Συνάρτηση 1-1

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5234
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Συνάρτηση 1-1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Νοέμ 16, 2017 1:24 pm

Με κάποιον συνάδελφο τη συζητούσαμε τηλεφωνικά.

ΑΣΚΗΣΗ


Να αποδείξετε ότι κάθε συνάρτηση f με την ιδιότητα  e^{f(x)}+xf(x) =x\ln x +x , \forall x>0 είναι 1-1



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1369
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Συνάρτηση 1-1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Πέμ Νοέμ 16, 2017 3:27 pm

Θα αποδείξουμε ότι \displaystyle f\left( x \right) = \ln x για κάθε \displaystyle x > 0.

Έστω ότι υπήρχε \displaystyle t > 0 τέτοιος, ώστε \displaystyle f\left( t \right) > \ln t. Τότε, θα είχαμε ότι:

\displaystyle \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
{f\left( t \right) > \ln t \Rightarrow {e^{f\left( t \right)}} > t}\\ 
{f\left( t \right) > \ln t \Rightarrow tf\left( t \right) > t\ln t} 
\end{array}} \right\}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)} {e^{f\left( t \right)}} + tf\left( t \right) > t\ln t + t,

που είναι άτοπο. Όμοια, αν υπήρχε \displaystyle s > 0 τέτοιος, ώστε \displaystyle f\left( s \right) < \ln s τότε θα είχαμε ότι:

\displaystyle \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
{f\left( s \right) < \ln s \Rightarrow {e^{f\left( s \right)}} < s}\\ 
{f\left( s \right) < \ln s \Rightarrow sf\left( s \right) < s\ln s} 
\end{array}} \right\}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)} {e^{f\left( s \right)}} + sf\left( s \right) < s\ln s + s,

πάλι άτοπο.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συνάρτηση 1-1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Νοέμ 16, 2017 3:39 pm

Παρατηρούμε ότι, για κάθε a \in \mathbb{R} και g(x)=x \ln x + ax ισχύει ότι το g^{-1} (x) είναι μονοσύνολο για x>0. Αφού προφανώς e^{f(x)}>0 παίρνουμε f(x_1) = f(x_2) = c \implies x_1 \ln x_1 + (1-c) x_1 = x_2 \ln x_2 + (1-c) x_2 > 0 \implies x_1 = x_2


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5234
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Συνάρτηση 1-1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Νοέμ 17, 2017 12:14 am

emouroukos έγραψε:
Πέμ Νοέμ 16, 2017 3:27 pm
Θα αποδείξουμε ότι \displaystyle f\left( x \right) = \ln x για κάθε \displaystyle x > 0.

Έστω ότι υπήρχε \displaystyle t > 0 τέτοιος, ώστε \displaystyle f\left( t \right) > \ln t. Τότε, θα είχαμε ότι:

\displaystyle \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
{f\left( t \right) > \ln t \Rightarrow {e^{f\left( t \right)}} > t}\\ 
{f\left( t \right) > \ln t \Rightarrow tf\left( t \right) > t\ln t} 
\end{array}} \right\}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)} {e^{f\left( t \right)}} + tf\left( t \right) > t\ln t + t,

που είναι άτοπο. Όμοια, αν υπήρχε \displaystyle s > 0 τέτοιος, ώστε \displaystyle f\left( s \right) < \ln s τότε θα είχαμε ότι:

\displaystyle \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
{f\left( s \right) < \ln s \Rightarrow {e^{f\left( s \right)}} < s}\\ 
{f\left( s \right) < \ln s \Rightarrow sf\left( s \right) < s\ln s} 
\end{array}} \right\}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)} {e^{f\left( s \right)}} + sf\left( s \right) < s\ln s + s,

πάλι άτοπο.
Βαγγέλη, αναρωτήθηκα αν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της f (στην αρχική έκδοση η άσκηση είχε και ένα -2 στο τέλος της εκφώνησες και το έσβησα), αλλά δεν το επιχείρησα.Σκόπευα μάλιστα να εξετάσω μήπως να την έδινα παραγωγίσιμη, ώστε να γίνει πιο εύκολη. Σε ευχαριστώ πολύ που με γλύτωσες από ...μπελάδες και κάμποσο χρόνο !!!!


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1148
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Συνάρτηση 1-1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Νοέμ 17, 2017 2:28 am

Και λίγο διαφορετικά. Θα δείξουμε ότι f(x)=\ln x για κάθε x>0.
Γράφουμε τη σχέση στη μορφή \displaystyle e^{f(x)}-e^{\ln x}=x(\ln x-f(x)), οπότε αν για κάποιο a ισχύει b=f(a)\neq \ln a=c, τότε
\displaystyle{\frac{e^b-e^c}{b-c}=-a.}
Από το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει \xi ανάμεσα στα b,c ώστε το αριστερό μέλος να ισούται με e^{\xi}, άτοπο.

Εdit: Έγινε διόρθωση στο πρόσημο.
τελευταία επεξεργασία από silouan σε Παρ Νοέμ 17, 2017 1:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
kfd
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Συνάρτηση 1-1

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Παρ Νοέμ 17, 2017 7:55 am

\frac{e^{b}-e^{c}}{b-c}=-\alpha
και e^{\xi }=-\alpha
άτοπο,\alpha >0


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 605
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Συνάρτηση 1-1

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Κυρ Νοέμ 19, 2017 12:24 am

Καλησπέρα .Στο παρακάτω σημείο
dement έγραψε:
Πέμ Νοέμ 16, 2017 3:39 pm
Παρατηρούμε ότι, για κάθε a \in \mathbb{R} και g(x)=x \ln x + ax ισχύει ότι το g^{-1} (x) είναι μονοσύνολο για x>0.
πως γνωρίζουμε ότι η g είναι αντιστρέψιμη για κάθε a \in \mathbb{R}; Δημήτρη ,μπορείς λίγο να εξηγήσεις λίγο αναλυτικότερα την σκέψη σου; Ευχαριστώ εκ των προτέρων !


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συνάρτηση 1-1

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Νοέμ 19, 2017 1:24 am

Καλησπέρα Μιχάλη.

Ισχύει ότι η g είναι συνεχής και κυρτή.

(Δεν είναι αντιστρέψιμη για κανένα a \in \mathbb{R}, με το g^{-1} (x) αναφέρομαι απλώς στο σύνολο των αριθμών y με g(y) = x).

Επίσης, \displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = 0 και \displaystyle \lim_{x \to 0} g'(x) = - \infty, ενώ \displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} g'(x) = + \infty.

Αυτό σημαίνει ότι έχει μοναδικό ελάχιστο x_{min} (g (x_{min}) < 0) και μοναδική ρίζα x_0 > x_{min}. Είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, x_{min}) με g(x) < 0 για 0 < x \leqslant x_{min} και γνησίως αύξουσα στο (x_{min}, + \infty ) με f(x) > 0 για x > x_0. Έτσι προκύπτει το ζητούμενο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
maiksoul
Δημοσιεύσεις: 605
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Συνάρτηση 1-1

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Κυρ Νοέμ 19, 2017 1:32 am

Πάρα πολύ ωραία σκέψη ! Σε ευχαριστώ πολύ Δημήτρη !


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Andreas Panteris
Δημοσιεύσεις: 171
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 10:56 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συνάρτηση 1-1

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Andreas Panteris » Τρί Νοέμ 21, 2017 1:01 pm

Μία άλλη λύση από το 2ο ΓΕΛ. Ηρακλείου (Ιωάννα Κυρέζη)


{{e}^{f\left( x \right)}}+xf\left( x \right)=x\ln x+x\overset{\left( x>0 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\frac{{{e}^{f\left( x \right)}}}{x}+f\left( x \right)=\ln x+1\Leftrightarrow \frac{{{e}^{f\left( x \right)}}}{{{e}^{\ln x}}}+f\left( x \right)=\ln x+1\Leftrightarrow

{{e}^{f\left( x \right)-\ln x}}+f\left( x \right)-\ln x-1=0 \left( 1 \right)

Θεωρούμε τη συνάρτηση g\left( x \right)={{e}^{x}}+x-1 η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R} άρα και ''1-1'' με g\left( 0 \right)={{e}^{0}}-1=0

Η \left( 1 \right) γράφεται:

g\left( f\left( x \right)-\ln x \right)=g\left( 0 \right)\overset{\left( g:''1-1'' \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,f\left( x \right)-\ln x=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=\ln x


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης