Σελίδα 1 από 6
ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:17 am
από Μπάμπης Στεργίου
Τα θέματα του ΘΑΛΗ 2016 !
Χαρείτε τα και στείλτε πλήρεις λύσεις για το αρχείο μας !
Μπ
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:31 am
από KARKAR
Γεωμετρία Γ ΛΥΚΕΙΟΥ .
- Γεωμετρία Γ' ΛΥΚ.png (19.89 KiB) Προβλήθηκε 10809 φορές
Επειδή
,είναι
, οπότε το
είναι το κέντρο του περικύκλου .
Είναι :
, συνεπώς τα
είναι αντιδιαμετρικά .
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:31 am
από achilleas
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Τα θέματα του ΘΑΛΗ 2016 !
Χαρείτε τα και στείλτε πλήρεις λύσεις για το αρχείο μας !
Μπ
ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Με
το γινόμενο
ισούται με
.
Συνεπώς, αν
έχουμε
,
δηλ. τέλειο τετράγωνο.
Φιλικά,
ΑχιλλέΑς
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:40 am
από achilleas
ΘΕΜΑ 1-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Με διαφορά τετραγώνων παίρνουμε
.
Προφανώς
, οπότε για να είναι ο
πρώτος θα πρέπει να είναι
, δηλ.
.
Με
, είναι
, που είναι πράγματι πρώτος.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:40 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Α-Λυκείου
πρόβλημα 4
Ο αριθμός είναι άρτιος δηλαδή
Αρα
Δηλαδή
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:50 am
από achilleas
Θεμα 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Για
είναι
οπότε παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα έχουμε
,
Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις αυτές για
παίρνουμε
όπως θέλαμε.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 10:55 am
από KARKAR
- Γεωμετρία B LYK.png (18.85 KiB) Προβλήθηκε 10759 φορές
Ας το κάνουμε καρτεσιανά : Προφανώς τα
συνευθειακά , δηλαδή
.
Οι συντεταγμένες του
( εύκολα με πράξεις ρουτίνας ) , δείχνουν ότι και
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:02 am
από george visvikis
Πρόβλημα 2 - Β Λυκείου
- Θαλής Β.ΙΙ.2016.png (15.13 KiB) Προβλήθηκε 10750 φορές
κι επειδή
τα σημεία
είναι συνευθειακά. Είναι επίσης
(κάθετες στην ίδια ευθεία), οπότε το
είναι μέσο του
(αφού το
είναι μέσο του
) και το ζητούμενο έπεται.
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:04 am
από cretanman
Αλλιώς το 4ο της Α Λυκείου:
Αν ορίσουμε
τότε
Οπότε αν προσθέσουμε στο
τον αριθμό
τότε
δηλαδή τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Αλέξανδρος
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:09 am
από cretanman
4o της Γ Λυκείου
Ο αριθμός
είναι της μορφής
ο οποίος γράφεται:
οπότε ο αριθμός
διαιρείται από τον αριθμό
που είναι πράγματι πρώτος αφού δεν διαιρείται από κανένα πρώτο μικρότερο του
.
Αλέξανδρος
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:14 am
από KARKAR
Γεωμετρία Β (αλλιώς)
- Γεωμετρία Β ΛΥΚΕΙΟΥ.png (17.72 KiB) Προβλήθηκε 10737 φορές
Προεκτείνοντας τις
, δημιουργείται το παραλληλόγραμμο
και τότε το
είναι το μέσο της
, δηλαδή
, αφού το
είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:19 am
από achilleas
ΘΕΜΑ 4 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Αφαιρώντας τις δύο πρώτες σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε
που γράφεται ισοδύναμα ως
.
Έχουμε τις περιπτώσεις:
(Ι)
.
Τότε
.
Aπό τις δύο τελευταίες σχέσεις τις υπόθεσης προκύπτει
, κι αφού
είναι
.
Με
η τελευταία σχέση δίνει
και η πρώτη δίνει
.
Προσθέτοντας αυτές κατά μέλη κι αφού
παίρουμε
, δηλ.
ή ισοδύναμα
με λύσεις
και
.
Αφού
και
αποδεκτή είναι μόνο η
, οποτε
, και
.
Άρα
.
(ΙI)
.
Αφαιρώντας τις τελευταίες δύο δοθείσες σχέσεις, αφού θε΄σουμε
παίρουμε
δηλαδή
,
οπότε
.
Εύκολα βλέπουμε τότε, προσθέτοντας τις δύο πρώτες σχέσεις ότι
, και
Άρα
.
Συνοψίζοντας
ή
.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:22 am
από cretanman
2ο Α Λυκείου
Επειδή
άρα αφενός ο αριθμός δεν μπορεί να περιέχει τον αριθμό
ως ψηφίο (αφού είναι τουλάχιστον
-ψήφιος) και αφετέρου αφού το άθροισμα των ψηφίων είναι
άρα θα είναι είτε
-ψήφιος της μορφής
(με όλες τις μεταθέσεις των ψηφίων) είτε
-ψήφιος της μορφής
(με όλες τις μεταθέσεις των ψηφίων).
Αφού ο αριθμός διαιρείται από το
άρα το τελευταίο ψηφίο είναι άρτιος, τα δύο τελευταία ψηφία πρέπει να διαιρούνται από το
και τα τρία τελευταία ψηφία από το
.
Έτσι από την 1η μορφή κρατάμε μόνο τον αριθμό
(Οι επιλογές είναι πολύ λίγες αφού τα
τελευταία ψηφία μπορεί να είναι μόνο
ή
) που διαιρείται από το
.
Από τη 2η μορφή (τα δύο τελευταία ψηφία είναι αναγκαστικά ο αριθμός
για να διαιρείται από το
) και τις
δυνατές επιλογές για τα
πρώτα ψηφία κρατάμε μόνο τον
.
Αλέξανδρος
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 11:48 am
από george visvikis
Γεωμετρία Α Λυκείου
- Θαλής A.ΙΙI.2016.png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 10674 φορές
, άρα τα σημεία
είναι συνευθειακά. Έστω
το σημείο τομής της
με την
.
Θα δείξω ότι τα σημεία
είναι συνευθειακά.
Το
είναι εγγράψιμο (απέναντι γωνίες παραπληρωματικές), άρα
.
Αλλά
, οπότε
και το ζητούμενο έπεται.
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:05 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Α Λυκείου
πρόβλημα 4
Δηλαδή
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:15 pm
από george visvikis
Πρόβλημα 1 - Α Λυκείου
Πολύ απλό.
Η πρώτη ανίσωση:
Η δεύτερη ανίσωση:
Οι ακέραιες κοινές λύσεις είναι
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:22 pm
από nikoszan
Για
είναι
,οπότε ένας απο τους
θα είναι το
και οι αλλοι
( προφανως στο πλήθος 2)θα είναι ίσοι με το 1.
Οι παραπάνω αριθμοι (1124,1214,2114)δεν ειναι πολλαπλασια του
και απορριπτονται.
Για
είναι
,οπότε
1)ένας θα είναι το 4 και άλλοι ( προφανως στο πλήθος 2) θα είναι ίσοι με το 1.Οι αριθμοί αυτοι είναι :
.απο τους οποίους μόνο ο
είναι πολλαπλάσιο του
2)δύο απο τους
θα είναι ίσοι με το
και οι άλλοι
( προφανως στο πλήθος 2) θα είναι ίσοι με το 1.Οι αριθμοί αυτοί είναι
,
απο τους οποίους μόνο ο
είναι πολλαπλάσιο του
. Τελικά οι ζητούμενοι αριθμοί είναι
.
Ν.Ζ.
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:25 pm
από JimNt.
Από την Γ γυμνασίου το 4 β μου φάνηκε λίγο δύσκολο (αλλά το έλυσα). Τι πιστεύετε;
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:32 pm
από george visvikis
Re: ΘΑΛΗΣ 2016
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:44 pm
από harrisp
JimNt. έγραψε:Από την Γ γυμνασίου το 4 β μου φάνηκε λίγο δύσκολο (αλλά το έλυσα). Τι πιστεύετε;
Πράγματι ήταν δυσκολούτσικο. Θα μπορούσε να ήταν κάλλιστα θέμα Ευκλείδη.
Γενικά όμως ήταν ένας πάρα πολύ ωραίος Θαλής αν και λίγο απαιτητικός.