Υπολογίστε

#1

Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
$\displaystyle{f(x)=\sqrt{6x-{{x}^{2}}-6},\,\,\,g(x)=\sqrt{6x-{{x}^{2}}-5\,},\,\,\,t(x)=x-3}$
και τον άξονα $\displaystyle{{x}'x}$ .

Ratio · #2

Καταπληκτική άσκηση, όπως όλες που αναρτάτε
Το γράφω γιατί όλη τη χρονιά ακούω ότι οι γνώσεις Μαθηματικών Κατεύθυνσης και Γεωμετρίας της Β' Λυκείου δεν χρειάζονται στη Γ'

BAGGP93 · #3

Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ έχουμε

$\displaystyle{6\,x-x^2-6=(6\,x-x^2-9)+9-6=3-(x-3)^2}$

και

$\displaystyle{6\,x-x^2-5=(6\,x-x^2-9)+(9-5)=4-(x-3)^2}$

άρα η $\displaystyle{f}$ ορίζεται στο $\displaystyle{\left[3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}\right]}$ και είναι συνεχής και μη αρνητική σε αυτό, η $\displaystyle{g}$

ορίζεται στο $\displaystyle{\left[1,5\right]}$ και είναι συνεχής και μη αρνητική σε αυτό .

Επίσης, $\displaystyle{y=f(x)\iff (x-3)^2+y^2=3\,,x\in\left[3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}\right]}$ και

$\displaystyle{y=g(x)\iff (x-3)^2+y^2=4\,,x\in\left[1,5\right]}$ .

Άρα τα γραφήματα των $\displaystyle{f\,,g}$ είναι τα άνω ημικύκλια των ομόκεντρων κύκλων με κέντρο το $\displaystyle{K(3,0)}$

και ακτίνες $\displaystyle{r_1=\sqrt{3}\,,r_2=2}$ αντίστοιχα.

Οι λύσεις των συστημάτων $\displaystyle{y=t(x)\,,y=f(x)\,,x\in\left[3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}\right]}$ και

$\displaystyle{y=t(x)\,,y=g(x)\,,x\in\left[1,5\right]}$ έχουν λύσεις τις

$\displaystyle{(x,y)\in\left\{\left(3+\sqrt{3/2},\sqrt{3/2}\right)\,,\left(3-\sqrt{3/2},-\sqrt{3/2}\right)\right\}}$

και

$\displaystyle{(x,y)\in\left\{(3-\sqrt{2},-\sqrt{2})\,,(3+\sqrt{2},\sqrt{2})\right\}}$

αντίστοιχα.

Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία $\displaystyle{y=x-3}$ με τον οριζόντιο άξονα είναι $\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}}$ rad.

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που ορίζουν τα σημεία $\displaystyle{K(3,0)\,,G(5,0)\,,(3+\sqrt{2},\sqrt{2})}$

μείον το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που ορίζουν τα $\displaystyle{K(3,0)\,,G'(3+\sqrt{3},0)\,,(3+\sqrt{3/2},\sqrt{3/2})}$

Συγγνώμη που δεν δίνω σχήμα.

Tolaso J Kos · #4

BAGGP93 έγραψε:Συγγνώμη που δεν δίνω σχήμα.

Δίνω κατά προσέγγιση το σχήμα ώστε να πάρει μία ιδέα ο αναγνώστης.
$\begin{tikzpicture} \draw [->](0, 0) -- (6, 0); \draw [->](0, -3) -- (0, 5); \draw (6, 0) node[below]{x}; \draw (0, 5) node[left]{y}; \draw [thick] (5, 0) arc(0:180:2); \draw [thick] (4.7, 0) arc(0:180:1.7); \draw [thick] (3, 0) circle(1pt); \draw (3, 0) node[below]{K}; \draw (0, 0) node[left]{O}; \draw [dashed] (5, 2) -- (0.5, -2.5); \end{tikzpicture}$

Christos.N · #5

BAGGP93 έγραψε:
Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία $\displaystyle{y=x-3}$ με τον οριζόντιο άξονα είναι $\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}}$ rad.

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που ορίζουν τα σημεία $\displaystyle{K(3,0)\,,G(5,0)\,,(3+\sqrt{2},\sqrt{2})}$

μείον το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που ορίζουν τα $\displaystyle{K(3,0)\,,G'(3+\sqrt{3},0)\,,(3+\sqrt{3/2},\sqrt{3/2})}$

Συγγνώμη που δεν δίνω σχήμα.

Γιατί να επιλέξουμε όμως αυτό το κομμάτι του δακτυλίου και όχι το μέρος του κατά το άλλο ημιεπίπεδο που ορίζει η ευθεία;
Μήπως χρειάζεται μια επιπλέον πληροφορία;

BAGGP93 · #6

Γεια σας κύριε Χρήστο. Δεν κατάλαβα ποιο μέρος εννοείτε ;

Christos.N · #7

Βαγγέλη εννοώ γιατί "κόκκινο" και όχι "πράσινο".

: 5ac69eeff0bc7f0f3a178dfb0c9ac6e6.png (6.86 KiB) Προβλήθηκε 1817 φορές

#8

Καλησπέρα σε όλους.

Το θέμα που ανάρτησε ο Γιώργης είναι ωραίο γιατί συνδυάζει Γεωμετρία και Αναλυτική. Απαιτεί σχήμα και δεν είναι συνηθισμένο - τετριμμένο θέμα. Πιστεύω, όμως, ότι είναι υπερβολική η χρήση ολοκληρωμάτων για την αντιμετώπιση του (Σαν να λέμε: φλογοβόλο αντί εντομοκτόνου).

Ο κυκλικός δίσκος μεταξύ των κύκλων $\displaystyle {C_1}:\;\;{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 2$ και $\displaystyle {C_2}:\;\;{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = \sqrt 3$
έχει εμβαδόν $\displaystyle E = \pi \left( {{2^2} - {{\sqrt 3 }^2}} \right) = \pi$ .

Η ευθεία y=x-3

έχει κλίση

άρα σχηματίζει από έναν κυκλικό τομέα 45^o

κι έναν

με τους κύκλους.

Άρα το σχηματιζόμενο χωρίο θα έχει εμβαδό είτε $\displaystyle \frac{\pi }{8}$ (το κόκκινο), είτε $\displaystyle \frac{{3\pi }}{8}$ (το πράσινο), στο σχήμα του Χρήστου. Επιλέγουμε ποιο θέλουμε, όπως παρατήρησε ο Χρήστος κι έχουμε το εμβαδόν.

: 5ac69eeff0bc7f0f3a178dfb0c9ac6e6.png (6.86 KiB) Προβλήθηκε 1808 φορές

Christos.N · #9

Γιώργο ο σκοπός αυτής της άσκησης , δεν το συζητάμε καν, είναι ακριβώς αυτός. Δηλαδή να υπολογιστεί το εμβαδόν με απλούστερες μεθόδους, η άσκηση αυτή είναι τεράστια χρήσιμη διδακτικά. Όμως δεν ξεκαθαρίζει ποιο από τα δύο χωρία θέλει , προσπάθησα να ορίσω κάποιο από τα δύο , χωρίς ακροβασίες λεκτικές, ακολουθώντας την δεδομένη λογοτεχνική απόδοση του σχολικού βιβλίου, αλλά δεν βρίσκω άκρη.

Μήπως εσύ ή κάποιος θα μπορούσε να αποδώσει πιο ευνόητα , ας πούμε , το "κόκκινο" χωρίο.

Υ.Γ.: Γιώργο βλέπω ότι το όνομα μου στην γενική γίνεται πιο ανοιχτόχρωμο από ότι στην ονομαστική!! Προσπαθώ να σκεφτώ πως θα ήταν στην αιτιατική;

Υ.Γ.2: Βλέποντα Γιώργο την δημοσίευση σου εδώ καταλαβαίνω ότι ξεθωριάζω σιγά σιγά....Στην κλητική εξαφανιζόλ δηλαδή;;

#10

Φυσικά ο Χρήστος έχει δίκιο
Άς πούμε ότι το χωρίο περιέχεται στην κυρτή γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα .

Γιώργο και βέβαια δεν είχα την απαίτηση να λυθεί με ολοκληρώματα .

#11

exdx έγραψε:Φυσικά ο Χρήστος έχει δίκιο
Άς πούμε ότι το χωρίο περιέχεται στην κυρτή γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα .

Γιώργο και βέβαια δεν είχα την απαίτηση να λυθεί με ολοκληρώματα .

Γιώργο, καλημέρα. Αυτό ακριβώς ήθελα να τονίσω. Η πρώτη μου σκέψη (βλέποντας και τον φάκελο) ήταν το ολοκλήρωμα. Με μια πιο ψύχραιμη ματιά βλέπεις πιο καθαρά. Η εμμονή στην ενασχόληση με συγκεκριμένες μεθόδους και τεχνικές μάς βάζουν παρωπίδες (και πόσο μάλλον στους μαθητές). Ας δώσουμε στα Σχολικά Μαθηματικά τη φαντασία που χρειάζονται και τούς λείπει.

Χρήστο! Μπράβο για την παρατήρηση πού έδωσε το έναυσμα για την ενδιαφέρουσα συζήτηση.

#12

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
exdx έγραψε:Φυσικά ο Χρήστος έχει δίκιο
Άς πούμε ότι το χωρίο περιέχεται στην κυρτή γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα .

Γιώργο και βέβαια δεν είχα την απαίτηση να λυθεί με ολοκληρώματα .

Γιώργο, καλημέρα. Αυτό ακριβώς ήθελα να τονίσω. Η πρώτη μου σκέψη (βλέποντας και τον φάκελο) ήταν το ολοκλήρωμα. Με μια πιο ψύχραιμη ματιά βλέπεις πιο καθαρά. Η εμμονή στην ενασχόληση με συγκεκριμένες μεθόδους και τεχνικές μάς βάζουν παρωπίδες (και πόσο μάλλον στους μαθητές). Ας δώσουμε στα Σχολικά Μαθηματικά τη φαντασία που χρειάζονται και τούς λείπει.

Χρήστο! Μπράβο για την παρατήρηση πού έδωσε το έναυσμα για την ενδιαφέρουσα συζήτηση.

#13

... Ας συνοψίσουμε ....

Ο Χρήστος είναι πολύ προσεκτικός
Χωρίς την παρατήρηση του Χρήστου η εκφώνηση ήταν ασαφής .
Γι΄αυτό οφείλω συγχαρητήρια στο Χρήστο που το είδε .
Μπράβο Χρήστο !!!

Tolaso J Kos · #14

exdx έγραψε:... Ας συνοψίσουμε ....

Ο Χρήστος είναι πολύ προσεκτικός
Χωρίς την παρατήρηση του Χρήστου η εκφώνηση ήταν ασαφής .
Γι΄αυτό οφείλω συγχαρητήρια στο Χρήστο που το είδε .
Μπράβο Χρήστο !!!

Υπολογίστε

Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Re: Υπολογίστε

Μέλη σε σύνδεση