Good
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Good
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στην, πραγματικά, καλή...erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο .
1) Nα βρεθεί το σύνολο τιμών της
2) Να βρεθεί το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης
3) Αν δείξτε οτι και να βρεθεί το
4) Nα υπολογιστεί το και
1) Είναι
(α) Για έχουμε
(β) Για έχουμε
(γ) Για έχουμε
(δ) Για έχουμε
Τώρα διακρίνω τις εξής περιπτώσεις:
i) Για άρτιο, από την (α),(β) έχουμε :
Άρα ή .
\displaystyle{x\in \left ( 0,e^{-\frac{m}{n}} \right )\cup \left ( 1 ,+\infty \right )f'(x)<0\Leftrightarrowx^{n-1}(lnx)^{m-1}lnx(nlnx+m)<0\Leftrightarrow}.
Από τα παραπάνω προκύπτει: γνησίως αύξουσα στο ,
γνησίως φθίνουσα στο και
γνησίως αύξουσα στο .
Τώρα υπολογίζουμε το . (Απροσδιόριστη μορφή , κανόνας de L' Hospital).
Άρα έχουμε:
Επίσης εύκολα προκύπτει και
Συνεπώς
ii)Για περιττό, από την (α),(γ) και (δ) έχουμε :
Άρα ή .
\displaystyle{x\in \left ( 0,e^{-\frac{m}{n}} \right )f'(x)>0\Leftrightarrowx^{n-1}(lnx)^{m-1}lnx(nlnx+m)>0\Leftrightarrow}.
Από τα παραπάνω προκύπτει: γνησίως φθίνουσα στο ,
και γνησίως αύξουσα στο , αφού είναι συνεχής.
Άρα ολικό ελάχιστο το:
Στην περίπτωση αυτή έχουμε .
2) Θεωρώ την με , από όπου με πινακάκι κατά τα γνωστά προκύπτει:
. Άρα γνησίως φθίνουσα στο
Επίσης . Άρα γνησίως αύξουσα στο
Επιπλέον η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το:
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
i) Για , η εξίσωση έχει μοναδική λύση την .
ii) Για , η εξίσωση έχει 2 λύσεις , μία στο και την άλλη στο ,
αφού
3)Είναι
Αντικαθιστώντας υπολογίζουμε και το .
4)Τώρα για το πρώτο όριο έχουμε:
αφού όπως απεδείχθη προηγουμένως και
Επίσης ισχύουν:
.
Άρα .
Ομοίως προκύπτει ότι και το .
Άρα .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες