Π.Μ.Δ.Μ. 1972-73 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Π.Μ.Δ.Μ. 1972-73 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
1. Να δείξετε οτι αν ισχύει
όπου πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους και διάφοροι του μηδενός,
τότε το σύστημα έχει μία και μοναδική λύση ως προς τους .
Επίσης να δείξετε οτι στην λύση αυτή, η τιμή του αγνώστου είναι ανεξάρτητη του πραγματικού αριθμού .
Παρατήρηση: Η λύση να γίνει χωρίς την βοήθεια των οριζουσών.
2. Να δειχτεί οτι σε κάθε τρίγωνο ισχύει όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του.
3. Να βρεθεί μεταξύ ποιων οριών πρέπει να περιλαμβάνεται η πραγματική παράμετρος
για να υπάρχει λύση της εξίσωσης .
Με τις παραπάνω συνθήκες να λυθεί η παραπάνω εξίσωση.
Τέλος να γίνει εφαρμογή για και
edit's
μετονομασία τίτλου από 'θεωρητική'' σε ''κλασικό''
διόρθωση δεικτών στην συνθήκη του 1ου θέματος
όπου πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους και διάφοροι του μηδενός,
τότε το σύστημα έχει μία και μοναδική λύση ως προς τους .
Επίσης να δείξετε οτι στην λύση αυτή, η τιμή του αγνώστου είναι ανεξάρτητη του πραγματικού αριθμού .
Παρατήρηση: Η λύση να γίνει χωρίς την βοήθεια των οριζουσών.
2. Να δειχτεί οτι σε κάθε τρίγωνο ισχύει όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του.
3. Να βρεθεί μεταξύ ποιων οριών πρέπει να περιλαμβάνεται η πραγματική παράμετρος
για να υπάρχει λύση της εξίσωσης .
Με τις παραπάνω συνθήκες να λυθεί η παραπάνω εξίσωση.
Τέλος να γίνει εφαρμογή για και
edit's
μετονομασία τίτλου από 'θεωρητική'' σε ''κλασικό''
διόρθωση δεικτών στην συνθήκη του 1ου θέματος
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1972-73 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
parmenides51 έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 29, 2013 11:53 pm3. Να βρεθεί μεταξύ ποιων οριών πρέπει να περιλαμβάνεται η πραγματική παράμετρος
για να υπάρχει λύση της εξίσωσης .
Με τις παραπάνω συνθήκες να λυθεί η παραπάνω εξίσωση.
Τέλος να γίνει εφαρμογή για και
Ισχύει ότι
,
Συνεπώς έχουμε ότι
Βρίσκουμε τώρα τα όρια που ζητούνται.
Tα ζητούμενα όρια είναι το και το
Aς λύσουμε τώρα την εξίσωση λαμβάνοντας υπ' όψιν τα όρια που βρέθηκαν παραπάνω.
H εξίσωση γράφεται πλέον
Μπορούμε πλέον να γράψουμε ότι
Έτσι ισοδύναμα προκύπτει ότι με ακέραιο.
Ας λύσουμε τις δύο εξισώσεις που ζητούνται.
Η πρώτη εξίσωση γράφεται
που ισοδυναμεί με την
με ακέραιο.
Η δεύτερη εξίσωση γράφεται
που ισοδυναμεί με την
με ακέραιο.
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1972-73 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Πρόκειται για μια πασίγνωστη ανισότητα του Euler...parmenides51 έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 29, 2013 11:53 pm2. Να δειχτεί οτι σε κάθε τρίγωνο ισχύει όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του.
Θα αποδειχθεί ότι
Ισχύει ότι
Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις ανισότητες αυτές έχουμε
και αν αποτετραγωνίσουμε προκύπτει ότι
κάτι που ισοδυναμεί με
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1972-73 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Ένας πολύ μελετημένος μαθητής θα μπορούσε να απαντήσει στο θέμα αυτό με τις παρακάτω σκέψεις:parmenides51 έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 29, 2013 11:53 pm
2. Να δειχτεί οτι σε κάθε τρίγωνο ισχύει όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του.
Έστω τρίγωνο και το έγκεντρό του. Έστω επίσης το σημείο όπου η διχοτόμος τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του .
Ισχύουν ότι
Άρα στο τρίγωνο ισχύει
Άρα λοιπόν
Έτσι στο τρίγωνο ισχύει ότι
Mπορεί πλέον να γραφεί ότι
Θα δείξουμε τώρα ότι
Έστω το αντιδιαμετρικό σημείο του
Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει ότι
Έστω η ορθή προβολή του επί της πλευράς
Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει ότι
Έτσι λοιπόν
Συνεπώς και έτσι προκύπτει ότι
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1972-73 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Ένας άλλος τρόπος απόδειξης:parmenides51 έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 29, 2013 11:53 pm2. Να δειχτεί οτι σε κάθε τρίγωνο ισχύει όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του.
Γνωρίζουμε ότι Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε Θέτουμε
Παρατηρούμε ότι:
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1972-73 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Εκείνη την εποχή θεωρείτο γνωστό ότιparmenides51 έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 29, 2013 11:53 pm
2. Να δειχτεί οτι σε κάθε τρίγωνο ισχύει όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του.
Στο σχολικό βιβλίο του Ι. ΙΩΑΝΝΙΔΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΣ) ΤΟΜΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟΣ (1968)
είναι το θεώρημα 26 στη σελίδα 36 (στο πρώτο κεφάλαιο για μαθητές που μόλις τελείωσαν τη Γ' γυμνασίου).
Συγκρίνετε τώρα τη Γεωμετρία που διδάσκεται σήμερα... O tempora, o mores!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες