Εύρεση τύπου

ann79 · #1

Να βρεθεί ο τύπος της παραγωγίσιμης συνάρτησης $f:R\rightarrow R$ με $f'(x)=2-\frac{f(x)}{x}, x\neq 0$

#2

ann79 έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 22, 2017 2:17 pm
Να βρεθεί ο τύπος της παραγωγίσιμης συνάρτησης $f:R\rightarrow R$ με $f'(x)=2-\frac{f(x)}{x}, x\neq 0$

Η λύση αργότερα αν δεν απαντηθεί.

edit: Άρση απόκρυψης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ann79 έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 22, 2017 2:17 pm
Να βρεθεί ο τύπος της παραγωγίσιμης συνάρτησης $f:R\rightarrow R$ με $f'(x)=2-\frac{f(x)}{x}, x\neq 0$

Γράφεται

η $(xf(x))'=(x^{2})'$

Αρα $xf(x)=x^{2}+c,x> 0\wedge xf(x)=x^{2}+d,x< 0$

Τελικά $f(x)=x+\frac{c}{x},x>0\wedge f(x)=x+\frac{d}{x},x<0$

Συμπλήρωμα.
Προφανώς τα παραπάνω δεν συνιστούν πλήρη λύση γιατί η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού
το $\mathbb{R}$ και δεν έχει δοθεί το f(0)

.

Συμπληρώνω την λύση
Επειδή η συνάρτηση είναι παραγωγίσημη παντού θα είναι συνεχής στο

.

Αρα $f(0)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)$

Προκύπτει ότι c=d=0

οπότε είναι

$f(x)=x,x\in \mathbb{R}$

#4

ann79 έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 22, 2017 2:17 pm
Να βρεθεί ο τύπος της παραγωγίσιμης συνάρτησης $f:R\rightarrow R$ με $f'(x)=2-\frac{f(x)}{x}, x\neq 0$

Πρόκειται για άσκηση που υπάρχει παρόμοια σε πάρα πολλά βοηθήματα.

Υπόδειξη: Αφού την φέρουμε στην μορφή xf'(x)+f(x)=2x

, βλέπουμε το αριστερό μέλος ως παράγωγο μιας απλής (ποιας;)
παράστασης. Στο τέλος έχουμε να διευθετήσουμε την σταθερά.

Υπόψη, όταν αργότερα μαθαίνει κανείς Διαφορικές Εξισώσεις στο Πανεπιστήμιο, η παραπάνω περίπτωση είναι
ένα από τα πρώτα θέματα που μαθαίνει κανείς: Είναι οι εξισώσεις που λύνονται με ολοκληρωτικό παράγοντα. Εδώ
μάλιστα είναι έτοιμη για να βρει κανείς σε ένα βήμα τον ολοκληρωτικό παράγοντα.

Ο τύπος αυτός των Διαφορικών Εξισώσεων είναι από αυτές που βρίσκονται στα κοινά όρια μεταξύ
της ύλης στο (Ελληνικό) Σχολείο και το Πανεπιστήμιο.

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος. Το αφήνω.

Έχω την τάση να δίνω το περιθώριο στην ann79 να διαπραγματεύεται περισσότερο τα θέματα που ρωτά, για δικό της ώφελος.

ann79 · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 22, 2017 3:17 pm

ann79 έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 22, 2017 2:17 pm
Να βρεθεί ο τύπος της παραγωγίσιμης συνάρτησης $f:R\rightarrow R$ με $f'(x)=2-\frac{f(x)}{x}, x\neq 0$
Πρόκειται για άσκηση που υπάρχει παρόμοια σε πάρα πολλά βοηθήματα.

Υπόδειξη: Αφού την φέρουμε στην μορφή , βλέπουμε το αριστερό μέλος ως παράγωγο μιας απλής (ποιας;)
παράστασης. Στο τέλος έχουμε να διευθετήσουμε την σταθερά.

Υπόψη, όταν αργότερα μαθαίνει κανείς Διαφορικές Εξισώσεις στο Πανεπιστήμιο, η παραπάνω περίπτωση είναι
ένα από τα πρώτα θέματα που μαθαίνει κανείς: Είναι οι εξισώσεις που λύνονται με ολοκληρωτικό παράγοντα. Εδώ
μάλιστα είναι έτοιμη για να βρει κανείς σε ένα βήμα τον ολοκληρωτικό παράγοντα.

Ο τύπος αυτός των Διαφορικών Εξισώσεων είναι από αυτές που βρίσκονται στα κοινά όρια μεταξύ
της ύλης στο (Ελληνικό) Σχολείο και το Πανεπιστήμιο.

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος. Το αφήνω.

Έχω την τάση να δίνω το περιθώριο στην ann79 να διαπραγματεύεται περισσότερο τα θέματα που ρωτά, για δικό της ώφελος.

Το ότι προτείνεται μια άσκηση δεν σημαίνει ότι ο/η θεματοδότης δεν την έχει λύσει, μπορεί απλά να την προτείνει γιατί την βρίσκει καλή.
Το απότελεσμα που έχω βρει συμπίπτει με του κ.Βισβίκη.Ευχαριστώ.

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση