ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

giormala
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 28, 2017 1:24 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #41 από giormala » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:29 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Athena apo έγραψε:Μπορεί να που πει κάποιος τα αποτελέσματα από το πρώτο και το τέταρτο θέμα της γ γυμνασίου;

Στο 1 ο είναι 3. Στο τέταρτο αν δεν κάνω λάθος είναι 0<a\le30 (η ισότητα μπορεί και να μην μπεί, απλά εγώ θεώρησα ότι τον συμφέρει αν η πρώτη διαδρομή με τα πόδια και μετά με το ποδήλατο είναι ίσες σε χρονική διάρκεια.)


Η τελική μου απάντηση ήταν ότι a<30. Έπρεπε να γράφαμε και ότι a>0; Είναι προφανές!

Και εγώ αυτό έγραψα...δεν έγραψα ότι πρέπει να είναι μεγαλύτερο του 0.



Λέξεις Κλειδιά:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #42 από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:29 pm

JimNt. έγραψε:
george visvikis έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Ναι και εγώ χρησιμοποίησα την ταυτότητα Euler για το πρώτο. Εννοώ απλά, ότι πολλά παιδιά που δεν έχουν κάνει ειδική προετοιμασία σε διαγωνισμούς δεν θα μπορούσαν να ανταποκριθούν.

Συμφωνώ απόλυτα. Στην αίθουσα που βρισκόμουν απο ότι είδα οι περισσότεροι έγραψαν 1-2 θέματα. Τώρα θα δείξει.


Δεν χρειάζεται η ταυτότητα του Euler. Βγαίνει μια χαρά με αντικατάσταση!

Προγανώς και βγαίνει , όμως πιστεύω ότι η άσκηση φτιάχτηκε για τον σκοπό αυτό (Euler). Επιπλέον, η αντικατάσταση παίρνει αρκετή ώρα και δεν νομίζω ότι ο μαθητής να εξετάζεται τόσο στις πράξεις όσο στον χειρισμό αλγεβρικών στοιχείων...


Ναι μεν η Euler βγάζει μάτι αλλά και με αντικατάσταση και όχι όλες τις πράξεις βγαίνει. (σε ένα σημείο βγάζεις το \dfrac{3^9}{2^9} κοινό παράγοντα και μετά οι πράξεις ελαχιστοποιούνται . . .


WLOG
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 5:07 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #43 από WLOG » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:29 pm

Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη :idea: :idea:


giormala
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 28, 2017 1:24 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #44 από giormala » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:31 pm

WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη :idea: :idea:

Εγώ την έλυσα με παράδειγμα...πόσους βαθμούς θα πάρω?


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2436
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #45 από achilleas » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:32 pm

ΘΕΜΑ 2-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Αφού ο A^2 είναι ακέραιος, εάν ο A=\sqrt{n(n+182)} είναι ρητός, τότε πρέπει να είναι ακέραιος.

Η δοθείσα γράφεται ισοδύναμα A^2+91^2=(n+91)^2 ή

\displaystyle{(n+91-A)(n+91+A)=91^2=7^2\cdot 13^2}.

Αφού n+91+A>n+91-A>0, τα δυνατά ζεύγη

(n+91-A,n+91+A) είναι (1, 91^2), (7,7\cdot 13^2), (7^2, 13^2), (13, 7^2\cdot 13),

δηλαδή

(1, 8281), (7,1183), (49, 169), (13, 637).

Συνεπώς, οι δυνατές τιμές του

n=\dfrac{(n+91-A)+(n+91+A)}{2}-91

είναι

\dfrac{1+8281}{2}-91, \dfrac{7+1183}{2}-91, \dfrac{49+169}{2}-91, και \dfrac{13+637}{2}-91, δηλαδή

4050, 504, 18 και 234, αντίστοιχα.

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 28, 2017 1:34 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #46 από JimNt. » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:33 pm

giormala έγραψε:Μπορεί κάποιος να λύσει το 3ο Θέμα στην Γ'Γυμνασίου?

a. [\frac{10^5}{9}]
b. Από ότι κατάλαβα από την εκφώνηση. Ζητείται να βρούμε τα πολλαπλάσια του 6 που δεν διαιρούνται με το 9 και ακολούθως τα πολλαπλάσια του 9 που δεν διαιρούνται με το 6. Συνεπώς, από τα πολλαπλάσια του 6 αφαιρούμε το πλήθος των πολλαπλάσιων του 18. [\frac{10^5}{6}]-[\frac{10^5}{18}] , ομοίως και για το 9. Νομίζω είναι σωστό.


One of the basic rules of the Universe is that nothing is perfect. Perfection does not exist... Without imperfection, neither you nor I would exist - Stephen Hawking
5-20-8-20-12-9-15-18 Ν.
WLOG
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 5:07 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #47 από WLOG » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:34 pm

giormala έγραψε:
WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη :idea: :idea:

Εγώ την έλυσα με παράδειγμα...πόσους βαθμούς θα πάρω?

Δεν ξερω αλλα μαλλον οχι ολες τις μοναδες επειδη το α δεν ειναι ακεραιος, οποτε το α παιρνει απειρες τιμες :oops:


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #48 από JimNt. » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:34 pm

WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη :idea: :idea:

Η φυσική και τα μαθηματικα είναι τόσο κοντά, το ένα συμπληρώνει το άλλο. Απλά συχγέεται συχνά το γεγονός ότι ο τύπος της ταχύτητας διδάσκεται στην φυσική...


One of the basic rules of the Universe is that nothing is perfect. Perfection does not exist... Without imperfection, neither you nor I would exist - Stephen Hawking
5-20-8-20-12-9-15-18 Ν.
simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 230
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #49 από simantiris j. » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:34 pm

Καλησπέρα σε όλους!Ωραία τα προβλήματα της Γ από τα οποία ξεχωρίζω τη συναρτησιακή.
f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} που ικανοποιεί f(2xf(y)+y)+f(2x(y+1))=f(2x+y)+4xy,\forall x,y\in \mathbb{R}.
Για x το \frac{x}{2} είναι f(xf(y)+y)+f(x(y+1))=f(x+y)+2xy (2) όπου για x=1 έχουμε f(y+f(y))=2y άρα η f είναι επί και το i) έπεται.
Για y=a στην (2) τώρα έχουμε f(x+a)+f(x(a+1))=f(x+a)+2ax\Rightarrow f(x(a+1))=2ax.(3)
Αν a=-1 τότε f(0)=-2x που για x=0,1 δίνει άτοπο.
Άρα για x το \frac{x}{a+1} στην (3) είναι f(x)=\frac{2a}{a+1}x ,\forall x\in \mathbb{R} και σε αυτή για x=a είναι f(a)=\frac{2a^2}{a+1}\Rightarrow 2a^2-a-1=0\Rightarrow a=1, a=-\frac{1}{2} που δίνουν τις συναρτήσεις f(x)=x ,\forall x \in \mathbb{R} ή f(x)=-2x,\forall x\in \mathbb{R}.
Και οι δυο επαληθεύουν άρα είναι λύσεις.

Καλή επιτυχία σε όλους!


Σημαντήρης Γιάννης
WLOG
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 5:07 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #50 από WLOG » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:35 pm

JimNt. έγραψε:
WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη :idea: :idea:

Η φυσική και τα μαθηματικα είναι τόσο κοντά, το ένα συμπληρώνει το άλλο. Απλά συχγέεται συχνά το γεγονός ότι ο τύπος της ταχύτητας διδάσκεται στην φυσική...

Βγαινει και χωρις την ταχυτητα :!: :!:


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #51 από JimNt. » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:36 pm

WLOG έγραψε:
JimNt. έγραψε:
WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη :idea: :idea:

Η φυσική και τα μαθηματικα είναι τόσο κοντά, το ένα συμπληρώνει το άλλο. Απλά συχγέεται συχνά το γεγονός ότι ο τύπος της ταχύτητας διδάσκεται στην φυσική...

Βγαινει και χωρις την ταχυτητα :!: :!:

Περίγραψε την λύση σου αν θέλεις.


One of the basic rules of the Universe is that nothing is perfect. Perfection does not exist... Without imperfection, neither you nor I would exist - Stephen Hawking
5-20-8-20-12-9-15-18 Ν.
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #52 από Γιάννης Μπόρμπας » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:37 pm

Από την Γ λυκείου έλυσα τα 1,2,4. Η γεωμετρία με ψάρωσε αρκετά. Αναρωτιέμαι πώς λύνεται. Δοκίμασα να το πάω με ριζικούς άξονες αλλά δεν τα κατάφερα. Ίσως και να είναι απλή στην τελική.


WLOG
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 5:07 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #53 από WLOG » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:37 pm

JimNt. έγραψε:
WLOG έγραψε:
JimNt. έγραψε:
WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη :idea: :idea:

Η φυσική και τα μαθηματικα είναι τόσο κοντά, το ένα συμπληρώνει το άλλο. Απλά συχγέεται συχνά το γεγονός ότι ο τύπος της ταχύτητας διδάσκεται στην φυσική...

Βγαινει και χωρις την ταχυτητα :!: :!:

Περίγραψε την λύση σου αν θέλεις.

Τωρα ομως που το ξανασκευτομαι χρησιμοποιω τον τυπο απλα πολυ εμμεσα :oops: :oops:


giormala
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 28, 2017 1:24 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #54 από giormala » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:40 pm

WLOG έγραψε:
giormala έγραψε:
WLOG έγραψε:Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη :idea: :idea:

Εγώ την έλυσα με παράδειγμα...πόσους βαθμούς θα πάρω?

Δεν ξερω αλλα μαλλον οχι ολες τις μοναδες επειδη το α δεν ειναι ακεραιος, οποτε το α παιρνει απειρες τιμες :oops:

έδωσα σαν απάντηση ότι α είναι μικρότερο του 30...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5164
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #55 από george visvikis » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:40 pm

Πρόβλημα 1-Γ' Γυμνασίου

Χωρίς την ταυτότητα του Euler.

\displaystyle{A = \frac{{\frac{{{3^{12}}}}{{{2^{12}}}} - \frac{{{3^9}}}{{{2^9}}} - \frac{{{3^9}}}{{{2^{12}}}}}}{{\frac{{{3^4}}}{{{2^4}}} \cdot \frac{{{3^3}}}{{{2^3}}} \cdot \frac{{{3^3}}}{{{2^4}}}}} = \frac{{({3^{12}} - {2^3} \cdot {3^9} - {3^9}){2^{11}}}}{{{2^{12}} \cdot {3^{10}}}} = \frac{{{3^9}({3^3} - {2^3} - 1)}}{{2 \cdot {3^{10}}}} = \frac{{18}}{6} = 3}

Η ταυτότητα του Euler δεν είναι "τελείως εξωσχολική", όπως ελέχθη πιο πάνω, αφού υπάρχει στις Γενικές Ασκήσεις του 1ου Κεφαλαίου. Όποιος μαθητής δίνει Ευκλείδη, θεωρείται δεδομένο ότι έχει διαβάσει τις Γενικές ασκήσεις.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Ιαν 28, 2017 1:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
AthanK
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 18, 2016 6:53 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #56 από AthanK » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:42 pm

Καλησπέρα και καλά αποτελέσματα σε όλους τους συμμετέχοντες . Μπορεί κάποιος να γράψει τη λύση του πρώτου θέματος της β' λυκείου ;


Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί,
το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω,
παρήγαγεν αριθμόν απέραντον,
καί όν, φεύ,
ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1020
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #57 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:47 pm

Θεμα 3 Α Λυκείου.
Εστω E το σημείο τομής των διχοτόμων.
Προφανώς \angle BEC=60
Επειδή το τρίγωνο BCD είναι ισοσκελές η CE είναι μεσοκάθετος της BD
Αρα το BED είναι ισοσκελές οπότε \angle CED=\angle BEC=60
Όμοια και \angle BEA=60
Τελικά τα A,E,D σε ευθεία.


ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #58 από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:53 pm

JimNt. έγραψε:
giormala έγραψε:Μπορεί κάποιος να λύσει το 3ο Θέμα στην Γ'Γυμνασίου?

a. [\frac{10^5}{9}]
b. Από ότι κατάλαβα από την εκφώνηση. Ζητείται να βρούμε τα πολλαπλάσια του 6 που δεν διαιρούνται με το 9 και ακολούθως τα πολλαπλάσια του 9 που δεν διαιρούνται με το 6. Συνεπώς, από τα πολλαπλάσια του 6 αφαιρούμε το πλήθος των πολλαπλάσιων του 18. [\frac{10^5}{6}]-[\frac{10^5}{18}] , ομοίως και για το 9. Νομίζω είναι σωστό.


Σε εμάς ήρθε διεκρίνιση να σβήσουμε το πρώτο «είτε».

Ας πει κάποιος μεγάλος την τελική απάντηση.


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #59 από JimNt. » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:54 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:
giormala έγραψε:Μπορεί κάποιος να λύσει το 3ο Θέμα στην Γ'Γυμνασίου?

a. [\frac{10^5}{9}]
b. Από ότι κατάλαβα από την εκφώνηση. Ζητείται να βρούμε τα πολλαπλάσια του 6 που δεν διαιρούνται με το 9 και ακολούθως τα πολλαπλάσια του 9 που δεν διαιρούνται με το 6. Συνεπώς, από τα πολλαπλάσια του 6 αφαιρούμε το πλήθος των πολλαπλάσιων του 18. [\frac{10^5}{6}]-[\frac{10^5}{18}] , ομοίως και για το 9. Νομίζω είναι σωστό.


Σε εμάς ήρθε διεκρίνιση να σβήσουμε το πρώτο «είτε».

Ας πει κάποιος μεγάλος την τελική απάντηση.

Και σε εμάς το ίδιο. Ωστόσο η σημασία δεν νομίζω ότι αλλάζει. Εσύ πώς το ερμήνευσες;


One of the basic rules of the Universe is that nothing is perfect. Perfection does not exist... Without imperfection, neither you nor I would exist - Stephen Hawking
5-20-8-20-12-9-15-18 Ν.
giormala
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 28, 2017 1:24 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #60 από giormala » Σάβ Ιαν 28, 2017 1:56 pm

JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:
giormala έγραψε:Μπορεί κάποιος να λύσει το 3ο Θέμα στην Γ'Γυμνασίου?

a. [\frac{10^5}{9}]
b. Από ότι κατάλαβα από την εκφώνηση. Ζητείται να βρούμε τα πολλαπλάσια του 6 που δεν διαιρούνται με το 9 και ακολούθως τα πολλαπλάσια του 9 που δεν διαιρούνται με το 6. Συνεπώς, από τα πολλαπλάσια του 6 αφαιρούμε το πλήθος των πολλαπλάσιων του 18. [\frac{10^5}{6}]-[\frac{10^5}{18}] , ομοίως και για το 9. Νομίζω είναι σωστό.


Σε εμάς ήρθε διεκρίνιση να σβήσουμε το πρώτο «είτε».

Ας πει κάποιος μεγάλος την τελική απάντηση.

Και σε εμάς το ίδιο. Ωστόσο η σημασία δεν νομίζω ότι αλλάζει. Εσύ πώς το ερμήνευσες;

ΚΑΙ ΣΕ ΕΜΑΣ



Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης