παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

#1

Έστω συνεχής στο $\displaystyle{[a,d]}$ και $\displaystyle{a<b<c<d}$ με $\displaystyle{f(b)<f(a)<f(d)<f(c)}$ . Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{x_0}$ στο $\displaystyle{(a,d) :f''(x_0)=0}$ . Να την λύσετε με όσους πιο πολλούς τρόπους μπορείτε.
(παρατήρηση: σε κάποιες λύσεις δεν χρειάζεται η συνέχεια της $\displaystyle{f''}$ )

NikosB · #2

Μπορούμε κάνοντας ένα πρόχειρο σχήμα βάση των δεδομένων που μας δίνονται να πούμε ότι θα παρουσιάζει ελάχιστο στο f(b)

Και μέγιστο στο f(c)

Και μετά να κάνουμε Rolle στα [b,c]

???

M.S.Vovos · #3

NikosB έγραψε:Μπορούμε κάνοντας ένα πρόχειρο σχήμα βάση των δεδομένων που μας δίνονται να πούμε ότι θα παρουσιάζει ελάχιστο στο
Και μέγιστο στο
Και μετά να κάνουμε Rolle στα
???

Νίκο καλησπέρα. Να ξέρεις ότι η γραφική αναπαράσταση των δεδομένων μιας άσκησης, δεν αποτελεί σε καμία περίπτωση απόδειξη, αλλά μόνο υποβοήθηση. Ως εκ τούτου η άσκηση θα πρέπει να λυθεί μόνο με εργαλεία ανάλυσης.

Φιλικά.

nikos_el · #4

Η $\displaystyle f$ είναι συνεχής στο $\displaystyle \left [ a, b \right ]$ και παραγωγίσημη στο $\displaystyle \left ( a,b \right )$ , οπότε σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής, υπάρχει $\displaystyle \xi _1 \in \left ( a,b \right )$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle f'\left ( \xi_1 \right )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<0$ , αφού $\displaystyle f(b)<f(a)$ . Ομοίως, υπάρχει $\displaystyle \xi_2 \in (b,c)$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle f'(\xi_2)=\frac{f(c)-f(b)}{c-b}>0$ και υπάρχει $\displaystyle \xi_3 \in (c,d)$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle f'(\xi_3)=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}<0$ .
Η $\displaystyle f'$ είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη στο $\left [ \xi_1 , \xi_2\right ]$ και ισχύει $\displaystyle f'(\xi_1)\cdot f'(\xi_2)<0$ , οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει $\displaystyle x_1\in (\xi_1, \xi_2)$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle f'(x_1)=0$ . Ομοίως, υπάρχει $\displaystyle x_2 \in (\xi_2, \xi_3)$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle f'(x_2)=0$ .
H $\displaystyle f'$ είναι συνεχής στο $\displaystyle \left [ x_1 , x_2\right ]$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle(x_1 , x_2)$ και $\displaystyle f'(x_1)=f'(x_2)$ . Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle, υπάρχει $\displaystyle x_0 \in (x_1 , x_2)\subseteq (\xi_1 , \xi_3)\subseteq (a, d)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle f''(x_0)=0$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

NikosB έγραψε:Μπορούμε κάνοντας ένα πρόχειρο σχήμα βάση των δεδομένων που μας δίνονται να πούμε ότι θα παρουσιάζει ελάχιστο στο
Και μέγιστο στο
Και μετά να κάνουμε Rolle στα
???

Γεια σου Νίκο.
Προφανώς δεν μπορεί κάποιος να ισχυρισθεί ότι η

παίρνει μέγιστη τιμή στο

και ελάχιστη τιμή στο

Εκείνο που σίγουρα μπορεί να ισχυρισθεί είναι :
1)Στο

δεν παίρνει ούτε μέγιστη ούτε ελάχιστη τιμή
2)Στο

δεν παίρνει ούτε μέγιστη ούτε ελάχιστη τιμή

Αλλά αφού είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα υπάρχουν $x_{1},x_{2}$ στα οποία
παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή αντίστοιχα.

Λόγω των 1,2 έχουμε ότι $x_{1},x_{2}\in (a,d)$ οπότε $f'(x_{1})=f'(x_{2})$

Επειδή η

δεν είναι σταθερή $x_{1}\neq x_{2}$

Εφαρμόζοντας Rolle στο διάστημα με άκρα τα $x_{1},x_{2}$ για την

βρίσκουμε $\xi$ με $f''(\xi )=0$

sot arm · #6

Μία ακόμη λύση. Έστω A(a,f(a)),D(d,f(d))

η ευθεία που τα ενώνει έχει συντελεστή διεύθυνσης:
$\displaystyle{l=\frac{f(d)-f(a)}{d-a}>0}$
Και αφού διέρχεται από τα Α,Β έχει εξίσωση:
$\displaystyle{y=l(x-a)+f(a) (1)}$
Ή: $\displaystyle{y=l(x-d)+f(d) (2)}$
Θα δείξω πως η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία σε ένα σημείο με τετμημένη $\displaystyle{e|e\in(b,c)}$
Έστω: $\displaystyle{h(x)=f(x)-l(x-a)-f(a) }$ ή ισοδύναμα: $\displaystyle{h(x)=f(x)-l(x-d)-f(d)}$
Από τις δύο ισοδύναμες μορφές της ευθείας.Για την h έχω πως είναι συνεχής στο [b,c]

ως πράξη (διαφορά) συνεχών στο διάστημα αυτό συναρτήσεων. Επίσης:
$\displaystyle{h(b)=f(b)-f(a)-l(b-a)<0 , f(b)<f(a), b>a, l>0}$
$\displaystyle{h(c)=f(c)-f(d)-l(c-d)>0 , f(c)>f(d), c<d, l>0}$
πληρούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος Bolzano για την h(x) στο [b,c]

άρα υπάρχει $\displaystyle{e|e\in(b,c)}$
τέτοιο ώστε: $\displaystyle{h(e)=0 \Leftrightarrow f(e)-f(a)=l(e-a) \Leftrightarrow l=\frac{f(e)-f(a)}{e-a}} (i), \displaystyle{l=\frac{f(d)-f(e)}{d-e} (ii)}$
Από Θ.Μ.Τ για την f στα [a,e],[e,d]

σε συνδιασμό με τις (i), (ii) υπάρχουν $x_{1},x_{2}$ τέτοια ώστε:
$f'(x_{1})=f'(x_{2})=l$ , Θ. Rolle για την f' και τελειώσαμε.

NikosB · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
NikosB έγραψε:Μπορούμε κάνοντας ένα πρόχειρο σχήμα βάση των δεδομένων που μας δίνονται να πούμε ότι θα παρουσιάζει ελάχιστο στο
Και μέγιστο στο
Και μετά να κάνουμε Rolle στα
???
Γεια σου Νίκο.
Προφανώς δεν μπορεί κάποιος να ισχυρισθεί ότι η παίρνει μέγιστη τιμή στο
και ελάχιστη τιμή στο

Εκείνο που σίγουρα μπορεί να ισχυρισθεί είναι :
1)Στο δεν παίρνει ούτε μέγιστη ούτε ελάχιστη τιμή
2)Στο δεν παίρνει ούτε μέγιστη ούτε ελάχιστη τιμή

Αλλά αφού είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα υπάρχουν $x_{1},x_{2}$ στα οποία
παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή αντίστοιχα.

Λόγω των 1,2 έχουμε ότι $x_{1},x_{2}\in (a,d)$ οπότε $f'(x_{1})=f'(x_{2})$

Επειδή η δεν είναι σταθερή $x_{1}\neq x_{2}$

Εφαρμόζοντας Rolle στο διάστημα με άκρα τα $x_{1},x_{2}$ για την

βρίσκουμε $\xi$ με $f''(\xi )=0$

Ευχαριστώ για την εξήγηση

#8

Στην άσκηση αυτή θα προσπαθήσω α δειξω το γεωμετρικό περιεχόμενο καθενός απο 7 αλγεβρικούς τρόπους που συνοπτικά αναφερω παρακάτω1ος τρόπος: Με Θ.Εν.Τ και Θ.R
2ος τρόπος: Με Θ.Μ.Τ , Θ.Β , Θ.R
3ος τρόπος: Με Θ.M.T και Θ.Β
4ος τρόπος: Με Θ.max-min.T , Θ.Fermat , Θ.R
5ος τρόπος: Με Aτοπο, Θ.Μ.Τ, Μονοτονια , Θ.Β
6ος τρόπος: Με Ατοπο , Κυρτότητα , Κλίσεις
7ος τρόπος: Με Ατοπο , Κυρτότητα , συνευθειακά

Κατ αρχην κάνουμε ενα σχημα οσο πιο απλό μπορούμε με τα δεδομενα

: Clipboard010.jpg (9 KiB) Προβλήθηκε 1168 φορές

1ος τρόπος
Ζητάμε ρίζα καποιας παραγώγου
Μάλλον Rolle στην προηγούμενη να προκύψει $\displaystyle{f'(p)=f'(q)}$
Στα δεδομένα δεν υπάρχει τίποτα για την $\displaystyle{f'}$ παρα μόνο για την $\displaystyle{f}$
για να περάσουμε από την $\displaystyle{f \to f'}$ παλι Rolle ή ΘΜΤ
Για Rolle θα πρεπει να βρούμε 2 ζευγάρια ισων τιμών
Παρατηρούμε οτι η παρράλληλη από το A τεμνει ξανα την $\displaystyle{f}$ και το ίδιο συμβαίνει για το D
Αυτό οφείλεται στο Θ.Εν.Τ και για να εξασφαλίσουμε οτι τα δεύτερα σημεία τομης είναι διαφορετικά χωρίζουμε στη μεση το $\displaystyle{[f(a),f(d)]}$ οποτε πρόκειται για μη επικαλυπτόμενα διαστήματα και ετσι δεν υπάρχει κίνδυνος τα σημεία να ταυτίζονται

ΣΥΝΕΧΙΖΕΤΑΙ

2ος τρόπος

#9

Συνέχεια από πριν
2ος τρόπος
Επειδή ΘΜΤ σημαίνει οτι η κλιση της χορδής ισούται με την τιμή της παραγώγου σε καποιο σημείο ανάμεσα στα άκρα της χορδής παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\lambda_{AB}=f'(u)<0,a<u<b}$ και όμοια $\displaystyle{f'(v)>0,f'(w)<0}$ και αφού $\displaystyle{f'}$ συνεχής θα έχει 2 τουλάχιστον ρίζες
οπότε με Rolle το ζητούμενο

: Clipboard11.jpg (9.33 KiB) Προβλήθηκε 1127 φορές

3ος τρόπος
Παραλλαγή του 2ου όπου επιμείναμε στα ΘΜΤ που θα περάσουν από την $\displaystyle{f'}$ στην $\displaystyle{f''}$ στην οποία θα βρούμε δυο ετερόσημες τιμές και με ΘΒ το ζητούμενο (Η συνέχεια της $\displaystyle{f''}$ αντικαθιστά το Θ.Darboux)

#10

4ος τρόπος
Μια ματια στο σχήμα

: Clipboard11.jpg (9 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές

φαίνεται πως $\displaystyle{f}$ έχει ΜΑΧ και ΜΙΝ και πράγματι εχει ως συνεχής σε κλειστό
Αυτά δεν μπορεί να βρίσκονται στα κρα αφού $\displaystyle{f(b)<f(a) , f(c)>f(d)}$
Ετσι από το Θ.Fermat η $\displaystyle{f' }$ εχει δυο ρίζες
άρα από Rolle η $\displaystyle{f''}$ τουλάχιστο μία

5ος τρόπος
εστω οτι η $\displaystyle{f''}$ δεν αλλάζειπροσημο
τοτε η $\displaystyle{f'}$ aθα εχε το πολύ μια ρίζα $\displaystyle{r}$ στο $\displaystyle{[a,c]}$ και σταθερό πρόσημο στο $\displaystyle{[r,d]}$ που είναι $\displaystyle{>0}$ αφού $\displaystyle{f'(t)>0 ,b<t<c}$ λογω του ΘΜΤ . Ετσι $\displaystyle{f"}$ γν . αυξουσα ατοπο αφού $\displaystyle{f(c)>f(d)}$

6ος τρόπος
μπορούμε να δε'ιξουμε οτι σε κυρτή συνάρτηση στο $\displaystyle{[a,b]}$ η κλίση των χορδων με ακρο το $\displaystyle{A(a,f(a))}$ είναι αύξουσα
Εστω $\displaystyle{f'''}$ δεν αλλάζει πρόσημο ΧΒΓ $\displaystyle{f}$ κυρτή
Θετω $\displaystyle{g(x)=\frac{f(x)-f(b)}{x-b}}$

: Clipboard12.jpg (11.69 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές

παρατηρούμε οτι $\displaystyle{g(c)>g(d)}$ ατοπο aφού $\displaystyle{g}$ γν. αύξουσα

ΣΥΝΡΧΙΖΕΤΑΙ

#11

7ος τρόπος
Λόγω των $\displaystyle{f(b)<f(a)<f(d)<f(c),a<b<c<d}$ τα σημεία $\displaystyle{B,C}$ βρίσκονται εκατερωθεν της $\displaystyle{AD}$ οπότε η $\displaystyle{f}$ τέμνει την $\displaystyle{AD}$ σε κάποιο $\displaystyle{P}$ Αν δεν ισχυει το ζητούμενο υπάρχουν 3 συνευθειακά σημεία $\displaystyle{A,P,D }$ σε μια κυρτή $\displaystyle{f}$ ατοπο

παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

Re: παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

Re: παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

Re: παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

Re: παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

Re: παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

Re: παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

Re: παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

Re: παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

Re: παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

Re: παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

Μέλη σε σύνδεση