ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

paylos · #1

Δίνεται συνάρτηση $f:\left[ {0,{\rm{ 4}}} \right] \to R$ η οποία είναι συνεχής στο διάστημα $\left[ {0,{\rm{ 4}}} \right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left( {0,{\rm{ 4}}} \right)$ .

Αν η f είναι κυρτή στο $\left[ {0,{\rm{ 2}}} \right]$ και κοίλη στο $\left[ {2,{\rm{ 4}}} \right]$ να αποδείξετε ότι $f\left( 4 \right) - f\left( 0 \right) < 2\left[ {f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right)} \right]$ .

Την άσκηση την έχω δει σε κάποιο βιβλίο αλλά δεν έχω σκεφτεί μια πλήρη λύση.

#2

paylos έγραψε:Δίνεται συνάρτηση $f:\left[ {0,{\rm{ 4}}} \right] \to R$ η οποία είναι συνεχής στο διάστημα $\left[ {0,{\rm{ 4}}} \right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left( {0,{\rm{ 4}}} \right)$ .

Αν η f είναι κυρτή στο $\left[ {0,{\rm{ 2}}} \right]$ και κοίλη στο $\left[ {2,{\rm{ 4}}} \right]$ να αποδείξετε ότι $f\left( 4 \right) - f\left( 0 \right) < 2\left[ {f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right)} \right]$ .

Την άσκηση την έχω δει σε κάποιο βιβλίο αλλά δεν έχω σκεφτεί μια πλήρη λύση.

...μιά αντιμετώπιση...

Στα $\left[ 0,1 \right]$ και $\left[ 1,\text{2} \right]$ σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν ${{x}_{1}}\in (0,\,1),\,\,{{x}_{2}}\in (1,\,2)$ ώστε

${f}'({{x}_{1}})=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=f(1)-f(0)$ και ${f}'({{x}_{2}})=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=f(2)-f(1)$ και επειδή {f}'

γνήσια αύξουσα ισχύει ότι

${f}'({{x}_{1}})<{f}'({{x}_{2}})\Leftrightarrow f(1)-f(0)<f(2)-f(1)\Leftrightarrow 2f(1)-f(0)<f(2)$ (1)

Επίσης Στα $\left[ 2,3 \right]$ και $\left[ 3,4 \right]$ σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν ${{x}_{3}}\in (2,\,3),\,\,{{x}_{4}}\in (3,\,4)$ ώστε

${f}'({{x}_{3}})=\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=f(3)-f(2)$ και ${f}'({{x}_{4}})=\frac{f(4)-f(3)}{4-3}=f(4)-f(3)$ και επειδή {f}'

γνήσια φθίνουσα ισχύει ότι

${f}'({{x}_{3}})>{f}'({{x}_{4}})\Leftrightarrow f(3)-f(2)>f(4)-f(3)\Leftrightarrow 2f(3)-f(4)>f(2)$ (2)

Και από (1),(2) έχουμε ότι $2f(1)-f(0)<f(2)<2f(3)-f(4)\Leftrightarrow f(4)-f(0)<2(f(3)-f(1))$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Tolaso J Kos · #3

Βασίλη με πρόλαβες . Έγραφα μετά απο σενα ακριβώς τα ίδια .

Tolaso J Kos · #4

Βασίλη,

μήπως να συμπεριλάβουμε και την ισότητα στο τελικό αποτέλεσμα; Η συνάρτηση μπορεί να είναι κυρτή στο [0, 2]

αλλά αυτό δε σημαίνει πως δε μπορεί να είναι $f'(\xi_1) \leq f'(\xi_2)$ . Και όμοια $f'(\xi_3) \geq f'(\xi_4)$ στο [2, 4]

. Τι λες;

paylos · #5

Κώστα ευχαριστώ για τη λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Tolaso J Kos έγραψε:Βασίλη,

μήπως να συμπεριλάβουμε και την ισότητα στο τελικό αποτέλεσμα; Η συνάρτηση μπορεί να είναι κυρτή στο αλλά αυτό δε σημαίνει πως δε μπορεί να είναι $f'(\xi_1) \leq f'(\xi_2)$ . Και όμοια $f'(\xi_3) \geq f'(\xi_4)$ στο . Τι λες;

Τόλη όχι.
Στο σχολικό ορίζει σαν κυρτή την συνάρτηση με γνησίως αύξουσα παράγωγο.
Δηλαδή αντιστοιχεί στο γνήσια κυρτή με παράγωγο.
Με αυτά τα δεδομένα η ανισότητα στην άσκηση είναι γνήσια.

ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΚΟΙΛΗ

Μέλη σε σύνδεση