Υπαρξιακή

M.S.Vovos · #1

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν τα παρακάτω:

δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ .

Για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $f'(x)f''(x)\neq 0$ .

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty$ και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)=+\infty$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\alpha \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle 2f(\alpha +1)=f(\alpha )$ .

Φιλικά,
Μάριος

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Από τη 2η συνθήκη βλέπουμε ότι η πρώτη παράγωγος διατηρεί πρόσημο (λόγω του ότι είναι συνεχής).

Από την 3η συνθήκη και συγκεκριμένα από το δεύτερο όριο θα είναι τελικά {f}'(x)>0,

για κάθε $x\in R$ (μπορούμε να συμπεράνουμε το ίδιο και από το πρώτο όριο της 3ης συνθήκης).

Επίσης από τη 2η έχουμε ότι η συνάρτησή μας δεν παρουσιάζει καμπή. Εύκολα βλέπουμε από το 2ο όριο ότι θα είναι τελικά κυρτή (δεν μπορεί να πάρει ετερόσημες τιμές η δεύτερη παράγωγος από Darboux)και επομένως η f στο διάστημα (0,2)

θα βρίσκεται κάτω από τη χορδή με άκρα τα σημεία (0,f(0)),(2,0).

Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση $g(x)=2f(x+1)-f(x),x\in[0,1]$ η οποία έχει θετική παράγωγο αφού η {f}'

είναι θετική και γνησίως αύξουσα.

Από τη Jensen και το Θ.Bolzano στο [0,1]

παίρνουμε τελικά το ζητούμενο αφού τότε θα είναι $f(1)<\frac{0+f(0)}{2}$ και g(0)g(1)< 0

(είναι

αφού

γν.αύξουσα και f(2)=0

).

H μοναδικότητα προκύπτει από το γεγονός ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.

M.S.Vovos · #3

Σωστά. Αλλά χρησιμοποιηθήκαν εργαλεία που δεν είναι γνωστά στην Γ' λυκείου (θεώρημα Darboux).

Λάμπρος Κατσάπας · #4

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 15, 2017 1:11 am
Σωστά. Αλλά χρησιμοποιηθήκαν εργαλεία που δεν είναι γνωστά στην Γ' λυκείου (θεώρημα Darboux).

Καλημέρα. Ναι όντως έτσι είναι, ασχέτως αν μπορεί να αποδειχθεί με γνώσεις Γ'Λυκείου. Ούτε βέβαια η Jensen είναι σχολικό εργαλείο. Αναμένω τη δικιά σας λύση με σχολικά εργαλεία.

Ανδρέας Πούλος · #5

Αιτιολόγηση με σχολική ύλη.
Ο Λάμπρος έχει αιτιολογήσει ότι f'(x) > 0

δηλαδή ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.
Επίσης, η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα.
Από τον ορισμό της ισχύει g(1) = -f(1)

,

Αφού

σημαίνει

ή

. Όμως,

.
Αυτό σημαίνει ότι f(1) < 0

.
Άρα,

Συνεπώς, οι τιμές g(0)

,

είναι ετερόσημες. Από το θεώρημα Bolzano προκύπτει η ύπαρξη του αριθμού α στο διάστημα (0, 1)

.
Η μοναδικότητα του προκύπτει από τη μονοτονία της συνάρτησης

.

M.S.Vovos · #6

Το δύσκολο κομμάτι της άσκησης είναι να δείχνει ότι η

είναι κυρτή.

Λάμπρος Κατσάπας · #7

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2017 12:46 am
Το δύσκολο κομμάτι της άσκησης είναι να δείχνει ότι η είναι κυρτή.

Καθόλου. Η {f}'

είναι συνεχής με παράγωγο που δεν μηδενίζεται πουθενά. Επομένως είναι 1-1.

Από αυτά τα δύο παίρνουμε ότι είναι γνησίως μονότονη και μάλιστα γνησίως αύξουσα από το δεύτερο όριο.

Αυτή θεωρείται λύση με σχολική ύλη;

Υπαρξιακή

Υπαρξιακή

Re: Υπαρξιακή

Re: Υπαρξιακή

Re: Υπαρξιακή

Re: Υπαρξιακή

Re: Υπαρξιακή

Re: Υπαρξιακή

Μέλη σε σύνδεση