Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7185
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Demetres » Τετ Μαρ 15, 2017 8:03 pm

(Ο διαγωνισμός απευθύνεται σε μαθητές δημοτικού και δεν έχει σχέση με τον αντίστοιχο διαγωνισμό για φοιτητές.)

Πρόβλημα 1

(α) Να κάνετε τις πράξεις:

\displaystyle{ 2017 - 2015 + 2013 - 2011 + 2009 - 2007 + 2005 - 2003 + \cdots + 9 - 7 + 5 - 3 }

(β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

\displaystyle{ \frac{\frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9}}{\frac{1}{5 \cdot 6 \cdot 7} + \frac{1}{6 \cdot 7\cdot 8} + \frac{1}{7 \cdot 8 \cdot 9}}}

Πρόβλημα 2

(α) Να λύσετε την εξίσωση

\displaystyle{ 5(x-5) - 7 = 6 + 2(x-1)}

(β) Τρεις φίλοι Α,Β και Γ κρατούν συνολικά €500. Αν ο Α δώσει €6 στον Β, τότε ο Α θα κρατεί διπλάσια χρήματα από τον Β. Αν μετά την συναλλαγή των Α και Β, ο Β δώσει €6 στον Γ, τότε οι Β και Γ θα κρατούν το ίδιο ποσό χρημάτων. Να βρείτε πόσα χρήματα κρατούσε ο καθένας αρχικά.

Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα το AB\Gamma\Delta είναι παραλληλόγραμμο με εμβαδόν 360 \text{ cm}^2. Τα E,Z,H,\Theta και I είναι σημεία της διαγωνίου του B\Delta, τέτοια ώστε \Delta E = EZ = ZH = H\Theta = \Theta I = IB.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου.

Problem3.png
Problem3.png (23.02 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές


Πρόβλημα 4

Ο αγώνας μπάσκετ μεταξύ δύο ομάδων Α και Β έληξε με σκορ 43-38. Στο πρώτο ημίχρονο υπήρξε νικητής και η κάθε ομάδα σημείωσε διψήφιο αριθμό πόντων. Και οι δύο ομάδες σημείωσαν περισσότερους πόντους στο δεύτερο ημίχρονο από ότι στο πρώτο ημίχρονο.

Να βρείτε πόσα είναι όλα τα πιθανά σκορ του πρώτου ημιχρόνου.

Πρόβλημα 5

Συμπληρώστε το πιο κάτω «μαγικό» πεντάγωνο, έτσι ώστε σε κάθε πλευρά του το άθροισμα των τριών αριθμών στους κύκλους να είναι ίσο με 500.

(Να φαίνεται καθαρά ο τρόπος με τον οποίο εργαστήκατε για να βρείτε το αποτέλεσμα.)

Problem5.png
Problem5.png (38.87 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 468
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 16, 2017 4:37 pm

Demetres έγραψε:\displaystyle{ 2017 - 2015 + 2013 - 20111+ 2009 - 2007 + 2005 - 2003 + \cdots + 9 - 7 + 5 - 3 }


Κύριε Δημήτρη χρόνια πολλά. Νομίζω υπάρχει ένα τυπογραφικό λάθος! ;)


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 468
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 16, 2017 5:42 pm

Demetres έγραψε:
Πρόβλημα 1

(α) Να κάνετε τις πράξεις:

\displaystyle{ 2017 - 2015 + 2013 - 2011 + 2009 - 2007 + 2005 - 2003 + \cdots + 9 - 7 + 5 - 3 }

(β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

\displaystyle{ \dfrac{\dfrac{1}{6 \cdot 7} + \dfrac{1}{7\cdot 8} + \dfrac{1}{8 \cdot 9}}{\dfrac{1}{5 \cdot 6 \cdot 7} + \dfrac{1}{6 \cdot 7\cdot 8} + \dfrac{1}{7 \cdot 8 \cdot 9}}}


(a) Παρατηρώ ότι σε κάθε αφαίρεση, η διαφορά είναι 2. Κάθε μειωτέος έχει διαφορά με τον επόμενο μειωτέο 4.
Συνολικά υπάρχουν 2017:4=504,25 δηλαδή 504 αφαιρέσεις. Άρα A=504 \cdot 2 \Rightarrow \boxed{A=1008}

(\beta)EK \Pi(6 \cdot 7,7 \cdot 8, 8 \cdot 9)=504 και EK \Pi(5 \cdot 6 \cdot 7,6 \cdot 7 \cdot 8, 7 \cdot 8 \cdot 9)=5040

H B=\displaystyle{ \dfrac{\dfrac{1}{6 \cdot 7} + \dfrac{1}{7\cdot 8} + \dfrac{1}{8 \cdot 9}}{\dfrac{1}{5 \cdot 6 \cdot 7} + \dfrac{1}{6 \cdot 7\cdot 8} + \dfrac{1}{7 \cdot 8 \cdot 9}}}\Rightarrow B=\dfrac{\dfrac{28}{504}}{\dfrac{49}{5040}}\Rightarrow \boxed{B=\dfrac{40}{7}}
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Κυρ Απρ 16, 2017 8:33 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 468
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 16, 2017 6:15 pm

Demetres έγραψε:
Πρόβλημα 2

(α) Να λύσετε την εξίσωση

\displaystyle{ 5(x-5) - 7 = 6 + 2(x-1)}

(β) Τρεις φίλοι Α,Β και Γ κρατούν συνολικά €500. Αν ο Α δώσει €6 στον Β, τότε ο Α θα κρατεί διπλάσια χρήματα από τον Β. Αν μετά την συναλλαγή των Α και Β, ο Β δώσει €6 στον Γ, τότε οι Β και Γ θα κρατούν το ίδιο ποσό χρημάτων. Να βρείτε πόσα χρήματα κρατούσε ο καθένας αρχικά.


(a) 5(x-5)-7=6+2(x-1)\Rightarrow 3x=36 \Rightarrow \boxed{x=12}

(\beta) Αν ο A δώσει 6€ στον B και τότε έχει τα διπλάσια από τον B έχω την παρακάτω εξίσωση:

A-6=2(B+6)\Rightarrow \boxed{A-18=2B}(1)

Αν ο B δώσει στον \Gamma τα λεφτά που πήρε από τον A και τότε B=\Gamma, έχω την παρακάτω εξίσωση:

B+6-6=\Gamma+6 \Rightarrow \boxed{B=\Gamma+6}(2)

Από (1),(2) έχω:

A-18=2\Gamma+12 \Rightarrow \boxed{A=2\Gamma+30}(3)

Από (1),(2),(3) έχω την εξίσωση:

2\Gamma+30+\Gamma+6+\Gamma=500 \Rightarrow 4\Gamma=464 \Rightarrow \boxed{\Gamma=116}

Επομένως \boxed{A=262} και \boxed{B=122}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5272
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από george visvikis » Κυρ Απρ 16, 2017 6:19 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
(a) Παρατηρώ ότι σε κάθε αφαίρεση, η διαφορά είναι 2. Κάθε μειωτέος έχει διαφορά με τον επόμενο μειωτέο 4. Επίσης, κάθε φορά που προστίθενται 2

(με την αφαίρεση), η απόσταση από τους μειωτέους αυξάνεται κατά 4. Αφού 2017-3=2012, έχω ότι A=2012:2\Rightarrow \boxed{A=1006}


Γεια σου Νικόλα και Χρόνια Πολλά!

Πέρα από το λαθάκι(δεν το λαμβάνω υπόψη μου) στην αφαίρεση 2017-3=2014 αντί 2012 υπάρχει και ένα άλλο λάθος στον υπολογισμό.

Για να σε βοηθήσω θα πάρω κάποιους αρχικούς όρους: 21-19+17-15+13-11+9-7+5-3=10,

αλλά 21-3=18 και 18:2=9 και όχι 10. Σκέψου τι άλλο μπορεί να συμβαίνει.


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 468
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 16, 2017 6:23 pm

george visvikis έγραψε:
Γεια σου Νικόλα και Χρόνια Πολλά!

Πέρα από το λαθάκι(δεν το λαμβάνω υπόψη μου) στην αφαίρεση 2017-3=2014 αντί 2012 υπάρχει και ένα άλλο λάθος στον υπολογισμό.

Για να σε βοηθήσω θα πάρω κάποιους αρχικούς όρους: 21-19+17-15+13-11+9-7+5-3=10,

αλλά 21-3=18 και 18:2=9 και όχι 10. Σκέψου τι άλλο μπορεί να συμβαίνει.


Κύριε Γιώργο χρόνια πολλά! Νομίζω πως τώρα είναι σωστή! :P


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 468
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 16, 2017 9:38 pm

Demetres έγραψε:
Πρόβλημα 4

Ο αγώνας μπάσκετ μεταξύ δύο ομάδων Α και Β έληξε με σκορ 43-38. Στο πρώτο ημίχρονο υπήρξε νικητής και η κάθε ομάδα σημείωσε διψήφιο αριθμό πόντων. Και οι δύο ομάδες σημείωσαν περισσότερους πόντους στο δεύτερο ημίχρονο από ότι στο πρώτο ημίχρονο.

Να βρείτε πόσα είναι όλα τα πιθανά σκορ του πρώτου ημιχρόνου.


Αφού στο πρώτο ημίχρονο σημειώθηκαν διψήφιοι αριθμοί πόντων και λιγότεροι του δεύτερου ημιχρόνου, έχω ότι η A και η B ομάδες σκόραραν:

10 \leq A \leq 21 και 10 \leq B \leq 18.

\cdot Σε περίπτωση που η A σκόραρε 10 πόντους, η B μπορεί να έχει σκοράρει από 11 μέχρι 18 πόντους, δηλαδή 8 πιθανά σκορ.

\cdot Σε περίπτωση που η A σκόραρε 11 πόντους, η B μπορεί να έχει σκοράρει από 10 μέχρι 18 πόντους (εκτός του 11), δηλαδή 8 πιθανά σκορ.

\cdot Σε περίπτωση που η A σκόραρε 12 πόντους, η B μπορεί να έχει σκοράρει από 10 μέχρι 18 πόντους (εκτός του 12), δηλαδή 8 πιθανά σκορ.

Κάθε φορά βρίσκουμε 8, εξαιρώντας το σκορ της αντίπαλης ομάδας γιατί υπήρξε νικητής. Όταν η A σκοράρει 19 ή 20 ή 21 τα πιθανά σκορ είναι 9.

Άρα τα πιθανά σκορ είναι:

\boxed{8 \cdot 12+3=99}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7185
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Demetres » Δευ Απρ 17, 2017 11:34 am

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε:\displaystyle{ 2017 - 2015 + 2013 - 20111+ 2009 - 2007 + 2005 - 2003 + \cdots + 9 - 7 + 5 - 3 }


Κύριε Δημήτρη χρόνια πολλά. Νομίζω υπάρχει ένα τυπογραφικό λάθος! ;)


Ασφαλώς και είναι τυπογραφικό. Ευχαριστώ που το πρόσεξες. Το διόρθωσα.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7185
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Demetres » Δευ Απρ 17, 2017 11:37 am

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε:
Πρόβλημα 4

Ο αγώνας μπάσκετ μεταξύ δύο ομάδων Α και Β έληξε με σκορ 43-38. Στο πρώτο ημίχρονο υπήρξε νικητής και η κάθε ομάδα σημείωσε διψήφιο αριθμό πόντων. Και οι δύο ομάδες σημείωσαν περισσότερους πόντους στο δεύτερο ημίχρονο από ότι στο πρώτο ημίχρονο.

Να βρείτε πόσα είναι όλα τα πιθανά σκορ του πρώτου ημιχρόνου.


Αφού στο πρώτο ημίχρονο σημειώθηκαν διψήφιοι αριθμοί πόντων και λιγότεροι του δεύτερου ημιχρόνου, έχω ότι η A και η B ομάδες σκόραραν:

10 \leq A \leq 21 και 10 \leq B \leq 18.


Ας δούμε και ένα διαφορετικό τρόπο για να συνεχίσει:

Όλα τα πιθανά σκορ, συμπεριλαμβανομένων και των ισοπαλιών είναι 12 \ cdot 9 = 108. Από αυτά αφαιρούμε τις 9 πιθανές ισοπαλίες. Άρα συνολικά έχουμε 99 πιθανά σκορ.


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 468
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Απρ 17, 2017 12:08 pm

Σχετικά με το θέμα 5ο, μπορούν να μπουν και αρνητικοί ή μηδενικοί αριθμοί;


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 468
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Απρ 17, 2017 12:10 pm

Demetres έγραψε:
Ας δούμε και ένα διαφορετικό τρόπο για να συνεχίσει:

Όλα τα πιθανά σκορ, συμπεριλαμβανομένων και των ισοπαλιών είναι 12 \cdot 9 = 108. Από αυτά αφαιρούμε τις 9 πιθανές ισοπαλίες. Άρα συνολικά έχουμε 99 πιθανά σκορ.


:coolspeak:


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7185
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από Demetres » Δευ Απρ 17, 2017 12:13 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Σχετικά με το θέμα 5ο, μπορούν να μπουν και αρνητικοί ή μηδενικοί αριθμοί;


Στην τελική απάντηση είναι όλοι οι αριθμοί θετικοί ακέραιοι. Η εκφώνηση όμως δεν απαγορεύει κάποιοι από τους αριθμούς να είναι αρνητικοί ή μηδενικοί.


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 468
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Απρ 17, 2017 12:29 pm

Demetres έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Σχετικά με το θέμα 5ο, μπορούν να μπουν και αρνητικοί ή μηδενικοί αριθμοί;


Στην τελική απάντηση είναι όλοι οι αριθμοί θετικοί ακέραιοι. Η εκφώνηση όμως δεν απαγορεύει κάποιοι από τους αριθμούς να είναι αρνητικοί ή μηδενικοί.


Κατάλαβα.


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 468
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Απρ 17, 2017 7:32 pm

Demetres έγραψε:
Πρόβλημα 5

Συμπληρώστε το πιο κάτω «μαγικό» πεντάγωνο, έτσι ώστε σε κάθε πλευρά του το άθροισμα των τριών αριθμών στους κύκλους να είναι ίσο με 500.


Problem5.png
Problem5.png (35.8 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές


Αν σε κάθε σειρά το άθροισμα είναι 500, έχω:

A+B=275(1)
B+C=354(2)
C+D=296(3)
D+E=220(4)
A+E=195(5)

Τα προσθέτω κατά μέλη και έχω ότι:

2A+2B+2C+2D+2E=1340 \Rightarrow \boxed{A+B+C+D+E=670}(6)

Από (1), (2), (3), (4), (5), (6) \Rightarrow 275-B+B+296-D+D+E=670 \Rightarrow \boxed{E=99}

Άρα \boxed{A=96}, \boxed{B=179}, \boxed{C=175} και \boxed{D=121}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7185
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Demetres » Δευ Απρ 17, 2017 9:05 pm

Ωραία. Έμεινε μόνο το 3. Δεν είναι δύσκολο.


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 468
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Απρ 17, 2017 10:00 pm

Demetres έγραψε:Ωραία. Έμεινε μόνο το 3. Δεν είναι δύσκολο.


Νομίζω το έχω λύσει. Τα τρίγωνα ΗΙΓ και ΑΕΗ είναι ισόπλευρα;


nikkru
Δημοσιεύσεις: 173
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από nikkru » Δευ Απρ 17, 2017 10:13 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε:Ωραία. Έμεινε μόνο το 3. Δεν είναι δύσκολο.


Νομίζω το έχω λύσει. Τα τρίγωνα ΗΙΓ και ΑΕΗ είναι ισόπλευρα;


Όχι, δεν είναι ισόπλευρα.

Παρατήρησε τι κοινό έχουν τα τρίγωνα που απαρτίζουν το σκιασμένο χωρίο (σε σχέση με τον υπολογισμό του εμβαδού τους ).


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 468
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Απρ 17, 2017 10:20 pm

nikkru έγραψε:
Όχι, δεν είναι ισόπλευρα.

Παρατήρησε τι κοινό έχουν τα τρίγωνα που απαρτίζουν το σκιασμένο χωρίο (σε σχέση με τον υπολογισμό του εμβαδού τους ).


Τώρα είδα πως δεν είναι απαραίτητα ισόπλευρα. Θα ξαναδοκιμάσω και θα απαντήσω σε λίγο...


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 468
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τρί Απρ 18, 2017 1:58 pm

Demetres έγραψε:
Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα το AB\Gamma\Delta είναι παραλληλόγραμμο με εμβαδόν 360 \text{ cm}^2. Τα E,Z,H,\Theta και I είναι σημεία της διαγωνίου του B\Delta, τέτοια ώστε \Delta E = EZ = ZH = H\Theta = \Theta I = IB.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου.


Problem3.png
Problem3.png (62.48 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές


Τέμνω τα σημεία Z, H,  \Theta με τα A, \Gamma. Φέρνω ύψος από το A, κοινό για τα A \Delta E, AEZ, AZH, AH \Theta, A \Theta I, AIB. Αφού έχουν ίσες βάσεις και ίσα ύψη, είναι ισοεμβαδικά.

Συνολικά στο AB \Gamma \Delta υπάρχουν 12 ισοεμβαδικά τρίγωνα. Άρα, το εμβαδόν της σκιασμένου χωρίου είναι:

\dfrac{360}{12} \cdot 4 \Rightarrow \boxed{A \Delta \Gamma E+ AI \Gamma B=120 cm^{2}}


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9175
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 18, 2017 5:24 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Συνολικά στο AB \Gamma \Delta υπάρχουν 12 ισοεμβαδικά τρίγωνα.

Προσοχή εδώ.

Έχεις δείξει ότι τα έξι τρίγωνα πάνω από την διαγώνιο, δηλαδή τα A \Delta E, AEZ, AZH, AH \Theta, A \Theta I, AIB, είναι ισεμβαδικά. Όμοια είναι ισεμβαδικά και τα έξι τρίγωνα κάτω από την διαγώνιο. Όμως ισχυρίστηκες ότι καθένα από τα έξι πρώτα είναι ισεμβαδικό καθένα από τα έξι δεύτερα, σύνολο 12. Αυτό, αν και σωστό, χρειάζεται αιτιολόγιση καθώς είναι ουσιαστικό μέρος του συλλογισμού.

Να το θέσω αλλιώς: Πουθενά δεν χρησιμοποίησες ότι το δοθέν είναι παραλληλόγραμμο. Άρα, είτε απέδειξες κάτι γενικότερο από ότι ζητά η άσκηση, είτε ο συλλογισμός σου έχει κενό. Όμως το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι δεν είναι σωστό το συμπέρασμα αν δεν υποθέσουμε ότι ξεκινήσαμε από παραλληλόγραμμο. Συνεπώς κάπου πρέπει να το χρησιμοποιήσεις.
.
Συνημμένα
12 trigona.png
12 trigona.png (13.34 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές



Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες