Θέμα Δ

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 835
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Θέμα Δ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Λάμπρος Μπαλός » Πέμ Απρ 20, 2017 12:48 pm

Ένα 4ο Θέμα από το βιβλίο του Χρήστου Πατήλα με τίτλο 35 Διαγωνίσματα και 150 Γενικά Θέματα που μόλις κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Μαυρίδη.

Θέμα Δ

Δίνεται η συνάρτηση f:[0,1] \rightarrow R, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1]. Επίσης, ισχύουν f(0)=2 και f(1)=0. Να αποδείξετε ότι :

Δ1.

α) Υπάρχει μοναδικός x_{0} \in (0,1) , ώστε f(x_{0})=x_{0}.

β) Υπάρχουν a,b \in (0,1) , με a<b , ώστε \frac{2}{f'(b)}-f'(a)=1.

γ) Υπάρχει εφαπτομένη της C_{f} σε σημείο A με τετμημένη στο διάστημα (0, x_{0}) η οποία σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία \omega με την ιδιότητα 90< \omega <135.

Δ2.

α) Αν για κάθε x \in [0,1] ισχύει

[12+4f'(x)](x-a)+9f'(a)+9 \geq \frac{18}{f'(b)}

να βρείτε τους f'(a),f'(b) και x_{0}.

β) Αν επιπλέον ισχύει f'(x) e^{2(x-1)^{2}}+2xe^{f(x)}=(6x-4)e^{2(x-1)^{2}} , για κάθε x \in [0,1] , να βρείτε την f(x) στο διάστημα [0,1].


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1407
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Θέμα Δ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Christos.N » Πέμ Απρ 20, 2017 7:11 pm

Να το γράψω για τα χρόνια πολλά μου

Δ1.

α) Έστω g(x)=f(x)-x,x\in[0,1] ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano,
άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα x_0\in(0,1) με f(x_0)=x_0.
Αν δεν ήταν μοναδικό, τότε υπάρχει ένα ακόμα x^*_0\in(0,1) με την ίδια ιδιότητα.

Στο διάστημα που ορίζουν τα x_0,x^*_0 η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης τιμής, άρα υπάρχει c\in(0,1) :f'(c)=1.
Το τελευταίο όμως είναι άτοπο, καθώς εύκολα αποδεικνύεται ότι \displaystyle{f'\left( x \right) \le 0,x \in \left[ {0,1} \right]}
(θα το δείξω με Λήμμα)

β)Στα διαστήματα [0,x_0] , [x_0,1] για την f ιχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής, έχουμε αντίστοιχα:

\displaystyle{\left. \begin{array}{l}
\alpha  \in \left( {0,{x_0}} \right):f'\left( a \right) = \frac{{f\left( {{x_0}} \right) - f\left( 0 \right)}}{{{x_0}}} = \frac{{{x_0} - 2}}{{{x_0}}} = 1 - \frac{2}{{{x_0}}}\\
b \in \left( {{x_0},1} \right):f'\left( b \right) = \frac{{f\left( 1 \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{1 - {x_0}}} = \frac{{{x_0}}}{{{x_0} - 1}} \Rightarrow \frac{2}{{f'\left( b \right)}} = 2 - \frac{2}{{{x_0}}}
\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{2}{{f'\left( b \right)}} - f'\left( a \right) = 1}

γ)Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε:
\displaystyle{\alpha  \in \left( {0,{x_0}} \right):f'\left( a \right) = \frac{{f\left( {{x_0}} \right) - f\left( 0 \right)}}{{{x_0}}} = \frac{{{x_0} - 2}}{{{x_0}}} = 1 - \frac{2}{{{x_0}}} <  - 1}

γιατί, \displaystyle{0 < {x_0} < 1 \Rightarrow 1 < \frac{1}{{{x_0}}} \Rightarrow  - \frac{2}{{{x_0}}} <  - 2 \Rightarrow 1 - \frac{2}{{{x_0}}} <  - 1}

(Έγινε διόρθωση, παρακάτω σε παράθεση βρίσκεται η εσφαλμένη αρχική τοποθέτηση)
Προσθέτω το Λήμμα

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \displaystyle{\Delta } τότε η παράγωγος της είναι μη θετική, δηλαδή \displaystyle{f'\left( x \right) \le 0,x \in \Delta }.

Απόδειξη:

Έστω \displaystyle{c \in \Delta } , ορίζεται η πρώτη παράγωγος σε αυτό \displaystyle{f'\left( c \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^{}}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( c \right)}}{{x - c}}}, θα δείξουμε ότι \displaystyle{f'\left( c \right) \le 0}.

τότε χρησιμοποιώντας την μονοτονία της συνάρτησης :

\displaystyle{\left. \begin{array}{l}
x < c \Rightarrow \frac{{f\left( x \right) - f\left( c \right)}}{{x - c}} < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( c \right)}}{{x - c}} \le 0\\
x > c \Rightarrow \frac{{f\left( x \right) - f\left( c \right)}}{{x - c}} < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( c \right)}}{{x - c}} \le 0
\end{array} \right\} \Rightarrow f'\left( c \right) \le 0}

Να προσθέσω όμως και ένα δεύτερο Λήμμα που είναι πιο κοντά στα δεδομένα της άσκησης.

Απόδειξη:

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \displaystyle{\Delta } τότε η παράγωγος της είναι μη θετική, δηλαδή \displaystyle{f'\left( x \right) \le 0,x \in \Delta }.

Αφού η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη τότε η πρώτη παράγωγος θα είναι συνεχής συνάρτηση.

Έστω \displaystyle{c \in \Delta } με \displaystyle{f'\left( c \right) > 0} ,τότε αφού η f' είναι συνεχής θα υπάρχει περιοχή (διάστημα) του \displaystyle{c} όπου \displaystyle{f'\left( x \right) > 0} σε αυτή, συνεπώς η συνάρτηση θα είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό, καταλήξαμε σε άτοπο όμως καθώς η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το \Delta.
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Πέμ Απρ 20, 2017 8:56 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Θέμα Δ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Σταμ. Γλάρος » Πέμ Απρ 20, 2017 7:23 pm

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Ένα 4ο Θέμα από το βιβλίο του Χρήστου Πατήλα με τίτλο 35 Διαγωνίσματα και 150 Γενικά Θέματα που μόλις κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Μαυρίδη.

Θέμα Δ

Δίνεται η συνάρτηση f:[0,1] \rightarrow R, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1]. Επίσης, ισχύουν f(0)=2 και f(1)=0. Να αποδείξετε ότι :

Δ1.

α) Υπάρχει μοναδικός x_{0} \in (0,1) , ώστε f(x_{0})=x_{0}.

β) Υπάρχουν a,b \in (0,1) , με a<b , ώστε \frac{2}{f'(b)}-f'(a)=1.

γ) Υπάρχει εφαπτομένη της C_{f} σε σημείο A με τετμημένη στο διάστημα (0, x_{0}) η οποία σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία \omega με την ιδιότητα 90< \omega <135.

Δ2.

α) Αν για κάθε x \in [0,1] ισχύει

[12+4f'(x)](x-a)+9f'(a)+9 \geq \frac{18}{f'(b)}

να βρείτε τους f'(a),f'(b) και x_{0}.

β) Αν επιπλέον ισχύει f'(x) e^{2(x-1)^{2}}+2xe^{f(x)}=(6x-4)e^{2(x-1)^{2}} , για κάθε x \in [0,1] , να βρείτε την f(x) στο διάστημα [0,1].


Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Δ1) α) Εφαρμόζοντας Θ. Bolzano στην συνάρτηση g(x)=f(x)-x στο διάστημα [0,1] προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα x_{0} \in (0,1) , ώστε f(x_{0})=x_{0} και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα το x_{0} είναι μοναδικό.

β) Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ. στην συνάρτηση f στο διάστημα [0,x_{0}] προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα a \in (0, x_{0}) τέτοιο ώστε f'(a)=\dfrac{f(x_{0})-f(0)}{x_{0}-0} = \dfrac{x_{0}-2}{x_{0}}.

Επίσης εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ. στην συνάρτηση f στο διάστημα [x_{0} ,1] προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα b \in ( x_{0},1) τέτοιο ώστε f'(b)=\dfrac{f(1)-f(x_{0})}{1- x_{0}} = \dfrac{x_{0}}{x_{0}-1}.

Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην \frac{2}{f'(b)}-f'(a)=1 επαληθεύουμε ότι ισχύει.

γ) Από το προηγούμενο ΘΜΤ για το a , αφού x_{0} \in (0,1) προκύπτει ότι f'(a)<0.
Συνεπώς η εφαπτομένη της C_{f} στο σημείο A( a,f(a)) με a\in (0, x_{0}) σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία \omega με την ιδιότητα 90< \omega <135.

Δ2) α) Είναι : [12+4f'(x)](x-a)+9f'(a)+9 \geq \dfrac{18}{f'(b)} . Αντικαθιστώντας το Δ1) , (β) ισοδυνάμως προκύπτει: [12+4f'(x)](x-a) \geq  0 .

Θεωρώ την συνάρτηση h(x) = [12+4f'(x)](x-a), παραγωγίσιμη με h'(x) = 4f''(x) (x-a) +12 +4 f'(a) και h(a) = 0 .
Άρα ισχύει h(x)\geq   0= h(a) . Συνεπώς η h παρουσιάζει στο a ακρότατο.
Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Fermat. Άρα h'(a) =0 , από όπου προκύπτει f'(a)=-3.
Στη συνέχεια με αντικατάσταση στην Δ1) , (β) προκύπτει : f'(b)=-1 και από ένα από τα 2 ΘΜΤ του ιδίου ερωτήματος x_{0} = \dfrac{1}{2} .

β) Η δοθείσα ισοδυνάμως παίρνει την μορφή:
e^{2(x-1)^{2}}   \left ( f'(x)-(6x-4) \right ) =(-2x)e^{f(x)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow e^{2(x-1)^{2} }   \left ( f'(x)-(4x-4) \right ) +  e^{2(x-1)^{2}} (-2x)=(-2x)e^{f(x)} \Leftrightarrow


\Leftrightarrow e^{{2(x-1)^{2} -f(x) } } \left ( f(x)-2(x-1)^2 \right )' +  e^{2(x-1)^{2} -f(x)} (-2x)=(-2x) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow -e^{{2(x-1)^{2} -f(x) } } \left ( f(x)-2(x-1)^2 \right )' +  e^{2(x-1)^{2} -f(x)} (2x)=(2x) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left ( e^{x^2}  e^{{2(x-1)^{2} -f(x) } }   \right )' =(e^ {x^2} )' .

Από πόρισμα συνεπειών ΘΜΤ έχουμε : e^{x^2}  e^{{2(x-1)^{2} -f(x) } }    = e^ {x^2} + c .

Για x=1 , είναι c=0, από όπου προκύπτει : f(x)= 2(x-1)^2 .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 835
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Θέμα Δ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Λάμπρος Μπαλός » Πέμ Απρ 20, 2017 8:44 pm

Γεια σου φίλε Χρήστο και χρόνια πολλά. Υγεία και αγάπη.

Στην άσκηση..

γ)Αντιπαράδειγμα η \displaystyle{f\left( x \right) = 2{\left( {x - 1} \right)^2},x \in \left[ {0,1} \right]}

\displaystyle{f\left( x \right) = x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}} και \displaystyle{x \in \left( {0,\frac{1}{2}} \right):f'\left( x \right) = 4\left( {x - 1} \right) <  - 2 <  - 1}


Αυτό λειτουργεί ως παράδειγμα αφού πράγματι για γωνία μεταξύ των 90 και των 135 μοιρών, αρκεί το f'(x_{0})<-1.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 835
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Θέμα Δ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Λάμπρος Μπαλός » Πέμ Απρ 20, 2017 8:49 pm

Καλησπέρα Σταμάτη, χρόνια σου πολλά..
Ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου.

Μόνο στο σημείο
γ) Από το προηγούμενο ΘΜΤ για το a , αφού x_{0} \in (0,1) προκύπτει ότι f'(a)<0.
Συνεπώς η εφαπτομένη της C_{f} στο σημείο A( a,f(a)) με a\in (0, x_{0}) σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία \omega με την ιδιότητα 90< \omega <135.


δεν έχει αποδειχθεί ο περιορισμός της γωνίας στο διάστημα που ζητείται..
Προφανώς εννοείς ότι προκύπτει f'(a)<-1


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1407
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Θέμα Δ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Christos.N » Πέμ Απρ 20, 2017 8:51 pm

Έχεις δίκιο βρε Λάμπρο, παρερμήνευσα.

Υ.Γ.: Διόρθωσα την αρχική απάντηση.


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Θέμα Δ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Σταμ. Γλάρος » Παρ Απρ 21, 2017 2:06 pm

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Καλησπέρα Σταμάτη, χρόνια σου πολλά..
Ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου.

Μόνο στο σημείο
γ) Από το προηγούμενο ΘΜΤ για το a , αφού x_{0} \in (0,1) προκύπτει ότι f'(a)<0.
Συνεπώς η εφαπτομένη της C_{f} στο σημείο A( a,f(a)) με a\in (0, x_{0}) σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία \omega με την ιδιότητα 90< \omega <135.


δεν έχει αποδειχθεί ο περιορισμός της γωνίας στο διάστημα που ζητείται..
Προφανώς εννοείς ότι προκύπτει f'(a)<-1


Καλησπέρα Λάμπρο και Χρόνια Πολλά για την γιορτή σου.
Έχεις απόλυτο δίκιο. Δεν είδα τον ακριβή περιορισμό: 90< \omega <135 .
Ο Χρήστος δίνει την σωστή απάντηση παραπάνω.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος



Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες