Σαν δεύτερο

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1201
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Σαν δεύτερο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από exdx » Τετ Οκτ 05, 2016 11:16 am

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} με \displaystyle{f(x) = \frac{8}{{{x^2} + 4}}}
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες στη γραφική παράσταση της συνάρτησης .
γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αξιοποιώντας τα συμπεράσματα των ερωτημάτων (α) και (β) .
δ) Δίνεται το σημείο \displaystyle{A(x,f(x)),x > 0} και έστω \displaystyle{K} η προβολή του στον \displaystyle{x'x} .
Να βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{OAK} .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Σαν δεύτερο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Tolaso J Kos » Τετ Οκτ 05, 2016 12:38 pm

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} με \displaystyle{f(x) = \frac{8}{{{x^2} + 4}}}
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες στη γραφική παράσταση της συνάρτησης .
γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αξιοποιώντας τα συμπεράσματα των ερωτημάτων (α) και (β) .
δ) Δίνεται το σημείο \displaystyle{A(x,f(x)),x > 0} και έστω \displaystyle{K} η προβολή του στον \displaystyle{x'x} .
Να βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{OAK} .


Γεια σου Γιώργη. Λοιπόν για το δεύτερο σου θέμα έχομεν και λέμε:

α) Η f ως ρητή στο \mathbb{R} είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο \displaystyle{f'(x) = - \frac{16x}{\left ( x^2+4 \right )^2}}. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty, 0] και γνήσια φθίνουσα στο [0, +\infty).Οπότε στο μηδέν έχει (ολικό) μέγιστο ίσο με f(0)=2. Επίσης είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με \displaystyle{f''(x) = \frac{16\left ( 3x^2-4 \right )}{\left ( x^2+4 \right )^3}}. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση f''(x)=0 έχει ρίζες τις x_1=-\frac{2}{\sqrt{3}} και x_2=\frac{2}{\sqrt{3}}. Οπότε η f είναι κυρτή στα διαστήματα \left[ \frac{2}{\sqrt{3}}, +\infty \right) και \left(-\infty, -\frac{2}{\sqrt{3}} \right] και κοίλη στο διάστημα \left [ -\frac{2}{\sqrt{3}} , \frac{2}{\sqrt{3}} \right ].

β) Παρατηρούμε ότι ο άξονας x'x είναι ασύμπωτη της γραφικής παράστασης της f τόσο στο +\infty όσο και στο -\infty αφού \lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=0. Ως συνεχής στο \mathbb{R} δεν έχει κατακόρυφες. Επίσης, τετριμμένα δεν έχει πλάγιες ασύμπτωτες.

γ) Με βάση τα παραπάνω έχουμε:

graph.jpg
graph.jpg (6.27 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές


δ) Το σημείο {\rm K} είναι το σημείο {\rm K}(x, 0). Το τρίγωνο {\rm OAK} είναι ορθογώνιο στο {\rm K}. Οπότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με:

\displaystyle{\begin{aligned}
{\rm E }(x) &= \frac{1}{2} {\rm OK} \cdot {\rm AK}\\ 
 &= \frac{x \cdot f(x)}{2} \\
 &= \frac{4x}{x^2+4}
\end{aligned}}

Εδώ οι ποσότητες είναι όλες θετικές. Ως συνάρτηση του x το εμβαδόν είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο \displaystyle{{\rm E}'(x) = -\frac{4\left ( x^2-4 \right )}{\left ( x^2+4 \right )^2}, \; x>0}. Συνεπώς στο x=2 παρουσιάζει η {\rm E} μέγιστο ίσο με {\rm E}(2)=1. Άρα το μέγιστον εμβαδόν του τριγώνου {\rm OAK} είναι ίσο με 1 τετραγωνική μονάδα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1282
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σαν δεύτερο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 06, 2016 12:36 am

Κάποια από τα ερωτήματα μπορούν να απαντηθούν χωρίς Ανάλυση.

Στο 0 έχει ολικό μέγιστο γιατί f(0)=2\geq \frac{8}{x^{2}+4}=f(x)

Στο [0,\infty ) είναι γνησίως φθίνουσα γιατί

0\leq x< y\Rightarrow x^{2}+4< y^{2}+4\Rightarrow \frac{1}{y^{2}+4}< \frac{1}{x^{2}+4}\Rightarrow f(y)< f(x)

Ομοια στο (-\infty,0 ] είναι γνησίως αύξουσα.

Για το δ) έχουμε\frac{4x}{x^{2}+4}\leq 1 με ισότητα για x=2


NIZ
Δημοσιεύσεις: 230
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Σαν δεύτερο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από NIZ » Τετ Ιαν 11, 2017 4:21 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
β) Παρατηρούμε ότι ο άξονας x'x είναι ασύμπωτη της γραφικής παράστασης της f τόσο στο +\infty όσο και στο -\infty αφού \lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=0. Ως συνεχής στο \mathbb{R} δεν έχει κατακόρυφες. Επίσης, τετριμμένα δεν έχει πλάγιες ασύμπτωτες.
.


Στο δεύτερο θέμα του 2016, είχα δει λύση που είχε αναρτηθεί στο διαδίκτυο και στην οποία μετά την εύρεση των οριζόντιων ασύμπτωτων, ο λύτης προχωρούσε στην εύρεση και των πλάγιων, τις οποίες ευτυχώς δεν βρήκε. Στο θέμα αυτό, παρατηρώ ότι και πάλι γίνεται αναφορά στις πλάγιες ασύμπτωτες μετά την εύρεση των οριζόντιων. Ίσως λοιπόν να έπρεπε να τονιστεί ότι αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχει π.χ. οριζόντια (ή πλάγια) ασύμπτωτη στο +\infty δεν θα μπορούσε να έχει και πλάγια (ή οριζόντια) ασύμπτωτη στο +\infty. Αυτός ο διαχωρισμός σε πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες δεν βρίσκω να έχει κανένα νόημα και ίσως να δημιουργεί και κάποια σύγχυση.


Νίκος Ζαφειρόπουλος

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες