ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5161
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Ιαν 28, 2017 9:35 am

Καλημέρα !!!

Αυτά είναι τα θέματα ΕΥΚΛΕΙΔΗ 2017. Γράψτε τις ωραίες και αναλυτικές λύσεις σας !

Καλά αποτελέσματα και καλή αντάμωση στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ !!!
Συνημμένα
ΘΕΜΑΡΤΑ EYKLEIDHS 2017_f.pdf
(327.01 KiB) Μεταφορτώθηκε 2603 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Σάβ Ιαν 28, 2017 12:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2438
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από achilleas » Σάβ Ιαν 28, 2017 9:41 am

ΘΕΜΑ 1-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Για x\geq 0 η δοθείσα γίνεται x^2-9=0 με λύσεις x=\pm 3, από τις oποίες δεκτή γίνεται η x=3.

Για x<0, η δοθείσα γίνεται x^2+8x-9=0 με λύσεις x=1 ή x=-9, από τις oποίες δεκτή γίνεται η x=-9.

(Σχόλιο: αυτό είναι κατάλληλο Θέμα για το διαγωνισμό ΕΥΚΛΕΙΔΗ?)

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 28, 2017 12:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2438
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από achilleas » Σάβ Ιαν 28, 2017 9:45 am

ΘΕΜΑ 1- Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Η δοθείσα γράφεται

(x^2-16)^2=\dfrac{4|x+2|}{|x+2|^2+2^2}-1=-\dfrac{(|x+2|-2)^2}{|x+2|^2+2^2}\leq 0

Αναγκαστικά πρέπει x^2=16 και |x+2|=2, δηλαδή x=-4

Φιλικά,

Αχιλλέας


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1021
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από pana1333 » Σάβ Ιαν 28, 2017 10:21 am

Καλημέρα. Το αρχείο είναι σε pdf? Δεν μπορώ να το ανοίξω απο το κινητό ..Ευχαριστώ

Οκ... Ευχαριστώ Μιχάλη....Γιωργο... Σταυρο.... :)
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Σάβ Ιαν 28, 2017 11:01 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2909
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Ιαν 28, 2017 10:33 am

Καλημέρα και καλή επιτυχία στα παιδιά!

Β' Λυκείου - Πρόβλημα 3

B-lykeiou-Problem3.png
B-lykeiou-Problem3.png (40.8 KiB) Προβλήθηκε 9777 φορές

Προφανώς {\rm O}{\rm M} \bot {\rm A}\Gamma, {\rm Z}{\rm M}{\rm O}{\rm K} εγγράψιμο και {\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma  = {\rm A}\widehat {\rm O}{\rm M}

Έτσι το \Delta {\rm Z}\Gamma {\rm B} είναι εγγράψιμο, οπότε {\rm A}\Delta  \cdot {\rm A}{\rm B} = {\rm A}{\rm Z} \cdot {\rm A}\Gamma  \Leftrightarrow 2{\rm A}{\rm E} \cdot {\rm A}{\rm B} = {\rm A}{\rm Z} \cdot 2{\rm A}{\rm M} \Leftrightarrow {\rm B}{\rm E}{\rm Z}{\rm M} εγγράψιμο
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Σάβ Ιαν 28, 2017 12:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5161
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Ιαν 28, 2017 10:40 am

eykleides2017-b.lyk.PNG
eykleides2017-b.lyk.PNG (22.52 KiB) Προβλήθηκε 9760 φορές
Β' ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μια λύση από το συνάδελφο Θανάση Μπεληγιάννη( στο εξεταστικό κέντρο)

Με απλές σχέσεις γωνιών(θα τις συμπληρώσουμε αργότερα) προκύπτει ότι το BDZC είναι εγγράψιμο (η γωνία ADZ είναι ίσh με C$).


Επομένως :

AD\cdot AB=AZ\cdot AC , δηλαδή 2AE\cdot AB=AZ\cdot (2AM) και τελικά : AE\cdot AB=AZ\cdot AM

To συμπέρασμα είναι προφανές !

(Μιχάλη, έβαλες τη λύση την ώρα που εγώ την έγραφα.Την αφήνω για να φαίνεται η κοινή πορεία των ...μαθηματικών)


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 526
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιαν 28, 2017 10:48 am

ΘΕΜΑ 2 -Β' Λυκείου

Το σύστημα γράφεται ισοδύναμα

(x_{1}+1) + (x_{2}+1) + ... + (x_{2017}+1) = 0

(x_{1}^4+x_{1}^3) + (x_{2}^4+x_{2}^3)+...+(x_{2017}^4+x_{2017}^3) = 0

προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

(x_{1}^4+x_{1}^3 + x_{1}+1)  + (x_{2}^4+x_{2}^3 + x_{2}+1)+ ... +(x_{2017}^4+x_{2017}^3 + x_{2017}+1) = 0

για καθέ όρο του παραπάνω αθροίσματος έχουμε

(x_{i}^4+x_{i}^3 + x_{i}+1) = x_{i}^3(x_{i}+1) +(x_{i}+1) = (x_{i}^3+1)(x_{i}+1) =

(x_{i}+1)(x_{i}+1)(x_{i}^2-x_{i}+1) = (x_{i}+1)^2(x_{i}^2-x_{i}+1) \geq 0

με την ισότητα να ισχύει μόνο αν x_{i} = -1 , i=1,2...,2017

Οπότε η λύση του συστήματος είναι x_{1}=x_{2}= ... =x_{2017} = -1


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2438
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από achilleas » Σάβ Ιαν 28, 2017 10:50 am

ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Η δοθείσα δίνει

(a+b+c)^2=9(11a+b).

Συνεπώς, το άθροισμα των ψηφίων του \overline{abc} διαιρείται από το 3, κι άρα ο αριθμός είναι πολ/σιο του 3.

Προφανώς, 11a+b\geq 11\cdot 1+0=11, οπότε (a+b+c)^2\geq 99, κι άρα a+b+c\geq 10.

Το πρώτο πολ/σιο του 3, μετά το 10 είναι a+b+c=12.

Παρατηρούμε ότι (a+b+c)^2+a+b+c=12^2+12=156 και 1+5+6=12, οπότε ο 156 είναι μια λύση.

Στη χειρότερη περίπτωση, κάποιος μπορεί να δοκιμάσει και τα πέντε πολλαπλάσια του 3 από το 15 έως το 9+9+9=27, δηλ. τους 15, 18, 21, 24, 27 για να δείξει ότι αυτή είναι και η μοναδική λύση.

Φιλικά,

Αχιλλέας


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2438
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από achilleas » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:09 am

ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Έστω ότι ο Α εκτελεί x έργο ανά μια ώρα, κι έστω ότι ο Β εκτελεί y έργο ανά μια ώρα.

Αφού σε τρεις ώρες εκτελούν 11/20 του έργου, έχουμε 3x+2y=\dfrac{11}{20}.

Έστω ότι ολοκληρώνουν το έργο σε k ώρες από την έναρξη του B. Τότε

(k+1)x=ky=\dfrac{1}{2}.

Έτσι \dfrac{3}{2(k+1)}+\dfrac{2}{2k}=\dfrac{11}{20}.

Εύκολα βρίσκουμε ότι η θετiκή λύση αυτής της εξίσωσης είναι k=4.

Άρα, ο A ολοκληρώνει το μισό έργο σε 5 ώρες, ενώ ο B σε 4 ώρες.

Συνεπώς, ο A ολοκληρώνει το έργο σε 10 ώρες, ενώ ο B σε 8 ώρες.

Επεξεργασία: Ευχαριστώ το μαθητή Ιωάννη Μπέλλο από τη Λάρισα για τη διόρθωση. Από βιαστική ανάγνωση της εκφώνησης, στην αρχική ανάρτηση υπέθεσα οτι ο Α κι ο Β είχαν ήδη εκτελέσει το 9/10 του έργου. Ευτυχώς, μικρό το κακό! :)


Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 28, 2017 1:04 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5161
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:13 am

Al.Koutsouridis έγραψε:ΘΕΜΑ 2 -Β' Λυκείου

Τ..................

για καθέ όρο του παραπάνω αθροίσματος έχουμε

(x_{i}^4+x_{i}^3 + x_{i}+1) = x_{i}^3(x_{i}+1) +(x_{i}+1) = (x_{i}^3+1)(x_{i}+1) =

(x_{i}+1)(x_{i}+1)(x_{i}^2-x_{i}+1) = (x_{i}+1)^2(x_{i}^2-x_{i}+1) \geq 0

με την ισότητα να ισχύει μόνο αν x_{i} = -1 , i=1,2...,2017

Οπότε η λύση του συστήματος είναι x_{1}=x_{2}= ... =x_{2017} = -1


Υπέροχα !

Την ίδια ακριβώς λύση μου έδωσε σε μια επίσκεψη στο γραφείο η επιτηρήτρια στο διαγωνισμό συνάδελφος Γιάννα Στεργίου.

Για να βλέπετε τι ...τραβάνε οι επιτηρητές .Ούτε να ξανάδιναν στο ΑΣΕΠ δεν θα είχαν τόση ...δουλειά !!!


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3694
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από cretanman » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:31 am

4ο Γ Λυκείου

α) Για x=0 παίρνουμε f(0)=0

x=y=\dfrac{1}{2} παίρνουμε

f\left(f\left(\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right)=1 και επιλέγουμε ως a=f\left(\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}

β) Θέτουμε όπου y τo a και παίρνουμε f(2x(a+1))=4ax για κάθε x\in\mathbb{R}

Επειδή a\neq -1 (διότι διαφορετικά θα παίρναμε από την παραπάνω ότι 0=-4x για κάθε x\in\mathbb{R})

άρα θέτοντας στην παραπάνω όπου x το \dfrac{x}{2(a+1)} παίρνουμε f(x)=\dfrac{2ax}{a+1} δηλαδή (αν k=\dfrac{2a}{a+1}) η συνάρτηση είναι της μορφής f(x)=kx.

Επαληθεύοντας για να δούμε ποιες από τις παραπάνω είναι δεκτές, παίρνουμε τελικά k=1 ή k=-2 οπότε τελικά οι δεκτές συναρτήσεις είναι οι f(x)=x και f(x)=-2x.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2438
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από achilleas » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:34 am

ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Έστω K το σημείο τομής των A\Gamma και B\Delta.

Έστω E το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών B και \Gamma.

Παρατηρούμε ότι \angle BE\Gamma=60^\circ.

Αρκεί να δείξουμε ότι \angle BEA+\angle \Delta E\Gamma=120^\circ.

Οι γωνίες οξείες \angle BEK και B\Gamma K έχουν κάθετες τις πλευρές (K ορθόκεντρο του τριγώνουBE\Gamma) κι άρα είναι ίσες.

Συνεπώς, από το ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma, έχουμε \angle BAK=\angle B\Gamma K=\angle BEK, κι άρα το τετράπλευρο ABKE είναι εγγράψιμο.

Ομοίως, το τετράπλευρο \Delta\Gamma KEείναι εγγράψιμο.

Αλλιώς, με κυνήγι γωνιών, βρίσκουμε \angle BEA=\angle BKA και \angle \Delta E\Gamma=\angle \Delta K\Gamma.

Συνεπώς, \angle BEA+\angle \Delta E\Gamma=120^\circ, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
euclid_2017.png
euclid_2017.png (39.87 KiB) Προβλήθηκε 9505 φορές


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 431
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:44 am

Πως σας φάνηκαν τα θέματα της Γ΄ Γυμνασίου; Τα απάντησα όλα, αλλά δυσκολεύτηκα αρκετά...


Houston, we have a problem!
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 94
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:53 am

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Πως σας φάνηκαν τα θέματα της Γ΄ Γυμνασίου; Τα απάντησα όλα, αλλά δυσκολεύτηκα αρκετά...


Νομίζω βατά για δουλεμένα παιδιά...τα 3 πρώτα λογικά θα τα γράψουν "ανώδυνα"... Το τέταρτο αν κάποιος γνωρίζει σχετικά καλή φυσική ( :lol: :lol: ) νομίζω θα το βγάλει και αυτό χωρίς να ζοριστεί πολύ.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4741
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Doloros » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:59 am

Πρόβλημα 3 Α Λυκείου


Έστω δύο ίσα ημικύκλια, προς το ίδιο ημιεπίπεδο, κέντρων B,C και διαμέτρων

\overline {KBC} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {BCL} που τέμνονται στο E. Προφανώς το τρίγωνο

EKL \to (120^\circ ,30^\circ ,30^\circ ). Στο αριστερό ημικύκλιο έστω το σημείο A και στο δεξιό το

σημείο B έτσι ώστε B + C = 240^\circ Ας πούμε δε B = 2\theta \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C = 2\omega.

Επειδή x = \dfrac{1}{2}\widehat {ABK} = \dfrac{1}{2}(180^\circ  - 2\theta ) = 90^\circ  - \theta και ομοίως y = 90^\circ  - \omega θα είναι

x + 120^\circ  + y = 120^\circ  + 90^\circ  - \theta  + 90^\circ  - y = 180^\circ τα σημεία A,E,D ανήκουν στην ίδια

Ευθεία , δηλαδή το τετράπλευρο ABCD είναι αυτό της εκφώνησης.
Ευκλείδης_77_Α_Λυκείου.png
Ευκλείδης_77_Α_Λυκείου.png (42.26 KiB) Προβλήθηκε 9427 φορές

Φέρνω τη διχοτόμο της γωνίας \widehat {ABC} = 2\theta που τέμνει την AD στο S.

Επειδή \widehat {EDB} = \widehat L = 30^\circ και

\widehat {SBD} = \widehat {SBC} - \widehat {DBL} = \theta  - y = \theta  - 90^\circ  + \omega  = 120^\circ  - 90^\circ  = 30^\circ θα είναι SB = SD και

αφού CB = CD η CS είναι διχοτόμος της \widehat {BCD}.

Νίκος


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5161
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Ιαν 28, 2017 12:03 pm

cretanman έγραψε:4ο Γ Λυκείου

α) Για x=0 παίρνουμε f(0)=0

x=y=\dfrac{1}{2} παίρνουμε

f\left(f\left(\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right)=1 και επιλέγουμε ως a=f\left(\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}

β) Θέτουμε όπου y τo a και παίρνουμε f(2x(a+1))=4ax για κάθε x\in\mathbb{R}

Επειδή a\neq -1 (διότι διαφορετικά θα παίρναμε από την παραπάνω ότι 0=-4x για κάθε x\in\mathbb{R})

άρα θέτοντας στην παραπάνω όπου x το \dfrac{x}{2(a+1)} παίρνουμε f(x)=\dfrac{2ax}{a+1} δηλαδή (αν k=\dfrac{2a}{a+1}) η συνάρτηση είναι της μορφής f(x)=kx.

Επαληθεύοντας για να δούμε ποιες από τις παραπάνω είναι δεκτές, παίρνουμε τελικά k=1 ή k=-2 οπότε τελικά οι δεκτές συναρτήσεις είναι οι f(x)=x και f(x)=-2x.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρε, την ίδια ακριβώς λύση κάναμε με το Νίκο Ραβανό εδώ στο ΕΚ. Φαίνεται πως όλα τα κέντρα έχουν ...τηλεπαθητική επικοινωνία !!! Καλό Αρχιμήδη πια !


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3694
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από cretanman » Σάβ Ιαν 28, 2017 12:04 pm

4ο της Β Λυκείου

Οι αριθμοί a+\dfrac{1}{b} και b+\dfrac{1}{a} είναι ακέραιοι άρα o αριθμός \left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{a}\right)=ab+\dfrac{1}{ab}+2 είναι ακέραιος άρα ο αριθμός ab+\dfrac{1}{ab} είναι ακέραιος.

Έστω ab=\dfrac{k}{l} όπου (k,l)=1 και \dfrac{k^2+l^2}{kl}\in\mathbb{Z} και αφού k|kl και kl|k^2+l^2 άρα k|l^2 κι έτσι αφού (k,l)=1 άρα k=1. Όμοια l=1.

Κι έτσι ab=1 οπότε οι αρχικοί αριθμοί είναι οι 2a και 2b οι οποίοι πρέπει να είναι ακέραιοι άρα a=\dfrac{m}{2} και b=\dfrac{n}{2} για m,n\in\mathbb{N} κι έτσι (αφού ab=1) άρα mn=4 οπότε (m,n)=(1,4), \ (2,2), \ (4,1) κι έτσι (a,b)=\left(\dfrac{1}{2},2\right), (1,1) \left(2,\dfrac{1}{2}\right)

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Friedoon
Δημοσιεύσεις: 55
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από Friedoon » Σάβ Ιαν 28, 2017 12:29 pm

cretanman έγραψε:4ο της Β Λυκείου

Οι αριθμοί a+\dfrac{1}{b} και b+\dfrac{1}{a} είναι ακέραιοι άρα o αριθμός \left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{a}\right)=ab+\dfrac{1}{ab}+2 είναι ακέραιος άρα ο αριθμός ab+\dfrac{1}{ab} είναι ακέραιος.

Έστω ab=\dfrac{k}{l} όπου (k,l)=1 και \dfrac{k^2+l^2}{kl}\in\mathbb{Z} και αφού k|kl και kl|k^2+l^2 άρα k|l^2 κι έτσι αφού (k,l)=1 άρα k=1. Όμοια l=1.

Κι έτσι ab=1 οπότε οι αρχικοί αριθμοί είναι οι 2a και 2b οι οποίοι πρέπει να είναι ακέραιοι άρα a=\dfrac{m}{2} και b=\dfrac{n}{2} για m,n\in\mathbb{N} κι έτσι (αφού ab=1) άρα mn=4 οπότε (m,n)=(1,4), \ (2,2), \ (4,1) κι έτσι (a,b)=\left(\dfrac{1}{2},2\right), (1,1) \left(2,\dfrac{1}{2}\right)

Αλέξανδρος


Δεν ισχύει και για κάθε (a,b)=(\frac{x}{y},-\frac{y}{x}) όπου x,y μη μηδενικοί ακέραιοι;


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3694
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από cretanman » Σάβ Ιαν 28, 2017 12:38 pm

Friedoon έγραψε:Δεν ισχύει και για κάθε (a,b)=(\frac{x}{y},-\frac{y}{x}) όπου x,y μη μηδενικοί ακέραιοι;


Η εκφώνηση λέει ότι οι a,b είναι θετικοί ρητοί.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4741
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από Doloros » Σάβ Ιαν 28, 2017 12:42 pm


Πρόβλημα 3 Β Λυκείου


Γράφω τον κύκλο (B,M,E) που τέμνει την AC στο Z και θα δείξω ότι DZ \bot AC.

Είναι \boxed{AZ \cdot \frac{b}{2} = AE \cdot c = \frac{1}{2}AD \cdot c \Rightarrow \frac{{AZ}}{{AD}} = \frac{c}{b}} άρα \vartriangle ABC \approx \vartriangle AZD \Rightarrow \boxed{\widehat {ADZ} = \widehat C}

Αν φέρουμε την εφαπτομένη στο A του κύκλου (A,B,C) το ζητούμενο εμφανές.
Ευκλείδης_77_Β_Λυκείου.png
Ευκλείδης_77_Β_Λυκείου.png (37.72 KiB) Προβλήθηκε 9157 φορές

Νίκος
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Ιαν 28, 2017 12:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες