Συναρτησιακή σχέση και άλλα...

M.S.Vovos · #1

Θεωρούμε τη συνάρτηση

ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$ , για την οποία f(0)=0

και για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ ισχύει:
$\displaystyle{\big |f(x)-f(y)\big |\leqslant \big |x^{2}-y^{2}\big |}$ (α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι συνεχής και άρτια στο $\mathbb{R}$ .

(β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \left | \int_{-1}^{1}f(-x)dx \right |\leqslant \frac{2}{3}$ .

(γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στο σημείο με τετμημένη $x_{0}=0$ .

(δ) Αν η συνάρτηση

είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$ , τότε να προσδιορίσετε τις τιμές των πραγματικών αριθμών $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ ώστε:
$\displaystyle{f\left ( e^{\alpha}-\alpha-1 \right )+f\left ( e^{\beta }+\beta -1 \right )=0}$ Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Ας αφήσουμε πρώτα 2-3 μέρες τους μαθητές του να δράσουν.

sot arm · #2

Μια λύση...
(α) Έστω:
$\displaystyle{|f(x)-f(y)|\leq |x^{2}-y^{2}| (1)}$
θέτω στην (1) όπου $y:=x_{0} \in \mathbb{R}$ τυχαίο. Ισοδύναμα έχω:

$\displaystyle{-|x^{2}-x^{2}_{0}|\leq f(x)-f(x_{0})\leq |x^{2}-x_{0}^{2}|}$

Από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει εύκολα:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0 \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$

Άρα f συνεχής επί του πεδίου ορισμού της.
Θέτω στην (1) όπου

το

και όπου

το $x_{0}$ Έχω πάλι ισοδύναμα:

$\displaystyle{-|x^{2}-x^{2}_{0}|\leq f(-x)-f(x_{0})\leq |x^{2}-x_{0}^{2}|}$
Από κριτήριο παρεμβολής έχω :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(-x)-f(x_{0}))=0 \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(-x)=f(x_{0}) \Leftrightarrow f(-x_{0})=f(x_{0})}$
όπου χρησιμοποιήθηκε ότι η f συνεχής

(β) Θέτω στην (1) όπου

το μηδέν και έχω:

$\displaystyle{|f(x)|\leq |x^{2}|\Leftrightarrow -x^{2}\leq f(x)\leq x^{2}\Rightarrow f(x)-x^{2}\leq 0\Rightarrow \int_{-1}^{1}(f(x)-x^{2})dx\leq 0\Leftrightarrow \int_{-1}^{1}f(x)dx\leq \frac{2}{3}}$
Ομοίως δουλεύοντας με την αριστερή ανισότητα:

$\displaystyle{ \int_{-1}^{1}f(x)dx \geq -\frac{2}{3}}$
Συναληθεύοντας τις δύο σχέσεις:

$\displaystyle{|\int_{-1}^{1}f(x)dx|\leq \frac{2}{3} \Leftrightarrow |\int_{-1}^{1}f(-x)dx|\leq \frac{2}{3}}$
Αφού f άρτια.
(γ)Θέτω στην αρχική όπου y το 0 και έχω:
$\displaystyle{|f(x)-f(0)|\leq |x^{2}-0|\Leftrightarrow |\frac{f(x)-f(0)}{x-0}|\leq |x|\Leftrightarrow -|x|\leq \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \leq |x|}$
Από κριτήριο παρεμβολής : $\displaystyle{f'(0)=0}$
και αφού f(0)=0 η εφαπτομενη είναι είναι ο άξονας των χ
(δ)
Αφού η συνάρτηση είναι κυρτή βρίσκεται <<πάνω>> από την εφαπτομένη στο $x_{0}=0$ άρα:
$\displaystyle{f(x)\geq 0}$
με την ισότητα μόνο όταν x=0

που σε συνδιασμό με την δοσμένη δίνει:
$\displaystyle{e^{a}-a-1=0 , e^{b}+b-1=0}$
που με μελέτη των :
$\displaystyle{g(x)=e^{x}-x-1, h(x)=e^{x}+x-1}$
Προκύπτει: $\displaystyle{(a,b)=(0,0)}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Το α) έχει την εξής απλή λύση.

Στην $\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x^{2}-y^{2} \right |$

Θέτοντας y=-x

έχουμε $\left | f(x)-f(-x) \right |\leq 0$

προκύπτει ότι f(x)-f(-x) = 0

Συναρτησιακή σχέση και άλλα...

Συναρτησιακή σχέση και άλλα...

Re: Συναρτησιακή σχέση και άλλα...

Re: Συναρτησιακή σχέση και άλλα...

Μέλη σε σύνδεση