JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Α1. Να βρείτε όλες τις διατεταγμένες τριάδες πραγματικών αριθμών που ικανοποιούν το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων
Το πρόβλημα αυτό χρησιμοποιήθηκε στο διαγωνισμό "Αρχιμήδης" 2013-2014, μικροί, πρόβλημα 3.
viewtopic.php?f=58&t=43030
Το πρόβλημα αυτό χρησιμοποιήθηκε στο διαγωνισμό "Αρχιμήδης" 2013-2014, μικροί, πρόβλημα 3.
viewtopic.php?f=58&t=43030
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Α2. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή της παράστασης όπου είναι πραγματικός αριθμός.
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Α3. Να δείξετε ότι
για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς που ικανοποιούν την
Αυτό ήταν το πρόβλημα 3 του διαγωνισμού.
viewtopic.php?f=109&t=41765
viewtopic.php?f=109&t=37870
για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς που ικανοποιούν την
Αυτό ήταν το πρόβλημα 3 του διαγωνισμού.
viewtopic.php?f=109&t=41765
viewtopic.php?f=109&t=37870
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
N1. Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους για τους οποίους ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
N2. Να βρείτε όλες τις διατεταγμένες τριάδες ακεραίων τέτοιες, ώστε
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
N3. Βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη θετικών ακεραίων τέτοια ώστε οι αριθμοί και να είναι και οι δύο θετικοί ακέραιοι.
Αυτό ήταν το πρόβλημα 1 του διαγωνισμού.
viewtopic.php?f=109&t=37870
Αυτό ήταν το πρόβλημα 1 του διαγωνισμού.
viewtopic.php?f=109&t=37870
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
N4. Ένα ορθογώνιο στο επίπεδο λέγεται latticed αν όλες οι κορυφές του έχουν ακέραιες συντεταγμένες.
α) Να βρείτε ένα latticed ορθογώνιο με εμβαδόν του οποίου οι πλευρές δεν είναι παράλληλες με τους άξονες.
β) Δείξτε ότι αν ένα latticed ορθογώνιο έχει εμβαδόν τότε οι πλευρές του είναι παράλληλες με τους άξονες.
α) Να βρείτε ένα latticed ορθογώνιο με εμβαδόν του οποίου οι πλευρές δεν είναι παράλληλες με τους άξονες.
β) Δείξτε ότι αν ένα latticed ορθογώνιο έχει εμβαδόν τότε οι πλευρές του είναι παράλληλες με τους άξονες.
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
N5. Να βρείτε όλες τις διατεταγμένες τριάδες θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
N6. Να βρείτε όλες τις διατεταγμένες τριάδες ακεραίων που ικανοποιούν το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων
Σχόλια:
1. Το αρχικό πρόβλημα ζητούσε τις λύσεις όταν είναι πρώτος αριθμός.
2. Το πρόβλημα μπορεί να τεθεί με μία εξίσωση στη μορφή
Σχόλια:
1. Το αρχικό πρόβλημα ζητούσε τις λύσεις όταν είναι πρώτος αριθμός.
2. Το πρόβλημα μπορεί να τεθεί με μία εξίσωση στη μορφή
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Με παίρνουμε περιττός και μετά παίρνουμε άτοπο με .socrates έγραψε:N2. Να βρείτε όλες τις διατεταγμένες τριάδες ακεραίων τέτοιες, ώστε
Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Η εξίσωση γράφεται ,απ' όπου συμπεραίνουμε ότι .Έστω λοιπόν .socrates έγραψε:N5. Να βρείτε όλες τις διατεταγμένες τριάδες θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση
Η γράφεται από όπου παίρνουμε .
Οι είναι πρώτοι της μορφής και άρα .
Έστω λοιπόν .Η γράφεται .Άρα
συνεπώς (γνωρίζουμε ότι ).Έστω Τότε όπου .
Άρα .Αν αυτό είναι αδύνατο αφού γνωρίζουμε ότι .Άρα και τώρα εύκολα βρίσκουμε ότι .
Άρα .Η τώρα γράφεται .
Αυτή έχει λύσεις όλα τα ζεύγη .Επομένως όπου .
Εξηγώ δύο σημεία που ίσως να είναι ασαφή για κάποιους Juniors.
Η ισοδυναμία .Από το πρώτο σκέλος συμπεραίνουμε ότι .
Από εδώ και στο εξής εφαρμόζουμε τα εξής θεωρήματα:
1.Αν πρώτος και για κάποιον ακέραιο τότε .
2.Αν ακέραιοι με και τότε .
Η παρένθεση όπου λέω "γνωρίζουμε ότι ".Από την αρχή έχουμε βρει ότι .
Επομένως όπως θέλαμε.
Βλέπω τώρα πως από την αρχή μπορούσαμε να πούμε πως και παίρνοντας Μ.Κ.Δ. να καταλήξουμε άμεσα στην .
Edit:Έβαλα κάποιους εκθέτες (τους ).
τελευταία επεξεργασία από gavrilos σε Πέμ Μάιος 28, 2015 2:01 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Άσκηση στην τριγωνική ανισότητα:socrates έγραψε:Α2. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή της παράστασης όπου είναι πραγματικός αριθμός.
Έστω τα σημεία και . Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε οπότε
.
Ένας απλός (αλλά απαραίτητος) έλεγχος δείχνει ότι έχουμε ισότητα για . (Όταν και τα σημεία θα είναι συνευθειακά.)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Είναι η άσκηση 1108, εδώ:socrates έγραψε:Α2. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή της παράστασης όπου είναι πραγματικός αριθμός.
search.php?keywords=1108&t=15584&sf=msgonly
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
jasonmaths4ever έγραψε:Με παίρνουμε περιττός και μετά παίρνουμε άτοπο με .socrates έγραψε:N2. Να βρείτε όλες τις διατεταγμένες τριάδες ακεραίων τέτοιες, ώστε
Σωστά! Είναι η άσκηση 907, εδώ:
search.php?keywords=907&t=15584&sf=msgonly
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
socrates έγραψε:N5. Να βρείτε όλες τις διατεταγμένες τριάδες θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση
Είναι η άσκηση 1110, εδώ:
search.php?keywords=1110&t=15584&sf=msgonly
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
C1. Να βρείτε το μέγιστο αριθμό διαφορετικών ακεραίων που μπορούν να επιλεγούν από το σύνολο έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο από αυτούς των οποίων η διαφορά είναι ίση με
Το αρχικό πρόβλημα περιέχει τους αριθμούς και (αντί των και ). Το τελευταίο προτάθηκε στην ΒΜΟ 2014, με ισοδύναμη εκφώνηση.
Δείτε: viewtopic.php?f=58&t=48581#p229922
Το αρχικό πρόβλημα περιέχει τους αριθμούς και (αντί των και ). Το τελευταίο προτάθηκε στην ΒΜΟ 2014, με ισοδύναμη εκφώνηση.
Δείτε: viewtopic.php?f=58&t=48581#p229922
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
C2. Σε ένα μπιλιάρδο σχήματος ορθογωνίου με και μια μπάλα εκτοξεύεται κατά μήκος της διχοτόμου της γωνίας Υποθέτοντας ότι η μπάλα ανακλάται από τις πλευρές με την ίδια γωνία με την οποία προσπίπτει, να εξετάσετε αν θα φτάσει κάποτε στην κορυφή
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
C3. Έστω ένας θετικός ακέραιος. Δύο παίκτες, η Αλίκη και ο Βασίλης, παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι:
a.
b.
c.
Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.
[Για παράδειγμα, όταν η Αλίκη μπορεί να επιλέξει τους αριθμούς που έχουν τα ίδια ανά δύο αθροίσματα με τους αριθμούς και έτσι ο Βασίλης δεν μπορεί να είναι βέβαιος ότι θα κερδίσει.]
Αυτό ήταν το πρόβλημα 4 του διαγωνισμού (η αρχική εκφώνηση ήταν διαφορετική, χωρίς όμως να αλλάζει κάτι στο πρόβλημα).
viewtopic.php?f=109&t=37870
- Η Αλίκη επιλέγει πραγματικούς αριθμούς , όχι κατ’ ανάγκη διαφορετικούς
- Η Αλίκη στη συνέχεια γράφει τα αθροίσματα όλων των ζευγών των παραπάνω αριθμών πάνω σε μια κόλλα χαρτί την οποία δίνει στον Βασίλη .
(υπάρχουν τέτοια αθροίσματα, όχι κατ’ ανάγκη διαφορετικά) - Ο Βασίλης κερδίζει αν βρει σωστά τους αριθμούς που αρχικά είχε επιλέξει η Αλίκη.
a.
b.
c.
Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.
[Για παράδειγμα, όταν η Αλίκη μπορεί να επιλέξει τους αριθμούς που έχουν τα ίδια ανά δύο αθροίσματα με τους αριθμούς και έτσι ο Βασίλης δεν μπορεί να είναι βέβαιος ότι θα κερδίσει.]
Αυτό ήταν το πρόβλημα 4 του διαγωνισμού (η αρχική εκφώνηση ήταν διαφορετική, χωρίς όμως να αλλάζει κάτι στο πρόβλημα).
viewtopic.php?f=109&t=37870
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
G1. Έστω μια διάμετρος ενός κύκλου κέντρου και μια ακτίνα του κάθετη στην Έστω σημείο του ευθυγράμμου τμήματος Έστω το δεύτερο σημείο τομής της ευθείας με τον και το σημείο τομής των εφαπτομένων του στα σημεία και Να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
G2. Οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο και εσωτερικά στον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Έστω και τα σημεία στα οποία η κοινή εφαπτομένη στο των και τέμνει τον Να δείξετε ότι αν τότε το ευθύγραμμο τμήμα είναι διάμετρος του
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες