2.4 Ρυθμός μεταβολής, Β΄ ομάδα, άσκηση7

Athos2006 · #1

: math01.jpg (6.43 KiB) Προβλήθηκε 1221 φορές

Μία σκάλα μήκους $\displaystyle{L = 3m}$ είναι τοποθετημένη σ' έναν τοίχο. Τη χρονική στιγμή $\displaystyle{t_0}$ το κάτω μέρος της σκάλας γλυστράει στο δάπεδο με ρυθμό $\displaystyle{0.1 \frac{m}{s}}$ και η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο $\displaystyle{2.5m}$ . Γι αυτή την χρονική στιγμή να βρείτε:

i) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας $\displaystyle{\theta}$ (Σχήμα).

ii)Την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή $\displaystyle{A}$ της σκάλας.

iii) Την επιτάχυνση του κέντρου μάζας αν θεωρήσετε τη σκάλα σαν μια ομογενή δοκό, για την οποία η ροπή αδράνειας, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της, δίνεται από τη σχέση $\displaystyle{I_{cm}= \frac{1}{12} \cdot M \cdot l^2}$ , ενώ η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι $\displaystyle{g=10 \frac{m}{s^2}}$ .

Απάντηση:

Τα μεγέθη $\displaystyle{x, y, \theta}$ είναι συναρτήσεις του χρόνου, δηλαδή ισχύει $\displaystyle{x = x(t), y = y(t), \theta = \theta(t)}$ και από τα δεδομένα έχουμε:

$\displaystyle{u_A(t_0) = \frac{dy(t_0)}{dt}}$

$\displaystyle{u_B(t_0) = \frac{dx(t_0)}{dt} = 0.1 \frac{m}{s}}$

Τη χρονική στιγμή $\displaystyle{t_0}$ , που η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο $\displaystyle{2.5m}$ είναι:

$\displaystyle{y(t_0) = 2.5m}$

Όμως ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα για το ορθογώνιο τρίγωνο, οπότε:

$\displaystyle{x(t_0)^2 + y(t_0)^2 = L^2 \Rightarrow x(t_0) = \sqrt{3^2 - y(t_0)^2} \Rightarrow x(t_0) = \sqrt{2.75}m }$

$\displaystyle{cos \theta(t) = \frac{x(t)}{L} \Rightarrow x(t) = 3 \cdot συνθ(t) \Rightarrow \frac{dx}{dt} = - 3 \cdot sin \theta(t) \cdot \frac{d\theta}{dt}}$

$\displaystyle{\frac{d \theta}{dt} = - \frac{1}{3 \cdot sin \theta(t)} \cdot \frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{d \theta(t_0)}{dt} = - \frac{1}{3 \cdot sin \theta(t_0)} \cdot \frac{dx(t_0)}{dt}}$

και μετά τις αντικαταστάσεις αφού $\displaystyle{sin \theta(t_0) = \frac{y(t_0)}{L} = \frac{2.5}{3}}$

$\displaystyle{\frac{d \theta(t_o)}{dt} = - \frac{1}{25} \frac{rad}{s}}$

Πάλι για το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε το πυθαγόρειο θεώρημα, σχέση που παραγωγίζουμε ως προς το χρόνο:

$\displaystyle{x(t)^2 + y(t)^2 = L^2 \Rightarrow 2 \cdot x(t) \cdot \frac{dx}{dt} + 2 \cdot y(t) \cdot \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = - \frac{x(t)}{y(t)} \cdot \frac{dx}{dt}}$

οπότε

$\displaystyle{\frac{dy(t_0)}{dt} = - \frac{x(t_0)}{y(t_0)} \cdot \frac{dx(t_0)}{dt}}$

κα μετά τις αντικαταστάσεις

$\displaystyle{\frac{dy(t_o)}{dt} = - \frac{\sqrt{2.75}}{25} \frac{m}{s}}$

Τα προηγούμενα αποτελούν την λύση της άσκησης 7 στην ενότητα 2.4 Ρυθμός μεταβολής, και υπάρχουν στο βιβλίο του οργανισμού Μαθηματικά Γ' Γενικού Λυκείου, Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση.
Πέρα από την προσέγγιση των Μαθηματικών, υπάρχει όμως και η προσέγγιση της Φυσικής για τα πρώτα δύο ερωτήματα.

Η ράβδος λοιπόν εκτελεί σύνθετη κίνηση και μεταφορική και περιστροφική. Με τον ίδιο τρόπο κινούνται και τα άκρα της $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ . Στο σχήμα που ακολουθεί έχουν σχεδιαστεί με κόκκινα διανύσματα οι ταχύτητες $\displaystyle{u_{xcm}}$ και $\displaystyle{u_{ycm}}$ των άκρων $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ λόγω της μεταφορικής κίνησης, ενώ με μπλε διανύσματα η γραμμική ταχύτητα $\displaystyle{u_{gram}}$ και οι συνιστώσες της στους άξονες $\displaystyle{u_{xgram}}$ και $\displaystyle{u_{ygram}}$

: math05.png (65.88 KiB) Προβλήθηκε 1221 φορές

Για την γραμμική ταχύτητα γνωρίζουμε:

$\displaystyle{u_{gram} = \omega \cdot R \Rightarrow u_{gram} = \omega \cdot \frac{L}{2}}$

ενώ οι συνιστώσες της υπολογίζονται ως εξής:

$\displaystyle{cos \theta = \frac{u_{ygram}}{u_{gram}} \Rightarrow u_{ygram} = \omega \cdot \frac{L}{2} \cdot cos \theta}$

$\displaystyle{sin \theta = \frac{u_{xgram}}{u_{gram}} \Rightarrow u_{xgram} = \omega \cdot \frac{L}{2} \cdot sin \theta}$

Λόγω της γεωμετρίας του προβλήματος, για όσο χρόνο η ράβδος είναι σε επαφή με τον κατακόρυφο τοίχο, η οριζόντια συνιστώσα της συνισταμένης ταχύτητας του άκρου $\displaystyle{A}$ της ράβδου είναι μηδέν, άρα ισχύει:

$\displaystyle{u_{xcm} = \omega \cdot \frac{L}{2} \cdot sin \theta}$

$\displaystyle{u_A = u_{ycm} + \omega \cdot \frac{L}{2} \cdot cod \theta}$

ενώ λόγω της γεωμετρίας για το άκρο $\displaystyle{B}$ της ράβδου η κατακόρυφος συνιστώσα της συνισταμένης ταχύτητας είναι μηδέν άρα ισχύει:

$\displaystyle{u_{ycm} = \omega \cdot \frac{L}{2} \cdot cos \theta}$

$\displaystyle{u_B = u_{xcm} + \omega \cdot \frac{L}{2} \cdot sin \theta}$

Έχουμε έτσι ένα σύστημα τεσσάρων εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους τους $\displaystyle{u_{xcm}, u_{ycm}, \omega, u_A}$ . Οπότε αντικαθιστώντας όπου $\displaystyle{L = 3m}$ , $\displaystyle{u_B = 0.1 \frac{m}{s}}$ , $\displaystyle{sin \theta = \frac{2.5}{3}}$ και $\displaystyle{cos \theta = \frac{\sqrt{2.75}}{3}}$ έχουμε:

$\displaystyle{u_{xcm} = \omega \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2.5}{3} \Rightarrow u_{xcm} = 1.25 \cdot \omega}$

$\displaystyle{u_A = u_{ycm} + \omega \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{2.75}}{3} \Rightarrow u_A = u_{ycm} + \frac{\sqrt{2.75}}{2} \cdot \omega}$

$\displaystyle{u_{ycm} = \omega \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{2.75}}{3} \Rightarrow u_{ycm} = \frac{\sqrt{2.75}}{2} \cdot \omega }$

$\displaystyle{u_{xcm} + \omega \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2.5}{3} = 0.1 \Rightarrow u_{xcm} + 1.25 \cdot \omega = 0.1}$

Η τελευταία εξίσωση γίνεται λόγω της πρώτης

$\displaystyle{1.25 \cdot \omega + 1.25 \cdot \omega = 0.1 \Rightarrow 2.5 \cdot \omega = 0.1 \Rightarrow \omega = \frac{1}{25} \frac{rad}{s}}$

Αυτή είναι η απάντηση στο πρώτο ερώτημα, μιας και ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας $\displaystyle{ \theta}$ είναι η γωνιακή ταχύτητα $\displaystyle{ \omega}$ . Για την ακρίβεια έχει υπολογιστεί το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας. Το πρόσημο $\displaystyle{-}$ που εμφανίστηκε στην προηγούμενη λύση δηλώνει το γεγονός ότι η γωνία μικραίνει. Με γνωστό το $\displaystyle{ \omega}$ μπορούμε να υπολογίσουμε και τα υπόλοιπα:

$\displaystyle{u_{xcm} = 1.25 \cdot \frac{1}{25} = 0.03 \frac{m}{s}}$

$\displaystyle{u_{ycm} = \frac{\sqrt{2.75}}{2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{\sqrt{2.75}}{50} \frac{m}{s}}$

$\displaystyle{u_A = \frac{\sqrt{2.75}}{50} + \frac{\sqrt{2.75}}{2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{\sqrt{2.75}}{25} \frac{m}{s}}$

Πάλι το πρόσημο $\displaystyle{-}$ που εμφανίστηκε στην προηγούμενη λύση μας δίνει την κατεύθυνση της ταχύτητας του άκρου $\displaystyle{A}$ , που είναι προς την αρχή του άξονα των συντεταγμένων. Εδώ υπολογίστηκε το μέτρο της ταχύτητας του άκρου $\displaystyle{A}$ .

: math03.png (61.54 KiB) Προβλήθηκε 1221 φορές

Εάν η ράβδος είναι το σύστημά μας, τότε το περιβάλλον αποτελούν η γη, ο οριζόντιος και ο κατακόρυφος τοίχος. Οι δυνάμεις που ασκούνται έτσι στη ράβδο είναι το βάρος της που ασκείται στο κέντρο μάζας της, η κάθετη αντίδραση $\displaystyle{N_1}$ που ασκείται από τον οριζόντιο τοίχο στο άκρο $\displaystyle{B}$ και η κάθετη αντίδραση $\displaystyle{N_2}$ που ασκείται από τον κατακόρυφο τοίχο στο άκρο $\displaystyle{A}$ . (Θεωρούμε ότι δεν υπάρχει τριβή μεταξύ της ράβδου και των τοίχων).

Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για τον άξονα $\displaystyle{x}$

$\displaystyle{ΣF_x = m \cdot a_{xcm} \Rightarrow N_2 = m \cdot a_{xcm}}$

και δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για τον άξονα $\displaystyle{y}$

$\displaystyle{ΣF_y = m \cdot a_{ycm} \Rightarrow m \cdot g - N_1 = m \cdot a_{ycm}}$

η ράβδος εκτός από την μεταφορική κίνηση εκτελεί και περιστροφική γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της. Έτσι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της ράβδου είναι

$\displaystyle{Σ \tau = I \cdot a_{gon} \Rightarrow \tau_{N_1} - \tau_{N_2} = \frac{1}{12} \cdot m \cdot L^2 \cdot a_{gon} \Rightarrow N_1 \cdot \frac{L}{2} \cdot cos \theta - N_2 \cdot \frac{L}{2} \cdot sin \theta = \frac{1}{12} \cdot m \cdot L^2 \cdot a_{gon}}$

μέχρι στιγμής έχουμε τρεις εξισώσεις με πέντε αγνώστους τους $\displaystyle{N_1, N_2, a_{gon}, a_{xcm}, a_{ycm}}$ . Και η μάζα είναι άγνωστη αλλά στη συνέχεια θα απλοποιηθεί. Οι δύο εξισώσεις που απομένει να γράψουμε για να φτάσουμε σε ένα σύστημα πέντε εξισώσεων με πέντε αγνώστους, προέρχονται από τις κινήσεις που εκτελούν τα άκρα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ της ράβδου. Το άκρο $\displaystyle{A}$ όπως και όλη η ράβδος κάνει σύνθετη κίνηση και μεταφορική και περιστροφική. Έτσι εκτός των επιταχύνσεων $\displaystyle{a_{xcm}}$ και $\displaystyle{a_{ycm}}$ που αφορούν τη μεταφορική κίνηση έχει και την επιτρόχια επιτάχυνση $\displaystyle{a_{epit}}$ που αφορά στην περιστροφική κίνηση του άκρου $\displaystyle{A}$ γύρω από το κέντρο μάζας της ράβδου. Στο επόμενο σχήμα έχουμε αναλύσει αυτή την επιτάχυνση στους άξονες $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ (μπλε διανύσματα), ενώ φαίνονται και τα διανύσματα $\displaystyle{a_{xcm}}$ και $\displaystyle{a_{ycm}}$ (κόκκινα διανύσματα).

: math04.png (62.46 KiB) Προβλήθηκε 1221 φορές

$\displaystyle{a_{epit} = a_{gon} \cdot \frac{L}{2}}$

Έστω $\displaystyle{a_{xepit}}$ η οριζόντια συνιστώσα της επιτρόχιας επιτάχυνσης για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{a_{xepit} = a_{epit} \cdot sin \theta \Rightarrow a_{xepit} = a_{gon} \cdot \frac{L}{2} \cdot sin \theta}$

Επειδή η κίνηση του άκρου $\displaystyle{A}$ είναι επιταχυνόμενη κατακόρυφη κίνηση βγάζουμε το συμπέρασμα ότι η συνολική οριζόντια επιτάχυνση για το άκρο $\displaystyle{A}$ θα πρέπει να είναι μηδέν, δηλαδή:

$\displaystyle{a_{gon} \cdot \frac{L}{2} \cdot sin \theta = a_{xcm}}$

Ανάλογα ισχύουν και για την κίνηση του άκρου $\displaystyle{B}$ της ράβδου, μόνο που λόγω της επιταχυνόμενης οριζόντιας κίνησής του βγάζουμε το συμπέρασμα ότι η συνολική κατακόρυφη επιτάχυνσή του θα πρέπει να είναι μηδέν, δηλαδή:

$\displaystyle{a_{gon} \cdot \frac{L}{2} \cdot cos \theta = a_{ycm}}$

Έτσι έχουμε να λύσουμε το παρακάτω σύστημα πέντε εξισώσεων με πέντε αγνώστους

$\displaystyle{N_2 = m \cdot a_{xcm}}$

$\displaystyle{m \cdot g - N_1 = m \cdot a_{ycm}}$

$\displaystyle{N_1 \cdot \frac{L}{2} \cdot cos \theta - N_2 \cdot \frac{L}{2} \cdot sin \theta = \frac{1}{12} \cdot m \cdot L^2 \cdot a_{gon}}$

$\displaystyle{a_{gon} \cdot \frac{L}{2} \cdot sin \theta = a_{xcm}}$

$\displaystyle{a_{gon} \cdot \frac{L}{2} \cdot cos \theta = a_{ycm}}$

όπου $\displaystyle{L = 3m}$ , $\displaystyle{sin \theta = \frac{2.5}{3}}$ και $\displaystyle{cos \theta = \frac{\sqrt{2.75}}{3}}$

Θα λύσουμε τις πρώτες δύο εξισώσεις ως προς $\displaystyle{N_1}$ και $\displaystyle{N_2}$

$\displaystyle{N_1 = m \cdot g - m \cdot a_{ycm}}$

$\displaystyle{N_2 = m \cdot a_{xcm}}$

και αντικαθιστώντας στην 3η τα $\displaystyle{N_1, N_2, a_{ycm}, a_{xcm}}$ ο μόνος άγνωστος είναι η $\displaystyle{a_{gon}}$ .

και κάνοντας πράξεις, αφού χρησιμοποιήσουμε και την ταυτότητα $\displaystyle{sin^2 \theta+cos^2 \theta = 1}$ έχουμε:

$\displaystyle{a_{gon} = \frac{5}{3} \cdot \sqrt{2.75} \frac{rad}{s^2}}$

οπότε εύκολα υπολογίζουμε τις $\displaystyle{a_{xcm}}$ και $\displaystyle{a_{ycm}}$

$\displaystyle{a_{xcm} = \frac{12.5 \sqrt{2.75}}{6} \frac{m}{s^2}}$

$\displaystyle{a_{ycm} = \frac{13.75}{6} \frac{m}{s^2}}$

και τελικά η συνισταμένη των $\displaystyle{a_{xcm}}$ και $\displaystyle{a_{ycm}}$ είναι:

$\displaystyle{a_{cm} = \sqrt{a_{xcm}^2 + a_{ycm}^2} \Rightarrow a_{cm} = 2.5 \cdot \sqrt{2.75} \frac{m}{s^2}}$

`Σχετική βιβλιογραφία:`

[Variations of the Sliding Ladder Problem](http://bit.ly/2oA6p5t), Stelios Kapranidis and Reginald Koo

[The Falling Ladder Paradox](http://bit.ly/2oxjNYP), Paul Scholten, Andrew Simoson

[Sliding ladder](http://bit.ly/2ofRthq), Physics Harvard Education, Solution Week 47 (8/4/03)

[Dynamics of a sliding ladder leaning against a wall](http://bit.ly/2q2kKZk) J B Oliveira, at all

#2

Εξαιρετικά ενδιαφέρον πρόβλημα! Ευχαριστούμε για την ανάλυση και τις παραπομπές.
Προσθέτω άλλη μία:

https://1fa8b4a0-a-62cb3a1a-s-sites.goo ... edirects=0

Athos2006 · #3

Πράγματι, όπως δείχνει και η βιβλιογραφία το πρόβλημα έχει απασχολήσει Μαθηματικούς και Φυσικούς από το 1996 (The College Mathematics Journal) έως το 2015 (Physics Education). Ευχαριστώ για την παραπομπή από το ylikonet. Είναι από το 2011 και δείχνει το πόσο διαχρονικό - διαθεματικό είναι το συγκεκριμένο πρόβλημα.

2.4 Ρυθμός μεταβολής, Β΄ ομάδα, άσκηση7

2.4 Ρυθμός μεταβολής, Β΄ ομάδα, άσκηση7

Re: 2.4 Ρυθμός μεταβολής, Β΄ ομάδα, άσκηση7

Re: 2.4 Ρυθμός μεταβολής, Β΄ ομάδα, άσκηση7

Μέλη σε σύνδεση