Όριο στο άπειρο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9939
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Όριο στο άπειρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 24, 2017 12:28 am

Δείξτε με διάφορους τρόπους ότι \displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\left (1 + \frac {1}{x} + + \frac {1}{x^2} \right )^x= e}.

Προτιμητέος ένας τρόπος χωρίς χρήση l' Hospital.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9377
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Όριο στο άπειρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 24, 2017 9:03 am

euler.png
euler.png (12.91 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές
Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση του Μιχάλη προσεγγίζει το e από μεγαλύτερες τιμές

δηλαδή κάποια στιγμή έχει πάρει την τιμή e :!: Πότε περίπου ;


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3158
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Όριο στο άπειρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 24, 2017 9:15 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 24, 2017 12:28 am
Δείξτε με διάφορους τρόπους ότι \displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\left (1 + \frac {1}{x} + + \frac {1}{x^2} \right )^x= e}.

Προτιμητέος ένας τρόπος χωρίς χρήση l' Hospital.
Αρκεί να δείξουμε ότι \displaystyle{x \log \left ( 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right ) \rightarrow 1 }. Από τη διπλή ανισότητα ( για x>0 )
\displaystyle{\frac{x}{1+x} < \log \left ( 1 + x \right ) < x} έχουμε:
\displaystyle{\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} < \log \left ( 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right ) < \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \Rightarrow \frac{x \left ( x +1 \right )}{x^2+x+1} < x \log \left ( 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right ) < \frac{x^2+x}{x^2}} Παίρνοντας όρια και χρησιμοποιώντας το κριτήριο παρεμβολής το ζητούμενο έπεται.

Καλές γιορτές !! :santalogo: :santalogo: :mathexmastree:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο στο άπειρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 24, 2017 9:28 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 24, 2017 12:28 am
Δείξτε με διάφορους τρόπους ότι \displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\left (1 + \frac {1}{x} +  \frac {1}{x^2} \right )^x= e}.

Προτιμητέος ένας τρόπος χωρίς χρήση l' Hospital.
Θέτουμε f(x)=\left (1 + \frac {1}{x} +  \frac {1}{x^2} \right )^x}.

Είναι lnf(x)=xln(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})

Επειδή για t> 0

είναι 1-\frac{1}{t}\leq lnt\leq t-1

παίρνουμε \frac{x+1}{x(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})}\leq lnf(x)\leq x(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})

Για x\rightarrow \infty

η προηγούμενη δίνει \lim_{x\rightarrow \infty }lnf(x)=1

Λόγω της συνέχειας του λογαρίθμου έχουμε τελικά.

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=e

Συμπλ.Βλέπω ότι ο Τόλης έχει στην ουσία την ίδια λύση με εμένα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9939
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο στο άπειρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 24, 2017 11:59 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 24, 2017 12:28 am
Δείξτε με διάφορους τρόπους ότι \displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\left (1 + \frac {1}{x} + + \frac {1}{x^2} \right )^x= e}.

Προτιμητέος ένας τρόπος χωρίς χρήση l' Hospital.
Ας δούμε και μία λύση με τον απαγορευμένο l' Hospital, αλλά αργότερα θα γράψω και μία διαφορετική από τις παραπάνω, χωρίς αυτόν.

Λογαριθμίζοντας θέλουμε το όριο στο άπειρο του \displaystyle{x \ln \left (1 + \frac {1}{x}  + \frac {1}{x^2} \right )}.

Γράφοντας y=1/x ισοδύναμα θέλουμε το όριο στο 0+ του

\displaystyle{\frac {\ln (1+y+y^2)}{y}} το οποίο μέσω l' Hospital 0/0 ανάγεται στο όριο του \frac {1+2y}{1+y+y^2}, που είναι βέβαια 1. Και λοιπά.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Όριο στο άπειρο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Δεκ 25, 2017 12:45 am

Εκτός φακέλου και κλέβοντας λιγάκι...

Θεωρώ γνωστό ότι \lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e.

Έχουμε λοιπόν ότι

\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})^{x}}{(1+\frac{1}{x})^{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x})^{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }(1+\frac{1}{x^{2}+x})^{x}=
=\lim_{x\rightarrow +\infty }((1+\frac{1}{x^{2}+x})^{x^{2}+x})^{\frac{1}{x+1}} =1


επειδή η τελευταία παρένθεση εγκλωβίζεται οριακά σε μια μικρή περιοχή γύρω από το e και \frac{1}{x+1}\rightarrow 0.

Επομένως \lim_{x\rightarrow +\infty }(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})^{x}=e.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Όριο στο άπειρο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Δεκ 25, 2017 2:45 am

Μία ακόμα εκτός φακέλου και να με συγχωρείτε. Παίρνουμε n\leq x< n+1. Συμβολίζουμε a_{n}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}.

Ισχύει τότε

a_{n+1}< 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\leq a_{n}\Rightarrow

 (a_{n+1})^{n}< (1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})^{x}\leq (a_{n})^{n+1} (1)

Επίσης, εύκολα ελέγχουμε ότι

a_{n+1}< 1+\frac{1}{n}< a_{n} δηλαδή (a_{n+1})^{n}< (1+\frac{1}{n})^{n}< (a_{n})^{n}< (a_{n})^{n+1} (2)

Από (1),(2) προκύπτει η παρακάτω:

|(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})^{x}-(1+\frac{1}{n})^{n}|< (a_{n})^{n+1}-(a_{n+1})^{n} (3)

Eπίσης

(1+\frac{1}{n})^{n}< (a_{n})^{n+1}<(1+\frac{2}{n})^{n+1} \Rightarrow e\leq \lim_{n\rightarrow \infty }(a_{n})^{n+1}\leq e^{2} (4)

και

\frac{(a_{n+1})^{n}}{(a_{n})^{n+1}}\rightarrow 1 (5)(εύκολος ο υπολογισμός)

Από (4),(5) παίρνουμε

(a_{n})^{n+1}-(a_{n+1})^{n}=(a_{n})^{n+1}(1-\frac{(a_{n+1})^{n}}{(a_{n})^{n+1}})\rightarrow 0 (6)

Από (3),(6) έχουμε τελικά

|(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})^{x}-(1+\frac{1}{n})^{n}|\rightarrow 0 που μας δίνει το ζητούμενο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9939
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο στο άπειρο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 25, 2017 11:48 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 24, 2017 12:28 am
Δείξτε με διάφορους τρόπους ότι \displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\left (1 + \frac {1}{x} +  \frac {1}{x^2} \right )^x= e}.

Προτιμητέος ένας τρόπος χωρίς χρήση l' Hospital.
Αλλιώς αλλά ελαφριά εκτός φακέλου. Πάντως διορθώνεται ώστε να γίνει εντός φακέλου:

Έστω A>1 σταθερό. Είναι σαφές ότι για μεγάλα x ισχύει \displaystyle{ \frac {1}{x} +  \frac {1}{x^2} \le \frac {A}{x} } (ένας από διάφορους τρόπους να το δούμε είναι από το γεγονός ότι ισοδυναμεί με την x+1\le Ax, οπότε x \ge \frac {1}{A-1}). Έτσι για μεγάλα x είναι

\displaystyle{\left (1 + \frac {1}{x} \right )^x\le \left (1 + \frac {1}{x} +  \frac {1}{x^2} \right )^x \le \left (1 + \frac {A}{x} \right )^x}

Παίρνοντας όριο είναι

\displaystyle{ e \le \lim_{x\to \infty}\left (1 + \frac {1}{x} +  \frac {1}{x^2} \right )^x\le  e^A}

Αφού αυτή ισχύει για όλα τα A>1 έπεται (π.χ. παίρνοντας όριο A\to 1+ ) ότι \displaystyle{  \lim_{x\to \infty}\left (1 + \frac {1}{x} +  \frac {1}{x^2} \right )^x = e}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης