Ύπαρξη ξ

Tolaso J Kos · #1

Η πραγματική συνάρτηση

έχει $\nu+1$ παραγώγους σε κάθε σημείο του $\mathbb{R}$ . Δείξατε ότι για κάθε ζευγάρι πραγματικών αριθμών $\alpha, \beta$ με $\alpha<\beta$ και

$\displaystyle{\ln \left ( \frac{f \left ( \beta \right ) + f'\left ( \beta \right ) + \cdots + f^{(\nu)}\left ( \beta \right )}{f\left ( \alpha \right )+ f'\left ( \alpha \right )+\cdots+ f^{(\nu)}\left ( \alpha \right )} \right ) = \beta - \alpha}$
υπάρχει $\xi \in (\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε $f^{(\nu+1)}(\xi)= f(\xi)$ .

Edit: Δημήτρη ( dement ) ευχαριστώ για το σκούντηγμα.

#2

Είναι -μάλλον- θέμα του 1ου IMC και πρέπει να έχει συζητηθεί παλιότερα στο mathematica.gr. Μια τυπική λύση:

Για την $\nu+1-$ φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ , έστωσαν $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ , $\alpha<\beta$ , για τους οποίους ισχύει:

$\begin{aligned} &\ln\left({{f(\beta)+f'(\beta)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\beta)+f^{(\nu)}(\beta)}\over{f(\alpha)+f'(\alpha)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\alpha)+f^{(\nu)}(\alpha)}}\right)=\beta-\alpha\quad\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\ln\left({f(\beta)+f'(\beta)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\beta)+f^{(\nu)}(\beta)}\right)-\beta\\ &\hspace{2.0cm}= {\ln\left({f(\alpha)+f'(\alpha)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\alpha)+f^{(\nu)}(\alpha)}\right)-\alpha} \quad(1) \end{aligned}$

Η συνάρτηση $g(x)=\ln\left({f(x)+f'(x)+\ldots+f^{(\nu-1)}(x)+f^{(\nu)}(x)}\right)-x$ , $x\in\mathbb{R}$ , είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $\left[{\alpha,\beta}\right]$ με παράγωγο

$\begin{aligned} g^{\prime}(x)&=\displaystyle{{\left({f(x)+f'(x)+\ldots+f^{(\nu-1)}(x)+f^{(\nu)}(x)}\right)^{\prime}}\over{f(x)+f'(x)+\ldots+f^{(\nu-1)}(x)+f^{(\nu)}(x)}}-\left({x}\right)^{\prime}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\displaystyle{{f'(x)+f''(x)+\ldots+f^{(\nu)}(x)+f^{(\nu+1)}(x)}\over{f(x)+f'(x)+\ldots+f^{(\nu-1)}(x)+f^{(\nu)}(x)}}-1 \end{aligned}$

και ισχύει

$\begin{aligned} g(\beta)&=\ln\left({f(\beta)+f'(\beta)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\beta)+f^{(\nu)}(\beta)}\right)-\beta\\ &{\stackrel{(1)}{=}}\ln\left({f(\alpha)+f'(\alpha)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\alpha)+f^{(\nu)}(\alpha)}\right)-\alpha\\ &=g(\alpha) \end{aligned}$

Επομένως, από το θεώρημα Rolle, προκύπτει ότι υπάρχει $\xi\in\left({\alpha,\beta}\right)$ , τέτοιος ώστε να ισχύει:

$\begin{aligned} g^{\prime}(\xi)=0\quad&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \displaystyle{{f'(\xi)+f''(\xi)+\ldots+f^{(\nu)}(\xi)+f^{(\nu+1)}(\xi)}\over{f(\xi)+f'(\xi)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\xi)+f^{(\nu)}(\xi)}}-1=0\quad&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} f'(\xi)+f''(\xi)+\ldots+f^{(\nu)}(\xi)+f^{(\nu+1)}(\xi)=f(\xi)+f'(\xi)+\ldots+f^{(\nu-1)}(\xi)+f^{(\nu)}(\xi)\quad&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} f^{(\nu+1)}\left({\xi}\right)=f\left({\xi}\right)\,.& \end{aligned}$

#3

Δεν γνωρίζω γιατί διεγράφη η παρατήρηση ότι στην συνάρτηση $g(x)=\ln\left({\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)}\right)-x$ υπάρχει θέμα με το πρόσημο του $\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)$ που πρέπει να είναι θετικό. Ίσως αντιμετωπίζεται, μιας και σε διαστήματα μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι $\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)>0$ , αλλά μια λύση που αντιμετωπίζει επαρκώς το πιθανό πρόβλημα είναι η εξής:

$\begin{aligned} \ln\left(\frac{\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\beta)}{\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\alpha)}\right)=\beta-\alpha\quad&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \frac{\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\beta)}{\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\alpha)}={\rm{e}}^{\beta-\alpha}\quad&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} {\rm{e}}^{-\beta}\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\beta)={\rm{e}}^{-\alpha}\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\alpha)\,.\quad& \end{aligned}$
Η συνάρτηση $g(x)={\rm{e}}^{-x}\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)\,, \; x\in\mathbb{R}\,,$ πληρεί τις συνθήκες του θεωρήματος Rolle και, επομένως, υπάρχει $\xi\in(\alpha,\beta)$ , έτσι ώστε

$\begin{aligned} g'(\xi)=0\quad&\Longrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} -{\rm{e}}^{-\xi}\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(\xi)+{\rm{e}}^{-\xi}\sum_{k=1}^{n+1}f^{(k)}(\xi)=0\quad&\Longrightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} {\rm{e}}^{-\xi}\,\big(f^{(n+1)}(\xi)-f(\xi)\big)=0\quad&\stackrel{{\rm{e}}^{-\xi}\neq0}{=\!=\!\Longrightarrow}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} f^{(n+1)}(\xi)=f(\xi)\,.\quad& \end{aligned}$

Ύπαρξη ξ

Ύπαρξη ξ

Re: Ύπαρξη ξ

Re: Ύπαρξη ξ

Μέλη σε σύνδεση