Με απλά υλικά (4)

#1

Δίνεται η γραφική παράσταση $\displaystyle{C}$ της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ του σχήματος .
Η ευθεία $\displaystyle{OA}$ εφάπτεται στη $\displaystyle{C}$ στο σημείο $\displaystyle{O(0,0)}$ . ( Το $\displaystyle{A}$ δεν ανήκει στη $\displaystyle{C}$ ).

: Graph.png (28.52 KiB) Προβλήθηκε 1165 φορές

Αξιοποιώντας τη $\displaystyle{C}$ :
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ .
β) Να υπολογίσετε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν . Αν κάποιο όριο δεν υπάρχει να αιτιολογήσετε την απάντησή σας .
i) $\displaystyle{\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,f(x)}$
ii) $\displaystyle{\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f(x)}$
iii) $\displaystyle{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)}$
iv) $\displaystyle{\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-2}}$
γ) Σε ποια σημεία του πεδίου ορισμού της η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ δεν είναι συνεχής ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας .
δ) Σε ποια σημεία η παράγωγος είναι ίση με μηδέν ;
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο $\displaystyle{B({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))}$ με $\displaystyle{{{x}_{0}}\in (2,3)}$ στο οποίο η εφαπτόμενη να σχηματίζει με τον $\displaystyle{{x}'x}$ και την $\displaystyle{OA}$ ένα ισοσκελές τρίγωνο .
στ) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{g:[-2,2]\to R}$ , με τύπο $\displaystyle{g(x)=f(x)}$ , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και περιττή .
i) Να υπολογίσετε τα : i) $\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{\eta \mu x}}$ ii) $\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{g}'(x)-2}{x}}$
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $\displaystyle{C}$ της $\displaystyle{g}$ και τις ευθείες με εξισώσεις $\displaystyle{x=-2,x=2,y=-1}$

Christos.N · #2

Επειδή είμαι "φαν" των ασκήσεων του Γιώργου να δώσω μια απάντηση σε αυτό το θέμα.

Γιώργο μια αρχική παρατήρηση όμως , πρέπει να δοθεί απο την αρχή ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, αλλιώς θα υπάρχει πρόβλημα έτσι όπως τίθεται το δ) ερώτημα. Εγώ παρακάτω θεωρώ την προηγούμενη πρόταση δεδομένη αν δεν συμφωνείς και έχεις κάτι άλλο στο μυαλό , εδώ είμαστε.

α) Για το πεδίο ορισμού παρατηρούμε ότι $\displaystyle{{A_f} = [ - 2,3) \cup (3,5]}$ ενώ για το σύνολο τιμών $\displaystyle{f\left( A \right) = [ - 1,2)}$ .

β)
i) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = 0}$
ii) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 0}$
iii) Δεν υπάρχει καθώς $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 0 \ne 2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)}$
iv) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{f\left( x \right)}}{{x - 2}} = + \infty }$

γ) Η συνάρτηση

δεν είναι συνεχής στο x_0=2

αφού όπως είδαμε στο β) ερώτημα δεν υπάρχει το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)}$ ενώ η συνάρτηση ορίζεται σε αυτό το σημείο.

δ) Από το σχήμα παρατηρούμε ότι στα σημεία

,

και

η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και είναι παραγωγίσιμη σε αυτά, άρα απο το θεώρημα Fermat σε αυτά τα σημεία η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται.

ε) Ορίζουμε την συνάρτηση $\displaystyle{h\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{c} 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x = 2\\ f\left( x \right),{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2 < x < 3\\ 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x = 3 \end{array} \right.}$
Για την

εύκολα βλέπουμε ότι είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[ {2,3} \right]}$ και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\left( {2,3} \right)}$ , δηλαδή ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής.
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{{x_0} \in \left( {2,3} \right):{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} h'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{h\left( 3 \right) - h\left( 2 \right)}}{{3 - 2}} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2 \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = - 2}$
Επίσης για την κλίση της ευθείας του τμήματος

βρίσκουμε ότι : $\displaystyle{{\lambda _{OA}} = \frac{{0 - \left( { - 2} \right)}}{{0 - \left( { - 1} \right)}} = 2}$

Δηλαδή η κλίση της εφαπτομένης της

που ταυτίζεται με αυτήν της

είναι αντίθετη της κλίσης της ευθείας που ανήκει το

, αν $\displaystyle{{\omega _1},{\omega _2}}$ είναι αντίστοιχα οι γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες αυτές με τον άξονα x'x

τότε $\displaystyle{\varepsilon \varphi {\omega _1} = - \varepsilon \varphi {\omega _2} \Rightarrow {\omega _1} = \pi - {\omega _2}}$ , άρα οι οξείες γωνίες που σχηματίζει το τρίγωνο που ορίζεται απο τις ευθείες και τον άξονα x'x

είναι ίσες , που σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

στ) Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{g'\left( 0 \right) = {\lambda _{OA}} = 2}$ καθώς και ότι η συνάρτηση

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και η εφαπτομένη της στο σημείο (0,g(0))

διαπερνά την γραφική της παράσταση, ιδιότητα των σημείων καμπής , άρα $\displaystyle{g''\left( 0 \right) = 0}$ .

Με τις παραπάνω παρατηρήσεις:

i) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g\left( x \right)}}{{\eta \mu x}}\mathop = \limits^{\frac{0}{0},DLH} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g'\left( x \right)}}{{\sigma \upsilon \nu x}} = \frac{2}{1} = 2}$

ii) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g'\left( x \right) - 2}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g'\left( x \right) - 2}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g'\left( x \right) - g'\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = g''\left( 0 \right) = 0}$

iii) Ορίζουμε το εμβαδόν του χωρίου: $\displaystyle{{\rm E} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {g\left( x \right) + 1} \right|} \,dx}$

Παρατηρούμε όμως ότι $\displaystyle{g\left( x \right) > - 1 \Rightarrow g\left( x \right) + 1 > 0}$ , άρα
$\displaystyle{{\rm E} = \int\limits_{ - 2}^2 {g\left( x \right) + 1} \,dx = \int\limits_{ - 2}^2 {g\left( x \right)} {\kern 1pt} dx + \int\limits_{ - 2}^2 1 \,dx = \int\limits_{ - 2}^0 {g\left( x \right)} {\kern 1pt} dx + \int\limits_0^2 {g\left( x \right)} {\kern 1pt} dx + 4 = 4}$

γιατί χρησιμοποιώντας ότι η συνάρτηση

είναι περιττή, $\displaystyle{\int\limits_{ - 2}^0 {g\left( x \right)} {\kern 1pt} dx\mathop = \limits^{x = - t} \int\limits_2^0 { - g\left( { - t} \right)} {\kern 1pt} dt = - \int\limits_0^2 {g\left( t \right)} \,dt}$

#3

Καλησπέρα σε όλους .
Χρήστο , ευχαριστώ για την ωραία λύση .

Ομολογώ ότι προβληματίστηκα στο συγκεκριμένο σημείο , αν δηλαδή πρέπει να δοθεί η παραγωγισιμότητα της $\displaystyle{f}$ .
Έπειτα είδα το περσινό δεύτερο θέμα των επαναληπτικών στο οποίο δεν δινόταν η παραγωγισιμότητα , αλλά προέκυπτε από το
ότι η γραφική παράσταση είναι μια ομαλή καμπύλη χωρίς γωνιακά σημεία .
Εδώ μπαίνει ένα θέμα. Έχουμε μάθει να μην εμπιστευόμαστε την εποπτεία , αφού τελικά το μάτι ξεγελιέται εύκολα όπως δείχνουν πολλά παραδείγματα από τη Γεωμετρία .
Στις συναρτήσεις , τώρα , ειλικρινά δεν ξέρω .
Αν όλες οι πληροφορίες δίνονται και γραπτά τότε ποιο είναι το νόημα της γραφικής παράστασης ;

Και κάτι άλλο : Χρησιμοποιύμε τη συμμετρία χωρίου ως προς ευθεία στα ολοκληρώματα με την αντίστροφη .
Έχουμε ορίσει κάπου αυτή τη συμμετρία ;

Με απλά υλικά (4)

Με απλά υλικά (4)

Re: Με απλά υλικά (4)

Re: Με απλά υλικά (4)

Μέλη σε σύνδεση