Εύρεση συνάρτησης

Συντονιστής: R BORIS

Απάντηση
NikosB
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 11, 2016 1:14 am

Εύρεση συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από NikosB » Σάβ Μαρ 04, 2017 7:57 am

Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:[0,1]->R για την οποία ισχύει. \int_{0}^{1}(xf(x)-f^{2}(x))dx=1/12
Την προσπάθησα Αλλά δεν την κατάφερα και χρειάζομαι μια υπόδειξη.


Λέξεις Κλειδιά:
Ολοκλήρωμα
εύρεση-συνάρτησης
Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3600
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μαρ 04, 2017 9:22 am

Υπόδειξη.

\frac{1}{12}=\int_{0}^{1}(\frac{x}{2})^{2}dx


Κορυφή
nikos18
Δημοσιεύσεις: 52
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 15, 2016 12:26 pm

Re: Εύρεση συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos18 » Σάβ Μαρ 04, 2017 2:52 pm

ισχύει ότι \int_{0}^{1}\left (f^{2}(x)-xf(x)\right)dx=\frac{-1}{12}\Leftrightarrow \int_{0}^{1}\left (f^{2}(x)-2\frac{x}{2}f(x)+\frac{x^{2}}{4} \right)dx=\frac{-1}{12}+\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{4}

άρα \int_{0}^{1}\left (f(x)-\frac{x}{2} \right)^{2}dx=0 και επειδή \left (f(x)-\frac{x}{2} \right )^{2}\geqslant 0 για κάθε x\epsilon [0,1], θα είναι f(x)=x/2.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες