IMC Stage-II 2016
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: IMC Stage-II 2016
Η λύση μου ήταν λανθασμένη.
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Πέμ Απρ 27, 2017 3:01 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC Stage-II 2016
Δύο παρατηρήσεις:Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Από εκφώνηση, έχω την εξίσωση:Demetres έγραψε:
Άσκηση 5: Στην καλαθόσφαιρα η βολή αξίζει έναν πόντο, το δίποντο δύο και το τρίποντο τρεις. Ο Στέφανος πετυχαίνει βολές και άλλα καλάθια. Αν έβαζε τα διπλάσια δίποντα και τα μισά τρίποντα θα πετύχαινε επιπλέον πόντους. Πόσους πόντους σκόραρε ο Στέφανος;
(α) Η εκφώνηση υπονοεί ότι και στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να μετρήσουμε τις βολές. Άρα η σωστή εξίσωση είναι
(β) Το σύστημα λύθηκε λανθασμένα. Στην περίπτωσή σου θα έπρεπε να βγάλεις .
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: IMC Stage-II 2016
Έστω τα δίποντα που σκόραρε και τα τρίποντα. Άρα, από εκφώνηση, έχω:Demetres έγραψε:
Άσκηση 5: Στην καλαθόσφαιρα η βολή αξίζει έναν πόντο, το δίποντο δύο και το τρίποντο τρεις. Ο Στέφανος πετυχαίνει βολές και άλλα καλάθια. Αν έβαζε τα διπλάσια δίποντα και τα μισά τρίποντα θα πετύχαινε επιπλέον πόντους. Πόσους πόντους σκόραρε ο Στέφανος;
Αν πέτυχε βολές και καλάθια, έχω και το σύστημα:
Τελικά,
Επομένως, ο Στέφανος πέτυχε: πόντους
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC Stage-II 2016
Ωραία!
Δίνω και υπόδειξη για το 3:
Υπάρχουν πέντε διαφορετικά εμβαδά που εμφανίζονται στο σχήμα. Ονόμασέ τα . Γράψε τώρα κάποιες εξισώσεις που ικανοποιούν αυτά τα εμβαδά.
Παρεμπιπτόντως, μην σβήνεις τις παλιές/λανθασμένες αναρτήσεις διότι χαλούν την ροή των υπόλοιπων αναρτήσεων. Να κάνεις επεξεργασία γράφοντας από κάτω κάτι στου στυλ: «Η συγκεκριμένη λύση είναι λανθασμένη. Δείτε τα επόμενα σχόλια.»
Αργότερα σήμερα θα βάλω και τις ασκήσεις 7 και 8.
Δίνω και υπόδειξη για το 3:
Υπάρχουν πέντε διαφορετικά εμβαδά που εμφανίζονται στο σχήμα. Ονόμασέ τα . Γράψε τώρα κάποιες εξισώσεις που ικανοποιούν αυτά τα εμβαδά.
Παρεμπιπτόντως, μην σβήνεις τις παλιές/λανθασμένες αναρτήσεις διότι χαλούν την ροή των υπόλοιπων αναρτήσεων. Να κάνεις επεξεργασία γράφοντας από κάτω κάτι στου στυλ: «Η συγκεκριμένη λύση είναι λανθασμένη. Δείτε τα επόμενα σχόλια.»
Αργότερα σήμερα θα βάλω και τις ασκήσεις 7 και 8.
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: IMC Stage-II 2016
Demetres έγραψε:Ωραία!
Δίνω και υπόδειξη για το 3:
Υπάρχουν πέντε διαφορετικά εμβαδά που εμφανίζονται στο σχήμα. Ονόμασέ τα . Γράψε τώρα κάποιες εξισώσεις που ικανοποιούν αυτά τα εμβαδά.
Παρεμπιπτόντως, μην σβήνεις τις παλιές/λανθασμένες αναρτήσεις διότι χαλούν την ροή των υπόλοιπων αναρτήσεων. Να κάνεις επεξεργασία γράφοντας από κάτω κάτι στου στυλ: «Η συγκεκριμένη λύση είναι λανθασμένη. Δείτε τα επόμενα σχόλια.»
Αργότερα σήμερα θα βάλω και τις ασκήσεις 7 και 8.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC Stage-II 2016
Να το λύσω διαφορετικά διότι δεν φαίνεται ξεκάθαρα στην λύση τι είναι τι.Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Γεια σας κύριε Δημήτρη!Demetres έγραψε:
Άσκηση 6: Ο Γιάννης τρέχει με διπλάσια ταχύτητα από ότι περπατάει. (Και οι δύο ταχύτητες είναι σταθερές.) Μια μέρα που πήγε στο σχολείο,
περπάτησε διπλάσιο χρόνο από ότι έτρεξε και συνολικά του πήρε λεπτά. Την επόμενη μέρα έτρεξε διπλάσιο χρόνο από ότι περπάτησε. Πόσα λεπτά του πήρε για να πάει στο σχολείο;
Έστω η ταχύτητα που περπατάει. Αν τρέχει με διπλάσια ταχύτητα από ότι περπατάει, την πρώτη μέρα έτρεξε και περπάτησε ίσο χρόνο .
Τη δεύτερη μέρα, έτρεξε διπλάσιο χρόνο από ότι περπάτησε, . Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα αν ο χρόνος ήταν , έχω:
Έστω ότι ο Γιάννης περπατάει με ταχύτητα μέτρα το λεπτό. Άρα τρέχει με ταχύτητα μέτρα το λεπτό. Την πρώτη μέρα περπάτησε λεπτά και έτρεξε λεπτά. Συνολικά λοιπόν διένυσε μέτρα.
Έστω ότι την δεύτερη μέρα περπάτησε λεπτά. Άρα έτρεξε λεπτά. Οπότε διένυσε μέτρα. Επειδή τότε .
Άρα την δεύτερη μέρα του πήρε λεπτά για να πάει στο σχολείο.
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: IMC Stage-II 2016
Από εκφώνηση, έχω:Demetres έγραψε:
Άσκηση 7: Ο Δημήτρης έχει μερικά φιστίκια. Την πρώτη μέρα έφαγε φιστίκια το πρωί και το ένα δέκατο τον υπολοίπων το απόγευμα. Την δεύτερη μέρα έφαγε φιστίκια το πρωί και το ένα δέκατο των υπολοίπων το απόγευμα. Αν έφαγε τον ίδιο αριθμό φιστικιών κάθε μέρα, πόσα φιστίκια του έμειναν;
Άρα,
Επομένως, τού έμειναν:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC Stage-II 2016
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Από εκφώνηση, έχω:Demetres έγραψε:
Άσκηση 7: Ο Δημήτρης έχει μερικά φιστίκια. Την πρώτη μέρα έφαγε φιστίκια το πρωί και το ένα δέκατο τον υπολοίπων το απόγευμα. Την δεύτερη μέρα έφαγε φιστίκια το πρωί και το ένα δέκατο των υπολοίπων το απόγευμα. Αν έφαγε τον ίδιο αριθμό φιστικιών κάθε μέρα, πόσα φιστίκια του έμειναν;
Άρα,
Επομένως, τού έμειναν:
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: IMC Stage-II 2016
Demetres έγραψε:
Να το λύσω διαφορετικά διότι δεν φαίνεται ξεκάθαρα στην λύση τι είναι τι.
Έστω ότι ο Γιάννης περπατάει με ταχύτητα μέτρα το λεπτό. Άρα τρέχει με ταχύτητα μέτρα το λεπτό. Την πρώτη μέρα περπάτησε λεπτά και έτρεξε λεπτά. Συνολικά λοιπόν διένυσε μέτρα.
Έστω ότι την δεύτερη μέρα περπάτησε λεπτά. Άρα έτρεξε λεπτά. Οπότε διένυσε μέτρα. Επειδή τότε .
Άρα την δεύτερη μέρα του πήρε λεπτά για να πάει στο σχολείο.
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: IMC Stage-II 2016
Εύκολα, αν προσθέσουμε τους πρώτους άρτιους θα βρούμε . Αν προσθέσουμε άλλο, ξεπερνάμε το .Demetres έγραψε: Άσκηση 8: Το άθροισμα διαφορετικών θετικών ακεραίων ισούται με . Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος από αυτούς που πρέπει απαραίτητα να είναι περιττοί;
Συωεπώς χειαζόμαστε τουλάχιστον περιττούς, το οποίο είναι αδύνατο γιατί δεν θα έχουν άρτιο άθροισμα.
Επομένως, θα χρειαστούμε απαραίτητα περιττούς.
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: IMC Stage-II 2016
Γεια σας κύριε Δημήτρη!Demetres έγραψε: Άσκηση 9: Το άθροισμα θετικών ακεραίων ισούται με . Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του μέγιστου κοινού διαιρέτη τους.
Θα πρέπει ο ΜΚΔ τους να διαιρεί το και να έχει πηλίκο μεγαλύτερο του αλλά όσο το δυνατό μικρότερο.
Αυτό είναι το , που βγαίνει , που ισχύει γιατί:
Άρα, ο τους είναι
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Τετ Μάιος 17, 2017 5:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC Stage-II 2016
Σωστά. Για τον διαγωνισμό μόνο η απάντηση είναι αρκετή. Για την δικαιολόγηση (που δεν απαιτείται από τον διαγωνισμό) χρειάζεται να δώσουμε και παράδειγμα που να χρησιμοποιεί μόνο περιττούς. Ένα τέτοιο είναι τοΚατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Εύκολα, αν προσθέσουμε τους πρώτους άρτιους θα βρούμε . Αν προσθέσουμε άλλο, ξεπερνάμε το .Demetres έγραψε: Άσκηση 8: Το άθροισμα διαφορετικών θετικών ακεραίων ισούται με . Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος από αυτούς που πρέπει απαραίτητα να είναι περιττοί;
Συωεπώς χειαζόμαστε τουλάχιστον περιττούς, το οποίο είναι αδύνατο γιατί δεν θα έχουν άρτιο άθροισμα.
Επομένως, θα χρειαστούμε απαραίτητα περιττούς.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC Stage-II 2016
Σωστά. Εκεί που λες υπόλοιπο εννοείς βέβαια πηλίκο.Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Γεια σας κύριε Δημήτρη!Demetres έγραψε: Άσκηση 9: Το άθροισμα θετικών ακεραίων ισούται με . Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του μέγιστου κοινού διαιρέτη τους.
Θα πρέπει ο ΜΚΔ τους να διαιρεί το και να έχει υπόλοιπο μεγαλύτερο του αλλά όσο το δυνατό μικρότερο.
Αυτό είναι το , που βγαίνει , που ισχύει γιατί:
Άρα, ο τους είναι
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC Stage-II 2016
Demetres έγραψε: Άσκηση 3: Με κέντρο κάθε κορυφή ενός τετραγώνου πλευράς cm, εγγράφουμε κύκλο ακτίνας cm όπως φαίνεται στο πιο κάτω διάγραμμα. Πόσο μεγαλύτερο σε είναι το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής από το εμβαδόν κύκλου ακτίνας cm; (Χρησιμοποιήστε .)
CapturFiles.png
Έστω τα εμβαδά που φαίνονται στο πιο πάνω σχήμα. Ζητείται να βρούμε το
.
Γνωρίζουμε τα εξής:
(1) . [Εμβαδόν κυκλικού τομέα.]
(2) . [Εμβαδόν κυκλικού τομέα.]
(3) . [Ίσα σχήματα.]
(4) . [Εμβαδόν τετραγώνου]
Από τις (2) και (3), απαλείφοντας το παίρνουμε:
(5)
Από τις (2) και (4), απαλείφοντας το παίρνουμε:
(6)
Από τις (5) και (6), απαλείφοντας το παίρνουμε:
(7)
Τώρα από τις (1) και (7) παίρνουμε:
.
Οπότε .
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: IMC Stage-II 2016
Πατάτα!!!Demetres έγραψε:
Σωστά. Εκεί που λες υπόλοιπο εννοείς βέβαια πηλίκο.
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: IMC Stage-II 2016
Αν χρειάζεται και παράδειγμα, πάω πάσο. ( )Demetres έγραψε:
Σωστά. Για τον διαγωνισμό μόνο η απάντηση είναι αρκετή. Για την δικαιολόγηση (που δεν απαιτείται από τον διαγωνισμό) χρειάζεται να δώσουμε και παράδειγμα που να χρησιμοποιεί μόνο περιττούς. Ένα τέτοιο είναι το
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: IMC Stage-II 2016
ΩωωωDemetres έγραψε:
Έστω τα εμβαδά που φαίνονται στο πιο πάνω σχήμα. Ζητείται να βρούμε το
.
Γνωρίζουμε τα εξής:
(1) . [Εμβαδόν κυκλικού τομέα.]
(2) . [Εμβαδόν κυκλικού τομέα.]
(3) . [Ίσα σχήματα.]
(4) . [Εμβαδόν τετραγώνου]
Από τις (2) και (3), απαλείφοντας το παίρνουμε:
(5)
Από τις (2) και (4), απαλείφοντας το παίρνουμε:
(6)
Από τις (5) και (6), απαλείφοντας το παίρνουμε:
(7)
Τώρα από τις (1) και (7) παίρνουμε:
.
Οπότε .
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: IMC Stage-II 2016
Νομίζω ότι έχω κατανοήσει λάθος την άσκηση, αλλά όπως το κατάλαβα, θα απαντήσω.Demetres έγραψε: Άσκηση 11: Η Άννα ξεκινάει να γράφει όλους τους πρώτους αριθμούς τον ένα δίπλα από τον άλλο ως εξής: . Σταματάει όταν έγραψε πρώτους. Έπειτα, αφαιρεί ψηφία ώστε να παραμείνει γραμμένος ένας εννιαψήφιος αριθμός. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή αυτού του αριθμού;
Οι πρώτοι που έγραψε σχημάτισαν τον αριθμό . Αν του αφαιρέσει ψηφία, προκύπτει ο αριθμός .
Όπως γράφει η εκφώνηση, καταλαβαίνω (εγώ) ότι τους γράφει με τη σειρά. Δεν ξέρω αν είναι σωστό...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 23 επισκέπτες