Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (6η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 - 6η τάξη


Πρόβλημα 1. Ένας αγρότης περιέφραξε ένα μεγάλο κομμάτι γης και χώρισε το εσωτερικό του σε τρίγωνα πλευράς 50 μέτρων. Σε κάποια από αυτά τα τρίγωνα φύτεψε λάχανα και σε κάποια άλλα έβαλε να βοσκήσουν κατσίκες. Βοηθήστε τον αγρότη να φτιάξει κατά μήκος του πλέγματος συμπληρωματικούς φράχτες όσο το δυνατόν μικρότερου συνολικού μήκους, ώστε να προφυλάξει τα λάχανα από τις κατσίκες. (*)

mmo_2017_class6_pr1.PNG (9.82 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Πρόβλημα 2. Σε δυο κάρτες είναι γραμμένα τέσσερα διαφορετικά ψηφία, ένα σε κάθε πλευρά της κάρτας. Είναι δυνατόν κάθε διψήφιος αριθμός που μπορεί να σχηματιστεί από αυτές τις κάρτες, να είναι πρώτος; (δεν επιτρέπεται να αναποδογυριστεί ένα ψηφίο, δηλαδή από το ψηφίο 6 να σχηματίσουμε το 9 και το αντίστροφο).


Πρόβλημα 3. Μεταξύ όλων των εδρών 8 ίδιων κύβων το ένα τρίτο είναι χρωματισμένες με μπλε και οι υπόλοιπες με κόκκινο χρώμα. Από αυτούς τους κύβους σχηματίστηκε ένας μεγαλύτερος κύβος. Τώρα από τις έδρες που είναι ορατές ακριβώς το ένα τρίτο είναι κόκκινες . Να αποδείξετε, ότι με αυτούς τους κύβους μπορεί να σχηματιστεί κύβος που θα είναι εξ ολοκλήρου κόκκινος εξωτερικά.


Πρόβλημα 4. Κόψτε το παρακάτω σχήμα σε δώδεκα ίσα σχήματα.

mmo_2017_class6_pr4.PNG (2.22 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Πρόβλημα 5. Μια ομάδα τουριστών μοιράζεται μεταξύ τους μπισκότα. Αν μοιράσουν εξίσου στο καθένα δυο ίδια πακέτα μπισκότων, τους περισσεύει ένα μπισκότο. Αν μοιράσουν εξίσου τρία τέτοια πακέτα, τους περισσεύουν 13 μπισκότα. Από πόσους τουρίστες αποτελείται η ομάδα;


Πρόβλημα 6. Η Κίρκη κρατάει αιχμάλωτους στο νησί της την Αιαία 43 άτομα. Ο Οδυσσέας με μια διθέσια βάρκα πάει να διασώσει τους συντρόφους του και να τους μεταφέρει στο πλοίο. Η Κίρκη του λέει:
«Φαίνεται πως οι θεοί δε σου γύρισαν τελείως την πλάτη και αποφάσισαν να σε βοηθήσουν να πάρεις τους συντρόφους σου με την βάρκα. Αλλά έχε υπόψη τα εξής: Από το νησί στο πλοίο μπορούν να πλεύσουν μόνο δυο κάθε φορά, πίσω μπορεί να επιστρέψει και ένας. Πριν τις πλεύσεις θα πω στον καθένα ότι τουλάχιστον 40 άλλοι θα γίνουν χοίροι. Σε ποιόν για ποιους θα πω, θα μου το πεις εσύ. Αν κάποιος ακούσει (γνωρίζει) για κάποιον άλλο, ότι θα γίνει χοίρος τότε δεν μπαίνει μαζί του στην βάρκα, αλλά στο νησί ή το πλοίο μπορούν να συνυπάρξουν. Θα τους κάνω μάγια έτσι, ώστε στο νησί και το πλοίο να σιωπούν, αλλά στην βάρκα ο καθένας τους να εξιστορεί στον άλλον για όλους τους γνωστούς του που θα γίνουν χοίροι. Ακόμη και ένας σύντροφός σου να μείνει στο νησί, εσύ μαζί του δεν επιτρέπεται να πλεύσεις. Μόνο όταν και οι 43 βρεθούν στο πλοίο, ένας από αυτούς μπορεί να έρθει να σε πάρει. Αν δεν μπορέσεις να τους μεταφέρεις θα παραμείνεις για πάντα στο νησί και οι σύντροφοι σου θα γίνουν χοίροι.»
Υπάρχει τρόπος ο πολυμήχανος Οδυσσέας να σώσει τους συντρόφους του και να γυρίσει μαζί τους στην Ιθάκη;


(*) Το πλήρες σύνολο των βαθμών δόθηκε για συνολικό μήκος λιγότερο του 700.

Σημείωση: Σύμφωνα με την πηγή που είναι η επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας εδώ. «Τα θέματα και οι λύσεις διατίθενται ελεύθερα για μη εμπορική χρήση (με επιθυμητή την αναφορά στην πηγή κατά την ανατύπωση)».

[theano]

LXXX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 - 6η τάξη

Πρόβλημα 2. Σε δυο κάρτες είναι γραμμένα τέσσερα διαφορετικά ψηφία, ένα σε κάθε πλευρά της κάρτας. Είναι δυνατόν κάθε διψήφιος αριθμός που μπορεί να σχηματιστεί από αυτές τις κάρτες, να είναι πρώτος; (δεν επιτρέπεται να αναποδογυριστεί ένα ψηφίο, δηλαδή από το ψηφίο 6 να σχηματίσουμε το 9 και το αντίστροφο).

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Όχι. Θα δικαιολογήσω αργότερα την απάντηση μου.

[theano]

LXXX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 - 6η τάξη

Πρόβλημα 2. Σε δυο κάρτες είναι γραμμένα τέσσερα διαφορετικά ψηφία, ένα σε κάθε πλευρά της κάρτας. Είναι δυνατόν κάθε διψήφιος αριθμός που μπορεί να σχηματιστεί από αυτές τις κάρτες, να είναι πρώτος; (δεν επιτρέπεται να αναποδογυριστεί ένα ψηφίο, δηλαδή από το ψηφίο 6 να σχηματίσουμε το 9 και το αντίστροφο).

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Όχι. Θα δικαιολογήσω αργότερα την απάντηση μου.

Κανένα από τα τέσσερα ψηφία δεν μπορεί να είναι άρτιος γιατί κάθε διψήφιος που λήγει σε άρτιο είναι σύνθετος.
Δεν μπορεί κάποιο από τα τέσσερα ψηφία να είναι το 5 γιατί πάλι κάθε διψήφιος που λήγει σε 5 είναι σύνθετος.
Μένουν μόνο τα ψηφία . Όμως οι διψήφιοι που δημιουργούνται είναι σύνθετοι.
Γι αυτό δεν είναι δυνατόν όλοι οι διψήφιοι που σχηματίζονται να είναι πρώτοι.

[Mihalis_Lambrou]

Μένουν μόνο τα ψηφία . Όμως οι διψήφιοι που δημιουργούνται είναι σύνθετοι.
Γι αυτό δεν είναι δυνατόν όλοι οι διψήφιοι που σχηματίζονται να είναι πρώτοι.

Έπιασες την κεντρική ιδέα αλλά το βήμα που σημείωσα με κόκκινο είναι λάθος: Τα και μπορεί να είναι στην ίδια κάρτα (η μπρος και η πίσω πλευρά) οπότε δεν εμφανίζονται οι αριθμοί και .

Συνέχισε από εδώ.

[theano]

Μένουν μόνο τα ψηφία . Όμως οι διψήφιοι που δημιουργούνται είναι σύνθετοι.
Γι αυτό δεν είναι δυνατόν όλοι οι διψήφιοι που σχηματίζονται να είναι πρώτοι.

Έπιασες την κεντρική ιδέα αλλά το βήμα που σημείωσα με κόκκινο είναι λάθος: Τα και μπορεί να είναι στην ίδια κάρτα (η μπρος και η πίσω πλευρά) οπότε δεν εμφανίζονται οι αριθμοί και .

Συνέχισε από εδώ.

Αν οι αριθμοί και είναι στις δύο πλευρές της ίδιας κάρτας, τότε στην άλλη κάρτα είναι οι αριθμοί και .
Πάλι όμως προκύπτει ο σύνθετος αριθμός .Γι αυτό δεν είναι δυνατόν όλοι οι διψήφιοι που σχηματίζονται να είναι πρώτοι.

[Mihalis_Lambrou]

Αν οι αριθμοί και είναι στις δύο πλευρές της ίδιας κάρτας, τότε στην άλλη κάρτα είναι οι αριθμοί και .
Πάλι όμως προκύπτει ο σύνθετος αριθμός .Γι αυτό δεν είναι δυνατόν όλοι οι διψήφιοι που σχηματίζονται να είναι πρώτοι.