Σελίδα 1 από 6

ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:17 am
από Μπάμπης Στεργίου
Τα θέματα του ΘΑΛΗ 2016 !

Χαρείτε τα και στείλτε πλήρεις λύσεις για το αρχείο μας !

Μπ

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:31 am
από KARKAR
Γεωμετρία Γ ΛΥΚΕΙΟΥ .
Γεωμετρία  Γ'  ΛΥΚ.png
Γεωμετρία Γ' ΛΥΚ.png (19.89 KiB) Προβλήθηκε 10809 φορές
Επειδή \widehat{DKC}=45 ,είναι \widehat{KCA}=22.5^0 , οπότε το K είναι το κέντρο του περικύκλου .

Είναι : \widehat{AKM}=90^0 (=\widehat{AKN}) , συνεπώς τα M,N είναι αντιδιαμετρικά .

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:31 am
από achilleas
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Τα θέματα του ΘΑΛΗ 2016 !

Χαρείτε τα και στείλτε πλήρεις λύσεις για το αρχείο μας !

Μπ
ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Με x=2014 το γινόμενο A ισούται με

A=(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)=x^6-14x^4+49x^2-36=(x^3-7x)^2-36.

Συνεπώς, αν k=36 έχουμε

A+36=(x^3-7x)^2,

δηλ. τέλειο τετράγωνο.

Φιλικά,

ΑχιλλέΑς

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:40 am
από achilleas
ΘΕΜΑ 1-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Με διαφορά τετραγώνων παίρνουμε

A=(a^2+8a+19)(a^2-8a+17)=((a+4)^2+3)((a-4)^2+1).

Προφανώς (a+4)^2+3>1, οπότε για να είναι ο A πρώτος θα πρέπει να είναι (a-4)^2+1=1, δηλ. a=4.

Με a=4, είναι A=8^2+3=67, που είναι πράγματι πρώτος.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:40 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Α-Λυκείου
πρόβλημα 4
Ο αριθμός είναι άρτιος δηλαδή 2c

Αρα 2c+1+c^{2}=(c+1)^{2}

Δηλαδή k=c^{2}+1

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:50 am
από achilleas
Θεμα 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Για x>0 είναι

(2+\dfrac{1}{x})^2=4+\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}>4+\dfrac{4}{x}=\left(2\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}\right)^2

οπότε παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα έχουμε

2+\dfrac{1}{x}>2\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}=2\sqrt{\dfrac{x+1}{x}},

Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις αυτές για x=a, a+1,a+2, a+3 παίρνουμε

\displaystyle{\left(2+\dfrac{1}{a}\right)\left(2+\dfrac{1}{a+1}\right)\left(2+\dfrac{1}{a+2}\right)\left(2+\dfrac{1}{a+3}\right)}>{2^4\sqrt{\dfrac{a+1}{a}}\cdot \sqrt{\dfrac{a+2}{a+1}}\sqrt{\dfrac{a+3}{a+2}}\cdot \sqrt{\dfrac{a+4}{a+3}}=16\sqrt{\dfrac{a+4}{a}}}

όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:55 am
από KARKAR
Γεωμετρία  B LYK.png
Γεωμετρία B LYK.png (18.85 KiB) Προβλήθηκε 10759 φορές
Ας το κάνουμε καρτεσιανά : Προφανώς τα B,D,O,Z συνευθειακά , δηλαδή \lambda_{BO}=1 .

Οι συντεταγμένες του K ( εύκολα με πράξεις ρουτίνας ) , δείχνουν ότι και \lambda_{MK}=1

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:02 am
από george visvikis
Πρόβλημα 2 - Β Λυκείου
Θαλής Β.ΙΙ.2016.png
Θαλής Β.ΙΙ.2016.png (15.13 KiB) Προβλήθηκε 10750 φορές
\displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta \Gamma  = {90^0}} κι επειδή \displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta {\rm M} = {\rm A}\widehat \Delta {\rm Z} = {45^0}} τα σημεία B, \Delta, Z είναι συνευθειακά. Είναι επίσης \displaystyle{\Delta \Gamma ||{\rm O}{\rm K}}

(κάθετες στην ίδια ευθεία), οπότε το K είναι μέσο του Z\Gamma (αφού το O είναι μέσο του \Delta Z) και το ζητούμενο έπεται.

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:04 am
από cretanman
Αλλιώς το 4ο της Α Λυκείου:

Αν ορίσουμε a=2014 τότε A=(a+3)(a-3)(a+2)(a-2)(a+1)(a-1)=(a^2-9)(a^2-4)(a^2-1)=(a^2-4)(a^4-10a^2+9)

Οπότε αν προσθέσουμε στο A τον αριθμό k=(a^4-10a^2+9)(a^4-11a^2+13) τότε

\begin{aligned}A+k &=(a^2-4)(a^4-10a^2+9)+(a^4-10a^2+9)(a^4-11a^2+13) \\ &= (a^4-10a^2+9)(a^4-10a^2+9)=(a^4-10a^2+9)^2\end{aligned}
δηλαδή τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Αλέξανδρος

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:09 am
από cretanman
4o της Γ Λυκείου

Ο αριθμός A είναι της μορφής x^7+x^2+1 ο οποίος γράφεται:

x^7+x^2+1=x^7-x+x^2+x+1=x(x^3-1)(x^3+1)+x^2+x+1=x(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)+x^2+x+1=(x^2+x+1)\left[(x(x-1)(x^3+1)+1\right]

οπότε ο αριθμός A διαιρείται από τον αριθμό x^2+x+1=14^2+14+1=211 που είναι πράγματι πρώτος αφού δεν διαιρείται από κανένα πρώτο μικρότερο του \sqrt{211}<15.

Αλέξανδρος

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:14 am
από KARKAR
Γεωμετρία Β (αλλιώς)
Γεωμετρία  Β  ΛΥΚΕΙΟΥ.png
Γεωμετρία Β ΛΥΚΕΙΟΥ.png (17.72 KiB) Προβλήθηκε 10737 φορές
Προεκτείνοντας τις AE , BC, δημιουργείται το παραλληλόγραμμο ACSZ και τότε το K

είναι το μέσο της AS , δηλαδή MK \perp AE , αφού το AMS είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:19 am
από achilleas
ΘΕΜΑ 4 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αφαιρώντας τις δύο πρώτες σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε

x-y+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=0

που γράφεται ισοδύναμα ως

(x-y)(xy-1)=0.

Έχουμε τις περιπτώσεις:

(Ι) x\ne y.

Τότε xy=1.

Aπό τις δύο τελευταίες σχέσεις τις υπόθεσης προκύπτει z=\dfrac{1}{z}, κι αφού z>0 είναι z=1.

Με z=1 η τελευταία σχέση δίνει y+w=1 και η πρώτη δίνει x+y-w=2.

Προσθέτοντας αυτές κατά μέλη κι αφού y=1/x παίρουμε

x+2y=3, δηλ. x+\dfrac{2}{x}=3

ή ισοδύναμα x^2-3x+2=0 με λύσεις x=1 και x=2.

Αφού x\ne y και xy=1 αποδεκτή είναι μόνο η x=2, οποτε y=\dfrac{1}{2}, και w=\dfrac{1}{2}.

Άρα (x,y,z,w)=(2,\dfrac{1}{2},1,\dfrac{1}{2}).

(ΙI) x=y.

Αφαιρώντας τις τελευταίες δύο δοθείσες σχέσεις, αφού θε΄σουμε x=y παίρουμε

z-\dfrac{1}{x}-x-\dfrac{1}{z}=0

δηλαδή

(z-x)(1+\dfrac{1}{xz})=0,

οπότε z=x=y.

Εύκολα βλέπουμε τότε, προσθέτοντας τις δύο πρώτες σχέσεις ότι x=y=z=1, και w=0

Άρα (x,y,z,w)=(1,1,1,0).


Συνοψίζοντας (x,y,z,w)=(2,\dfrac{1}{2},1,\dfrac{1}{2}) ή (x,y,z,w)=(1,1,1,0).

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:22 am
από cretanman
2ο Α Λυκείου

Επειδή 8=1\cdot 8 = 2\cdot 4 = 2\cdot 2\cdot 2

άρα αφενός ο αριθμός δεν μπορεί να περιέχει τον αριθμό 8 ως ψηφίο (αφού είναι τουλάχιστον 2-ψήφιος) και αφετέρου αφού το άθροισμα των ψηφίων είναι 8 άρα θα είναι είτε 4-ψήφιος της μορφής 1124 (με όλες τις μεταθέσεις των ψηφίων) είτε 5-ψήφιος της μορφής 11222 (με όλες τις μεταθέσεις των ψηφίων).

Αφού ο αριθμός διαιρείται από το 8 άρα το τελευταίο ψηφίο είναι άρτιος, τα δύο τελευταία ψηφία πρέπει να διαιρούνται από το 4 και τα τρία τελευταία ψηφία από το 8.

Έτσι από την 1η μορφή κρατάμε μόνο τον αριθμό 4112 (Οι επιλογές είναι πολύ λίγες αφού τα 2 τελευταία ψηφία μπορεί να είναι μόνο 12 ή 24) που διαιρείται από το 8.

Από τη 2η μορφή (τα δύο τελευταία ψηφία είναι αναγκαστικά ο αριθμός 12 για να διαιρείται από το 4) και τις 3 δυνατές επιλογές για τα 3 πρώτα ψηφία κρατάμε μόνο τον 22112.

Αλέξανδρος

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:48 am
από george visvikis
Γεωμετρία Α Λυκείου
Θαλής A.ΙΙI.2016.png
Θαλής A.ΙΙI.2016.png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 10674 φορές
\displaystyle{\Gamma \widehat {\rm K}{\rm M} = {\rm A}\widehat {\rm K}{\rm Z} = {45^0}}, άρα τα σημεία \displaystyle{\Gamma ,{\rm K},{\rm Z}} είναι συνευθειακά. Έστω H το σημείο τομής της AB με την \Gamma Z.

Θα δείξω ότι τα σημεία \displaystyle{{\rm H},\Delta ,{\rm E}} είναι συνευθειακά.

Το \displaystyle{{\rm A}{\rm H}{\rm K}\Delta } είναι εγγράψιμο (απέναντι γωνίες παραπληρωματικές), άρα \displaystyle{{\rm H}\widehat {\rm A}{\rm K} = {\rm H}\widehat \Delta {\rm K} = {15^0}}.

Αλλά \displaystyle{{\rm E}{\rm K} = {\rm K}\Delta  \Leftrightarrow {\rm K}\widehat E \Delta} = {\rm E}\widehat \Delta {\rm K} = {15^0}}, οπότε \displaystyle{{\rm H}\widehat \Delta {\rm K} = {\rm E}\widehat \Delta {\rm K}} και το ζητούμενο έπεται.

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:05 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Α Λυκείου
πρόβλημα 4

A+A+1+A^{2}=(A+1)^{2}

Δηλαδή k=1+A+A^{2}

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:15 pm
από george visvikis
Πρόβλημα 1 - Α Λυκείου

Πολύ απλό.
Η πρώτη ανίσωση: \displaystyle{({x^2} + x + 1)(x - 1) + 5x \leqslant {x^3} + x + 19 \Leftrightarrow 4x \leqslant 20 \Leftrightarrow } \boxed{x \leqslant 5}

Η δεύτερη ανίσωση: \displaystyle{\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{23}}{9} > \frac{{4x - 21}}{9} \Leftrightarrow 6x - 3 - 23 > 4x - 21 \Leftrightarrow } \boxed{x > \frac{5}{2}}

Οι ακέραιες κοινές λύσεις είναι 3, 4, 5.

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:22 pm
από nikoszan
\displaystyle{\begin{array}{l} 
A = \overline {{a_n}{a_{n - 1}}...{a_1}{a_0}}  = {a_n}{.10^n} + {a_{n - 1}}{.10^{n - 1}} + ... + {a_1}10 + {a_0}\\ 
{a_n}{a_{n - 1}}...{a_1}{a_0} = {a_n} + {a_{n - 1}} + ... + {a_1} + {a_0} = 8:\left( 1 \right)\\ 
8/A \Rightarrow {a_0} \in \left\{ {0,2,4,6,8} \right\}:\left( 2 \right)\\ 
\left( 1 \right) \wedge \left( 2 \right) \Rightarrow {a_0} \in \left\{ {2,4} \right\} 
\end{array}}
\displaystyle{ \bullet }Για \displaystyle{{a_0} = 4} είναι \displaystyle{\,\,{a_n}{a_{n - 1}}...{a_1} = 2:\left( 3 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,{a_n} + {a_{n - 1}} + ... + {a_1} = 4:\left( 4 \right)} ,οπότε ένας απο τους \displaystyle{\,{a_n},{a_{n -1},...,{a_1}} θα είναι το \displaystyle{2} και οι αλλοι
( προφανως στο πλήθος 2)θα είναι ίσοι με το 1.
Οι παραπάνω αριθμοι (1124,1214,2114)δεν ειναι πολλαπλασια του \displaystyle{8} και απορριπτονται.
\displaystyle{ \bullet }Για \displaystyle{{a_0} = 2}είναι \displaystyle{{a_n}{a_{n - 1}}...{a_1} = 4:\left( 5 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,{a_n} + {a_{n - 1}} + ... + {a_1} = 6:\left( 6 \right)},οπότε
\displaystyle{ \bullet }1)ένας θα είναι το 4 και άλλοι ( προφανως στο πλήθος 2) θα είναι ίσοι με το 1.Οι αριθμοί αυτοι είναι :\displaystyle{1142,1412,4112}.απο τους οποίους μόνο ο \displaystyle{4112}είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{8}
\displaystyle{ \bullet }2)δύο απο τους\displaystyle{\,{a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1}} θα είναι ίσοι με το \displaystyle{2}και οι άλλοι
( προφανως στο πλήθος 2) θα είναι ίσοι με το 1.Οι αριθμοί αυτοί είναι \displaystyle{11222,12122,21122,12212,21212,22112} ,
απο τους οποίους μόνο ο \displaystyle{22112} είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{8}. Τελικά οι ζητούμενοι αριθμοί είναι\displaystyle{4112\,\,\kappa \alpha \iota \,22112}.
Ν.Ζ.

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:25 pm
από JimNt.
Από την Γ γυμνασίου το 4 β μου φάνηκε λίγο δύσκολο (αλλά το έλυσα). Τι πιστεύετε;

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:32 pm
από george visvikis
Πρόβλημα 1 - Γ Λυκείου

\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = \frac{1}{2}|\det (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A\Gamma } )| = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
  {\beta  - \alpha }&{{\beta ^2} - {\alpha ^2}} \\  
  {\gamma  - \alpha }&{{\gamma ^2} - {\alpha ^2}}  
\end{array}} \right|| = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
  { - \omega }&{ - \omega (\beta  + \gamma )} \\  
  { - 2\omega }&{ - 2\omega (\alpha  + \gamma )}  
\end{array}} \right|| = }

\displaystyle{\frac{1}{2}|2{\omega ^2}(\alpha  + \gamma ) - 2{\omega ^2}(\beta  + \gamma )| \Leftrightarrow } \boxed{({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = {\omega ^3}}

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:44 pm
από harrisp
JimNt. έγραψε:Από την Γ γυμνασίου το 4 β μου φάνηκε λίγο δύσκολο (αλλά το έλυσα). Τι πιστεύετε;

Πράγματι ήταν δυσκολούτσικο. Θα μπορούσε να ήταν κάλλιστα θέμα Ευκλείδη.

Γενικά όμως ήταν ένας πάρα πολύ ωραίος Θαλής αν και λίγο απαιτητικός.