Μίξη
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
Μίξη
Δίνονται οι συναρτήσεις με .
1) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.
2) Να υπολογίσετε το όριο
3) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της στα διαστήματα όπου αυτή ορίζεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και .
4) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση , έχει ένα τουλάχιστον ακρότατο , με
5) Αν , νδο
1) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.
2) Να υπολογίσετε το όριο
3) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της στα διαστήματα όπου αυτή ορίζεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και .
4) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση , έχει ένα τουλάχιστον ακρότατο , με
5) Αν , νδο
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Μίξη
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στα δύο πρώτα...erxmer έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις με .
1) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.
2) Να υπολογίσετε το όριο
3) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της στα διαστήματα όπου αυτή ορίζεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και .
4) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση , έχει ένα τουλάχιστον ακρότατο , με
5) Αν , νδο
1) Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο είναι :
Επίσης η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο είναι :
Για να είναι κοινή εφαπτομένη πρέπει να ισχύουν: (1) και (2).
Αντικαθιστώντας στην (2) την (1) προκύπτει:
Θεωρώντας, τώρα, την έχουμε :
Από τα παραπάνω προκύπτει:
Για . Συνεπώς η είναι γνησίως φθίνουσα στο .
Για . Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Επίσης έχουμε: , και .
Ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano για την στο .
Άρα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της στο , η οποία λόγω μονοτονίας είναι μοναδική στο .
Επίσης ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano για την στο .
Άρα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της στο , η οποία λόγω μονοτονίας είναι μοναδική στο .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.
2) Κατά τα γνωστά είναι
Επομένως .
Το παραπάνω ισχύει διότι :
α) Θέτοντας είναι :
, οπότε
και εφαρμόζοντας κανόνα de L' Hospital ( μορφή: έχουμε:
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: Μίξη
...συμπληρώνοντας την λύση του φίλου μου του Σταμάτη....erxmer έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις με .
1) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις δέχονται δυο κοινές εφαπτομένες.
2) Να υπολογίσετε το όριο
3) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της στα διαστήματα όπου αυτή ορίζεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και .
4) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση , έχει ένα τουλάχιστον ακρότατο , με
5) Αν , νδο
3) Δεν μπορώ να καταλάβω τι θέλει ο δημιουργός …είδομεν
4) Είναι η παραγωγίσιμη με
Τώρα η συνάρτηση που είναι συνεχής με
και αφου το σύμφωνα με το Θ. Bolzano έχει τουλάχιστον μία ρίζα
και επειδή η
είναι γνήσια αύξουσα στο άρα και επομένως η ρίζα μοναδική και για
και για
άρα για την έχουμε αντίστοιχα ότι
άρα η είναι γνήσια αύξουσα στο και ότι για
άρα η είναι γνήσια φθίνουσα στο επομένως παρουσιάζει ολικό ακρότατο στο το
και επειδή
θα είναι
5) Είναι
επομένως ισχύει ότι
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες