Προσέγγιση

BAGGP93 · #1

Ας είναι $\displaystyle{a\,,b}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{a<b}$ . Έστω επίσης $\displaystyle{\delta\in\left(0,a\right)}$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,\,,f(x)=\begin{cases} 1\,\,,x\in\left(a,b\right)\\ 0\,\,,x\in\mathbb{R}\setminus \left(a,b\right) \end{cases}}$

Να ορίσετε συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{\int_{a-\delta}^{b+\delta}\left|g(x)-f(x)\right|\,\mathrm{d}x<\delta}$

#2

BAGGP93 έγραψε:Ας είναι $\displaystyle{a\,,b}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{a<b}$ . Έστω επίσης $\displaystyle{\delta\in\left(0,a\right)}$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,\,,f(x)=\begin{cases} 1\,\,,x\in\left(a,b\right)\\ 0\,\,,x\in\mathbb{R}\setminus \left(a,b\right) \end{cases}}$

Να ορίσετε συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{\int_{a-\delta}^{b+\delta}\left|g(x)-f(x)\right|\,\mathrm{d}x<\delta}$

Για κατάλληλα μεγάλο

παίρνουμε

στο

, ευθεία (μεγάλης κλίσης) από το $(a-1/n, \, 0)$ στο (a,1)

, και όμοια από το (b,1)

στο

και τέλος,

έξω από αυτά. Είναι προφανές ότι η

κάνει την δουλειά. Ο λόγος είναι διότι το παραπάνω ολοκλήρωμα είναι ίσο με το εμβαδόν δύο στενών τριγώνων. Όποιος δεν το βλέπει ας κάνει το σχήμα, για να δει το προφανές.

BAGGP93 · #3

Ευχαριστώ κύριε Μιχάλη.

Εγώ δούλεψα στο $\displaystyle{\left[a-\delta,b+\delta\right]}$ όπως και εσείς.

Υποψιάζομαι ότι το $\displaystyle{n\in\mathbb{N}}$ που επιλέξατε είναι τέτοιο, ώστε $\displaystyle{n>\dfrac{1}{\delta}}$ .

#4

BAGGP93 έγραψε: Υποψιάζομαι ότι το $\displaystyle{n\in\mathbb{N}}$ που επιλέξατε είναι τέτοιο, ώστε $\displaystyle{n>\dfrac{1}{\delta}}$ .

Ναι, το έκανα με

ώστε να φανεί ότι το παραπάνω ολοκλήρωμα γίνεται όσο μικρό θέλουμε: Είναι δύο μακρόστενα τρίγωνα ύψους

και βάσης

(άρα το ολοκλήρωμα τείνει στο

)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Πιο καλά.
Πάρε $h(x)=\frac{1}{\pi }.\dfrac{1}{1+x^{2}}$

$h_{\epsilon }(x)=\frac{1}{\epsilon }h(\frac{x}{\epsilon })$ , με $\epsilon > 0$

Θέσε $g_{\epsilon }(x)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x-t)h_{\epsilon }(t)dt$

Μπορεί να αποδειχθεί ότι $g_{\epsilon }$ είναι παραγωγίσημη και

$\lim_{\epsilon \rightarrow 0 }\int_{-\infty }^{\infty }\left | g_{\epsilon }(x)-f(x) \right |dx=0$

BAGGP93 · #6

Καλημέρα σε όλους.

Κύριε Σταύρο, όπως αυτό που μου είχατε απαντήσει :

viewtopic.php?f=9&t=56653#p272661

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

BAGGP93 έγραψε:Καλημέρα σε όλους.

Κύριε Σταύρο, όπως αυτό που μου είχατε απαντήσει :

viewtopic.php?f=9&t=56653#p272661

Ακριβώς Ευάγγελε.

Προσέγγιση

Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Μέλη σε σύνδεση