Τροποποιημένη

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,+\infty )\to R}$ με : $\displaystyle{f(x)=\left\{ \begin{matrix} x(2-\sin (\ln x)-\cos (\ln x))\,\,\,\,,x>0 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x=0 \\ \end{matrix} \right.}$
α) Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο $\displaystyle{[0,+\infty )}$
β) Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τη $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ , τον $\displaystyle{{x}'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=1}$

Η ιδέα είναι από T. Andreescu

Tolaso J Kos · #2

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,+\infty )\to R}$ με : $\displaystyle{f(x)=\left\{ \begin{matrix} x(2-\sin (\ln x)-\cos (\ln x))\,\,\,\,,x>0 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x=0 \\ \end{matrix} \right.}$
α) Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο $\displaystyle{[0,+\infty )}$
β) Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τη $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ , τον $\displaystyle{{x}'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=1}$

Η ιδέα είναι από T. Andreescu

Γεια σου Γιώργη,

(α) Πολλά DeL' Hospital βλέπω. Ξεκινάμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0} x\left [ 2 - \sin \left ( \ln x \right ) -\cos (\ln x) \right ] &=\lim_{x\rightarrow 0} \left ( 2x - x \sin (\ln x) - x \cos (\ln x) \right ) \\ &\overset{(*)}{=}0 - \lim_{x\rightarrow 0} x \sin (\ln x) - \lim_{x\rightarrow 0} x \cos (\ln x) \\ &= 0 - 0 - 0\\ &= 0 \end{aligned}}$ (*)

διότι τα όρια υπάρχουν. Υπολογίζονται με DeL' Hospital. Τα παραλείπω λόγω της επίπονης γραφή τους.

Άρα η

είναι όντως συνεχής στο x_0=0

.

(β) Η

είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ ως πράξεις παραγωγίσιμων. Η παράγωγός της δίδεται του τύπου
$\displaystyle{f'(x) = 2 -2 \cos (\ln x) \geq 0}$ με την ισότητα να ισχύει όταν $x=e^{2\pi n} , \; n \in \mathbb{N}$ . Άρα η συνάρτησή μας είναι γνήσια αύξουσα. Συνεπώς παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x_0=0

ίσο με

.

Ενδιαφέρον εδώ έχει και η κοιλότητα η οποία δε παρουσιάζει κάποια δυσκολία.

(γ) Το ζητούμενο εμβαδόν δίδεται του τύπου
$\displaystyle{{\rm E}\left ( \Omega \right ) = \int_{0}^{1} \left | f(x) \right | \, {\rm d}x = \int_{0}^{1} f(x) \, {\rm d}x}$ διότι επειδή η

είναι γνήσια αύξουσα θα ισχύει $f(x) \geq f(0)=0$ . Τότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &= \int_{0}^{1} f(x) \, {\rm d}x \\ &= \int_{0}^{1}\bigg( 2x - x \sin \left ( \ln x \right ) - x \cos (\ln x) \bigg)\, {\rm d}x \\ &= \int_{0}^{1} 2x \, {\rm d}x - \int_{0}^{1} x \sin (\ln x) \, {\rm d}x - \int_{0}^{1} x \cos (\ln x) \, {\rm d}x\\ &= 1 +\frac{1}{5} - \frac{2}{5} \\ &=\frac{4}{5} \end{aligned}}$ διότι
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} x \sin (\ln x) \, {\rm d}x &=\underbrace{\lim_{x\rightarrow 0^+} \int_{x}^{1} t \sin (\ln t) \, {\rm d}t}_{\mathcal{J}} \\ &= \lim_{x\rightarrow 0^+} \left [ \frac{t^2}{2} \sin (\ln t) \right ]_x^1 - \lim_{x\rightarrow 0^+} \int_{x}^{1} \frac{t}{2} \cos (\ln t) \, {\rm d}t \\ &= \cancelto{0}{-\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x^2}{2} \sin (\ln x)} - \frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow 0^+} \left [ t^2 \cos (\ln t) \right ]_x^1 -\frac{1}{4} \lim_{x\rightarrow 0^+} \int_{x}^{1} t \sin (\ln t) \, {\rm d}t \\ &=-\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \underbrace{\lim_{x\rightarrow 0^+} \int_{x}^{1} t \sin (\ln t) \, {\rm d}t}_{\mathcal{J}} \end{aligned}}$ Άρα
$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} = - \frac{1}{4} - \frac{\mathcal{J}}{4} &\Leftrightarrow \mathcal{J} + \frac{\mathcal{J}}{4} = - \frac{1}{4} \\ &\Leftrightarrow \frac{5\mathcal{J}}{4} =- \frac{1}{4}\\ &\Leftrightarrow \mathcal{J} = -\frac{1}{5} \end{aligned}}$ Όμοια υπολογίζεται και το άλλο. Τελικά: $\displaystyle{\int_{0}^{1} x \cos (\ln x) \, {\rm d}x = \frac{2}{5}}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε:
exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,+\infty )\to R}$ με : $\displaystyle{f(x)=\left\{ \begin{matrix} x(2-\sin (\ln x)-\cos (\ln x))\,\,\,\,,x>0 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x=0 \\ \end{matrix} \right.}$
α) Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο $\displaystyle{[0,+\infty )}$
β) Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τη $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ , τον $\displaystyle{{x}'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=1}$

Η ιδέα είναι από T. Andreescu
Γεια σου Γιώργη,

(α) Πολλά DeL' Hospital βλέπω. Ξεκινάμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0} x\left [ 2 - \sin \left ( \ln x \right ) -\cos (\ln x) \right ] &=\lim_{x\rightarrow 0} \left ( 2x - x \sin (\ln x) - x \cos (\ln x) \right ) \\ &\overset{(*)}{=}0 - \lim_{x\rightarrow 0} x \sin (\ln x) - \lim_{x\rightarrow 0} x \cos (\ln x) \\ &= 0 - 0 - 0\\ &= 0 \end{aligned}}$ διότι τα όρια υπάρχουν. Υπολογίζονται με DeL' Hospital. Τα παραλείπω λόγω της επίπονης γραφή τους.

Άρα η είναι όντως συνεχής στο .

(β) Η είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ ως πράξεις παραγωγίσιμων. Η παράγωγός της δίδεται του τύπου
$\displaystyle{f'(x) = 2 -2 \cos (\ln x) \geq 0}$ με την ισότητα να ισχύει όταν $x=e^{2\pi n} , \; n \in \mathbb{N}$ . Άρα η συνάρτησή μας είναι γνήσια αύξουσα. Συνεπώς παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ίσο με .

Ενδιαφέρον εδώ έχει και η κοιλότητα η οποία δε παρουσιάζει κάποια δυσκολία.

Για το α) δεν βλέπω κανένα DeL' Hospital .Απλά είναι $\left | f(x) \right |\leq 4\left | x \right |$

Στο β) η παράγωγος μηδενίζετε στα $e^{2n\pi },n\in \mathbb{Z}$

Είναι σωστό ότι είναι γνησίως αύξουσα αλλά επειδή τα σημεία που μηδενίζετε η παράγωγος είναι άπειρα και έχουν

σημείο συσσώρευσης το

ξεφεύγει από την σχολική ύλη.

Στο γ) δεν βλέπω πως μπορούμε να αποφύγουμε τα γενικευμένα.Δηλαδή ξεφεύγει από την σχολική ύλη.

Νομίζω ότι πρέπει να αλλάξει φάκελο.

Tolaso J Kos · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Στο γ) δεν βλέπω πως μπορούμε να αποφύγουμε τα γενικευμένα.Δηλαδή ξεφεύγει από την σχολική ύλη.

Νομίζω ότι πρέπει να αλλάξει φάκελο.

Σταύρο,

δεν έχεις άδικο, αλλά το τελευταίο 1.5

χρόνο παρατηρώ ότι είναι πολύ της μόδας ολοκληρώματα αυτού του τύπου. Κυκλοφορούν πολύ στη πιάτσα και σε ορισμένα βοηθήματα, βλέπε π.χ Μπάρλας. Δε ξέρω αν στη νέα έκδοση το 'χει , πάντως στη παλιά που είχα από τότε που ήμουν μαθητής είχε ένα παράδειγμα. Συγκεκριμένα σε λυμένη άσκηση είχε το $\bigintsss_0^1 \ln x \, {\rm d}x$ .

Στη συγκεκριμένη όμως περίπτωση εφόσον η

είναι συνεχής στο x_0=0

δε νομίζω να υπάρχει κανένα πρόβλημα να ζητηθεί κάτι τέτοιο. Τώρα πώς θα γίνουν οι υπολογισμοί είναι άλλο θέμα. Προσωπική μου άποψη είναι.

Παλιότερα, και με το παλιότερα εννοώ πριν

χρόνια , είχαμε δει αυτήν εδώ (μου έχουν ξεφύγει ορισμένα πράγματα στη λύση είναι γεγονός.) όπου πάλι είχαμε να κάνουμε με γενικευμένο αυτή τη φορά το $\bigintsss_0^1 x \ln x \, {\rm d}x$ .

Φιλικά.

Τροποποιημένη

Τροποποιημένη

Re: Τροποποιημένη

Re: Τροποποιημένη

Re: Τροποποιημένη

Μέλη σε σύνδεση