομματιού πρέπει να έχουν άθροισμα τουλάχιστον .