Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

Δίνεται η εξίσωση: $\displaystyle{x^3-12x+8=0~~~~~(\star)}$

Αν ο αριθμός $\displaystyle{2017\rho_1}$ είναι λύση της εξίσωσης $\displaystyle{(\star)}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\rho_2=\dfrac{4034\rho_1-4}{2017\rho_1}}$ είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{(\star)}$ .

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}$ . Πάνω στις πλευρές του $\displaystyle{{\rm AB}}$ και $\displaystyle{{\rm A\Gamma}}$ παίρνουμε σημεία $\displaystyle{{\rm K}}$ και $\displaystyle{{\rm N}}$ , αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\displaystyle{{\rm KB=KN}}$ . Η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\angle{\rm A\Gamma B}}$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}$ στα σημεία $\displaystyle{{\rm \Gamma}}$ και $\displaystyle{{\rm P}}$ . Αν η κάθετη από το $\displaystyle{{\rm P}}$ πάνω στην $\displaystyle{{\rm AB}}$ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{{\rm BN}}$ στο $\displaystyle{{\rm \Delta}}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\angle{\rm K\Delta A}=\angle{\rm KNA}}$ .

Πρόβλημα 3

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $\displaystyle{a_1=2015, \beta_1=2016}$ και $\displaystyle{\gamma_1=2017}$ . Κάποιος παίζει το εξής παιχνίδι, ακολουθώντας τα πιο κάτω βήματα:

Βήμα 1: Διαγράφει από τον πίνακα δύο από τους αριθμούς $\displaystyle{a_1, \beta_1, \gamma_1}$ (έστω ότι διαγράφει τους αριθμούς $\displaystyle{a_1, \beta_1}$ ) και στη θέση τους γράφει τους αριθμούς $\displaystyle{a_2=2a_1-\beta_1, \beta_2=2\beta_1-a_1}$ .

Βήμα 2: Διαγράφει από τον πίνακα δύο από τους αριθμούς $\displaystyle{a_2, \beta_2, \gamma_1}$ (έστω ότι διαγράφει τους αριθμούς $\displaystyle{\beta_2, \gamma_1}$ ) και στη θέση τους γράφει τους αριθμούς $\displaystyle{\beta_3=2\beta_2-\gamma_1, \gamma_2=2\gamma_1-\beta_2}$ .

Τότε, στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $\displaystyle{a_2, \beta_3, \gamma_2}$ . Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται και στα επόμενα βήματα.

Να εξετάσετε αν μετά από κάποιο πλήθος βημάτων είναι δυνατόν οι δύο από τους τρεις αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα να είναι ταυτόχρονα ίσοι με το μηδέν.

Πρόβλημα 4

Να βρείτε όλους τους τετραψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{\nu}$ , έτσι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\nu^2}$ και $\displaystyle{\nu^3}$ (γραμμένοι στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης) να έχουν ίδιο το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα τους, το οποίο να είναι διαφορετικό του $\displaystyle{\nu}$ .

(Δηλαδή, αν το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα των $\displaystyle{\nu^2}$ και $\displaystyle{\nu^3}$ είναι $\displaystyle{\overline{a\beta\gamma\delta}}$ , τότε $\displaystyle{\overline{a\beta\gamma\delta}\neq\nu}$ .)

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση της εκφώνησης του προβλήματος 1.

harrisp · #2

Πρόβλημα 2

Από το θεώρημα του Νότιου Πόλου η $P\Delta$ είναι μεσοκάθετος του

και άρα $\angle KA \Delta =\angle NBA=\angle KNB$ δηλ. το $KAN\Delta$ είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.

JimNt. · #3

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $\displaystyle{a_1=2015, \beta_1=2016}$ και $\displaystyle{\gamma_1=2017}$ . Κάποιος παίζει το εξής παιχνίδι, ακολουθώντας τα πιο κάτω βήματα:

Βήμα 1: Διαγράφει από τον πίνακα δύο από τους αριθμούς $\displaystyle{a_1, \beta_1, \gamma_1}$ (έστω ότι διαγράφει τους αριθμούς $\displaystyle{a_1, \beta_1}$ ) και στη θέση τους γράφει τους αριθμούς $\displaystyle{a_2=2a_1-\beta_1, \beta_2=2\beta_1-a_1}$ .

Βήμα 2: Διαγράφει από τον πίνακα δύο από τους αριθμούς $\displaystyle{a_2, \beta_2, \gamma_1}$ (έστω ότι διαγράφει τους αριθμούς $\displaystyle{\beta_2, \gamma_1}$ ) και στη θέση τους γράφει τους αριθμούς $\displaystyle{\beta_3=2\beta_2-\gamma_1, \gamma_2=2\gamma_1-\beta_2}$ .

Τότε, στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $\displaystyle{a_2, \beta_3, \gamma_2}$ . Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται και στα επόμενα βήματα.

Να εξετάσετε αν μετά από κάποιο πλήθος βημάτων είναι δυνατόν οι δύο από τους τρεις αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα να είναι ταυτόχρονα ίσοι με το μηδέν.

Θα ήθελα να εκφράσω μερικές απορίες για την εκφώνηση της άσκησης: Γιατί υφίσταται διαχωρισμός βημάτων αφού ουσιαστικά αυτό που γίνεται αντιληπτό είναι ότι αν επιλέξουμε τους m,n

, γράφουμε στον πίνακα τους 2n-m

,

; Σε περίπτωση που αυτό όντως ισχύει δεν θα είναι σχετικά απλό για τον λύτη να παρατηρήσει ότι αν ότι οι αριθμοί που προκύπτουν έπειτα από κάθε περίπτωση είναι ένας προς ένας ισοϋπόλοιποι $\mod 2$ με τους

προηγούμενους (δηλαδή αν δοθούν

περιττοί θα προκύψουν

περιττοί κλπ..) και συνεπώς δεν θα προκύψουν

άρτιοι σε καμία περίπτωση; Συγνώμη αν χάνω κάτι...

Datis-Kalali · #4

Πρόβλημα 3

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $\displaystyle{a_1=2015, b_1=2016}$ και $\displaystyle{c_1=2017}$ . Κάποιος παίζει το εξής παιχνίδι, ακολουθώντας τα πιο κάτω βήματα:

Βήμα 1: Διαγράφει από τον πίνακα δύο από τους αριθμούς $\displaystyle{a_1, b_1, c_1}$ (έστω ότι διαγράφει τους αριθμούς $\displaystyle{a_1, b_1}$ ) και στη θέση τους γράφει τους αριθμούς $\displaystyle{a_2=2a_1-b_1, b_2=2b_1-a_1}$ .

Βήμα 2: Διαγράφει από τον πίνακα δύο από τους αριθμούς $\displaystyle{a_2, b_2, c_1}$ (έστω ότι διαγράφει τους αριθμούς $\displaystyle{b_2, c_1}$ ) και στη θέση τους γράφει τους αριθμούς $\displaystyle{\beta_3=2\beta_2-c_1, c_2=2c_1-b_2}$ .

Τότε, στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $\displaystyle{a_2, b_3, c_2}$ . Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται και στα επόμενα βήματα.

Να εξετάσετε αν μετά από κάποιο πλήθος βημάτων είναι δυνατόν οι δύο από τους τρεις αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα να είναι ταυτόχρονα ίσοι με το μηδέν.

Το άθροισμα των αριθμών πάνω στον πίνακα είναι αναλλοίωτη, άφου 2x-y+2y-x+z=x+y+z

Έτσι αν είναι δυνατόν οι δύο από τους τρεις αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα να είναι ταυτόχρονα ίσοι με το μηδέν, τότε έχουμε τους αριθμούς 6048, 0, 0

πάνω στον πίνακα.
Αλλά μετά απο κάθε βήμα, δεν μπορούμε να έχουμε τρείς άρτιους αριθμόυς πάνω στον πίνακα,(αφού δεν αλλάζει η αρτιοτητά σε κάθε βήμα) και τοτε δεν μπορούμε να έχουμε τους αριθμούς 6048, 0 , 0

πάνω στον πίνακα.

Datis-Kalali · #5

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1
Να βρείτε όλους τους τετραψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{n}$ , έτσι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{n^2}$ και $\displaystyle{n^3}$ (γραμμένοι στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης) να έχουν ίδιο το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα τους, το οποίο να είναι διαφορετικό του $\displaystyle{n}$ .

(Δηλαδή, αν το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα των $\displaystyle{n^2}$ και $\displaystyle{n^3}$ είναι $\displaystyle{\overline{a\beta\gamma\delta}}$ , τότε $\displaystyle{\overline{a\beta\gamma\delta}\neq n}$ .)

Το πρόβλημα ζητάει να βρουμε τετραψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{n}$ , έτσι ώστε
$n^3 \equiv n^2 (mod 10^4) , n^2 \not\equiv n (mod 10^4)$
$\Rightarrow 10^4 \vert n^3-n^2=n^2(n-1)$
gcd(n^2,n-1)=1

και $n-1\not\equiv 0 (mod 10^4)$ αφού $n^2 \not\equiv n (mod 10^4)$
έτσι $10^4 \vert n^2 \Rightarrow 10^2 \vert n$
Άρα οι ζητούμενοι 90 αριθμοί είναι 1000,1100,1200,1300,....,9700,9800,9900

#6

JimNt. έγραψε:
Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $\displaystyle{a_1=2015, \beta_1=2016}$ και $\displaystyle{\gamma_1=2017}$ . Κάποιος παίζει το εξής παιχνίδι, ακολουθώντας τα πιο κάτω βήματα:

Βήμα 1: Διαγράφει από τον πίνακα δύο από τους αριθμούς $\displaystyle{a_1, \beta_1, \gamma_1}$ (έστω ότι διαγράφει τους αριθμούς $\displaystyle{a_1, \beta_1}$ ) και στη θέση τους γράφει τους αριθμούς $\displaystyle{a_2=2a_1-\beta_1, \beta_2=2\beta_1-a_1}$ .

Βήμα 2: Διαγράφει από τον πίνακα δύο από τους αριθμούς $\displaystyle{a_2, \beta_2, \gamma_1}$ (έστω ότι διαγράφει τους αριθμούς $\displaystyle{\beta_2, \gamma_1}$ ) και στη θέση τους γράφει τους αριθμούς $\displaystyle{\beta_3=2\beta_2-\gamma_1, \gamma_2=2\gamma_1-\beta_2}$ .

Τότε, στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $\displaystyle{a_2, \beta_3, \gamma_2}$ . Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται και στα επόμενα βήματα.

Να εξετάσετε αν μετά από κάποιο πλήθος βημάτων είναι δυνατόν οι δύο από τους τρεις αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα να είναι ταυτόχρονα ίσοι με το μηδέν.

Θα ήθελα να εκφράσω μερικές απορίες για την εκφώνηση της άσκησης: Γιατί υφίσταται διαχωρισμός βημάτων αφού ουσιαστικά αυτό που γίνεται αντιληπτό είναι ότι αν επιλέξουμε τους , γράφουμε στον πίνακα τους , ; Σε περίπτωση που αυτό όντως ισχύει δεν θα είναι σχετικά απλό για τον λύτη να παρατηρήσει ότι αν ότι οι αριθμοί που προκύπτουν έπειτα από κάθε περίπτωση είναι ένας προς ένας ισοϋπόλοιποι $\mod 2$ με τους προηγούμενους (δηλαδή αν δοθούν περιττοί θα προκύψουν περιττοί κλπ..) και συνεπώς δεν θα προκύψουν άρτιοι σε καμία περίπτωση; Συγνώμη αν χάνω κάτι...

#7

Datis-Kalali έγραψε:
Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1
Να βρείτε όλους τους τετραψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{n}$ , έτσι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{n^2}$ και $\displaystyle{n^3}$ (γραμμένοι στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης) να έχουν ίδιο το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα τους, το οποίο να είναι διαφορετικό του $\displaystyle{n}$ .

(Δηλαδή, αν το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα των $\displaystyle{n^2}$ και $\displaystyle{n^3}$ είναι $\displaystyle{\overline{a\beta\gamma\delta}}$ , τότε $\displaystyle{\overline{a\beta\gamma\delta}\neq n}$ .)
Το πρόβλημα ζητάει να βρουμε τετραψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{n}$ , έτσι ώστε
$n^3 \equiv n^2 (mod 10^4) , n^2 \not\equiv n (mod 10^4)$
$\Rightarrow 10^4 \vert n^3-n^2=n^2(n-1)$

και $n-1\not\equiv 0 (mod 10^4)$ αφού $n^2 \not\equiv n (mod 10^4)$
έτσι $10^4 \vert n^2 \Rightarrow 10^2 \vert n$
Άρα οι ζητούμενοι 90 αριθμοί είναι

Υπάρχουν και άλλες λύσεις.

Datis-Kalali · #8

Demetres έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:
Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1
Να βρείτε όλους τους τετραψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{n}$ , έτσι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{n^2}$ και $\displaystyle{n^3}$ (γραμμένοι στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης) να έχουν ίδιο το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα τους, το οποίο να είναι διαφορετικό του $\displaystyle{n}$ .

(Δηλαδή, αν το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα των $\displaystyle{n^2}$ και $\displaystyle{n^3}$ είναι $\displaystyle{\overline{a\beta\gamma\delta}}$ , τότε $\displaystyle{\overline{a\beta\gamma\delta}\neq n}$ .)
Το πρόβλημα ζητάει να βρουμε τετραψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{n}$ , έτσι ώστε
$n^3 \equiv n^2 (mod 10^4) , n^2 \not\equiv n (mod 10^4)$
$\Rightarrow 10^4 \vert n^3-n^2=n^2(n-1)$

και $n-1\not\equiv 0 (mod 10^4)$ αφού $n^2 \not\equiv n (mod 10^4)$
έτσι $10^4 \vert n^2 \Rightarrow 10^2 \vert n$
Άρα οι ζητούμενοι 90 αριθμοί είναι
Υπάρχουν και άλλες λύσεις.

Παρακαλώ μπορείτε να βαλετε οι άλλες λύσεις?

#9

Datis-Kalali έγραψε: Παρακαλώ μπορείτε να βαλετε οι άλλες λύσεις?

Μια άλλη ομάδα λύσεων (υπάρχουν και άλλες) είναι η $1025,1425,1825,\ldots,9825$ . Θα αφήσω όμως λίγο χρόνο πριν βάλω πλήρη λύση για να βρεις που έγινε το λάθος.

Datis-Kalali · #10

Demetres έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε: Παρακαλώ μπορείτε να βαλετε οι άλλες λύσεις?
Μια άλλη ομάδα λύσεων (υπάρχουν και άλλες) είναι η $1025,1425,1825,\ldots,9825$ . Θα αφήσω όμως λίγο χρόνο πριν βάλω πλήρη λύση για να βρεις που έγινε το λάθος.

Ευχαριστώ

JimNt. · #11

Θα παρακαλούσα τους συντονιστές να αλλάξουν την εκφώνηση του πρώτου προβλήματος που είναι εσφαλμένη.

Ορέστης Λιγνός · #12

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Δίνεται η εξίσωση: $\displaystyle{x^3-12x+8=0~~~~~(\star)}$

Αν ο αριθμός $\color{red}2017 \color{black}\displaystyle{\rho_1}$ είναι λύση της εξίσωσης $\displaystyle{(\star)}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{ \rho_2=\dfrac{4034\rho_1-4}{2017\rho_1}}$ είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{(\star)}$ .

Θέτουμε $2017\rho_1=a, \, b=\rho_2=2-\dfrac{4}{a}$ , με a^3-12a+8=0

(1)

Θα δείξουμε ότι a^2+ab+b^2=12

.

Είναι $a^2+ab+b^2=12 \Leftrightarrow a^2+a(2-\dfrac{4}{a})+(2-\dfrac{4}{a})^2=12 \Leftrightarrow \ldots$

$\Leftrightarrow a^4+2a^3-12a^2-16a+16=0$ (2).

Αρκεί να δείξουμε λοιπόν την (2).

Όμως, $a^4=a \cdot a^3 \mathop = \limits^{(1)} a(12a-8)=12a^2-8a$ , και αντικαθιστώντας,

.

Άρα, ισχύει η (2), οπότε όντως a^2+ab+b^2=12

(3).

Συνεπώς, $(3) \Rightarrow (a^2+ab+b^2)(a-b)=12(a-b) \Leftrightarrow a^3-b^3=12a-12b \Leftrightarrow$

$a^3-12a=b^3-12b \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} b^3-12b=-8 \Leftrightarrow b^3-12b+8=0$ , που δίνει το ζητούμενο.

Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Μέλη σε σύνδεση