Απ΄το σχολικό
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Απ΄το σχολικό
Σχολικό , Παρ. 2.5 , Β΄ομάδα , άσκηση 6
Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο και ισχύει για κάθε .
Αν και , να αποδείξετε ότι , εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα και .
Αποδείξτε , γενικότερα , ότι για κάθε στο .
Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο και ισχύει για κάθε .
Αν και , να αποδείξετε ότι , εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα και .
Αποδείξτε , γενικότερα , ότι για κάθε στο .
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Απ΄το σχολικό
Αν ή τότε το ζητούμενο ισχύει. Έστω Με εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής σε καθένα από τα διαστήματα και έχουμε ότι υπάρχουν και τέτοια, ώστε
και
Είναι
και
οπότε και το ζητούμενο δείχθηκε.
και
Είναι
και
οπότε και το ζητούμενο δείχθηκε.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Απ΄το σχολικό
To θέμα αυτό το είχα ζητήσει σε διαγώνισμα (το πλήρες διαγώνισμα μπορείτε να το βρείτε εδώ) πριν 10 χρόνια στο Λύκειο Ευαγγελικής.
Η διατύπωση ήταν η ακόλουθη:
ΖΗΤΗΜΑ 2
'Εστω μία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει
\displaystyle{\displaystyle{f^{\prime }\left( x\right) \leq 1x\in \left( -1,1\right)\bullet \,\,}
1) Εφαρμόζοντας το θεώρημα μέσης τιμής σε κάθε ένα από τα διαστήματα , , ή με άλλο τρόπο, να αποδείξετε ότι .
2) Nα βρείτε τη συνάρτηση .
Από τους μαθητές μου ζητούσα να γνωρίζουν ότι συναρτήσεις με μη αρνητική παράγωγο είναι αύξουσες και η λύση που τους έδωσα στο τέλος του διαγωνίσματος ήταν η ακόλουθη:
Θεωρούμε την συνάρτηση . Είναι . Αποδεικνύεται ότι αφού η είναι φθίνουσα. Η απόδειξη γίνεται με το θεώρημα μέσης τιμής όπως ακριβώς γίνεται και για την περίπτωση όπου η παράγωγος είναι αρνητική. 'Αρα για κάθε με θα είναι δηλαδή . 'Αρα γιά κάθε και επομένως είναι για κάθε .
Φυσικά η ευρηματικότητα των παιδιών απέδωσε και άλλες λύσεις
Μαυρογιάννης
Η διατύπωση ήταν η ακόλουθη:
ΖΗΤΗΜΑ 2
'Εστω μία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο και ισχύει
\displaystyle{\displaystyle{f^{\prime }\left( x\right) \leq 1x\in \left( -1,1\right)\bullet \,\,}
1) Εφαρμόζοντας το θεώρημα μέσης τιμής σε κάθε ένα από τα διαστήματα , , ή με άλλο τρόπο, να αποδείξετε ότι .
2) Nα βρείτε τη συνάρτηση .
Από τους μαθητές μου ζητούσα να γνωρίζουν ότι συναρτήσεις με μη αρνητική παράγωγο είναι αύξουσες και η λύση που τους έδωσα στο τέλος του διαγωνίσματος ήταν η ακόλουθη:
Θεωρούμε την συνάρτηση . Είναι . Αποδεικνύεται ότι αφού η είναι φθίνουσα. Η απόδειξη γίνεται με το θεώρημα μέσης τιμής όπως ακριβώς γίνεται και για την περίπτωση όπου η παράγωγος είναι αρνητική. 'Αρα για κάθε με θα είναι δηλαδή . 'Αρα γιά κάθε και επομένως είναι για κάθε .
Φυσικά η ευρηματικότητα των παιδιών απέδωσε και άλλες λύσεις
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Re: Απ΄το σχολικό
Μάλιστα μπορεί να "γενικευθεί" για οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής , με και , παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε , για κάθε . Πάντα η μόνη συνάρτηση που ικανοποιεί είναι η ταυτοτική στο κλειστό διάστημα .
Μια ωραία εφαρμογή της τεχνικής αυτής συζητήθηκε και εδώ: viewtopic.php?f=56&t=57102
Φιλικά.
Μια ωραία εφαρμογή της τεχνικής αυτής συζητήθηκε και εδώ: viewtopic.php?f=56&t=57102
Φιλικά.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες