Ύπαρξη και ισότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω συνάρτηση

συνεχής στο $[a, \beta]$ . Αν οι πραγματικοί αριθμοί $a, \beta$ είναι ρίζες της εξίσωσης 3x^2-4008x+2009=0

τότε να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi \in (a, \beta)$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle{af\left ( \frac{2a+\beta}{3} \right )+\frac{a+\beta}{2}f\left ( \frac{a+\beta}{2} \right )+\beta f\left ( \frac{a+2\beta}{3} \right )=2004f(\xi)}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Τόλη καλημέρα. Κάπως κλασική αυτή η άσκηση.

Αν η

είναι σταθερή, έστω f(x)=c

τότε
$f\left ( \frac{2a+\beta}{3} \right )= f\left ( \frac{a+\beta}{2} \right )= f\left ( \frac{a+2\beta}{3} \right )=c$
δηλαδή

$af\left ( \frac{2a+\beta}{3} \right )+\frac{a+\beta}{2}f\left ( \frac{a+\beta}{2} \right )+\beta f\left ( \frac{a+2\beta}{3} \right )=ac+ \frac{a+\beta}{2}c +\beta c = \frac{3}{2} (a+\beta)c=\frac{3}{2}\frac{4008}{3} c= 2004 c.$
Σε αυτή την περίπτωση οποιοδήποτε $\xi \in [a,\beta ]$ ικανοποιεί τη ζητούμενη ισότητα.

Έστω η

δεν είναι σταθερή. Ως συνεχής συνάρτηση θα παίρνει στο $[a,\beta ]$ μέγιστη

και ελάχιστη

τιμή, όπου m<M.

. Ισχύουν τότε τα παρακάτω:

$\left.\begin{matrix} a+\beta =\frac{4008}{3}\\ a \beta =\frac{2009}{3} \end{matrix}\right\}\Rightarrow a,\beta >0,$
$\left.\begin{matrix} m\leq f\left ( \frac{2a+\beta}{3} \right )\leq M\\ m\leq f\left ( \frac{a+\beta}{2} \right )\leq M\\ m\leq f\left ( \frac{a+2\beta}{3} \right )\leq M \end{matrix}\right\}\Rightarrow \left.\begin{matrix} a m\leq a f\left ( \frac{2a+\beta}{3} \right )\leq a M\\ \frac{a+\beta }{2} m\leq \frac{a+\beta }{2} f\left ( \frac{a+\beta}{2} \right )\leq \frac{a+\beta }{2} M\\ \beta m\leq \beta f\left ( \frac{a+2\beta}{3} \right )\leq \beta M \end{matrix}\right\}\Rightarrow$

$m \leq \frac{a f(\frac{2 a+\beta }{3})+\frac{a+\beta }{2}f(\frac{ a+\beta }{2})+\beta f(\frac{ a+2\beta }{3})}{2004}\leq M. (1)$
Στην (1)

μπορεί να ισχύει το πολύ μια ισότητα. Αν δεν ισχύει καμία τότε από το Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και

την (1)

έχουμε ότι υπάρχει $\xi \in(a,\beta )$ για το οποίο ισχύει η προς απόδειξη ισότητα.

Αν ισχύει μια από τις δύο ισότητες, έστω η αριστερή, τότε από τις σχέσεις στις αγκύλες είναι φανερό ότι θα ισχύει

$f\left ( \frac{2a+\beta}{3} \right )=f\left ( \frac{a+\beta}{2} \right )= f\left ( \frac{a+2\beta}{3} \right )=m$
οπότε οποιοσδήποτε από τους $\frac{2a+\beta}{3},\frac{a+\beta}{2}, \frac{a+2\beta}{3}$ μπορεί να παίξει τον ρόλο

του εσωτερικού $\xi .$ Με ίδιο σκεπτικό αντιμετωπίζουμε και την περίπτωση όπου ισχύει μόνο η δεξιά ισότητα.

Tolaso J Kos · #3

Λάμπρο,

έχω την εντύπωση πως δεν χρειάζεται να διακρίνουμε περιπτώσεις αν η

σταθερή ή μη. Αντιμετωπίζονται όλα ενιαία.

Ύπαρξη και ισότητα

Ύπαρξη και ισότητα

Re: Ύπαρξη και ισότητα

Re: Ύπαρξη και ισότητα

Μέλη σε σύνδεση