Ανισότητα

BAGGP93 · #1

Έστωσαν οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f\,,g:\left[a,b\right]\to \left(0,+\infty\right)}$ με $\displaystyle{f(x)<g(x)\,,\forall\,x\in\left[a,b\right]}$ .

Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{c>1}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{c\,f(x)\leq g(x)\,,\forall\,x\in\left[a,b\right]}$ .

#2

BAGGP93 έγραψε:Έστωσαν οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f\,,g:\left[a,b\right]\to \left(0,+\infty\right)}$ με $\displaystyle{f(x)<g(x)\,,\forall\,x\in\left[a,b\right]}$ .

Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{c>1}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{c\,f(x)\leq g(x)\,,\forall\,x\in\left[a,b\right]}$ .

Η συνάρτηση $h: [a,b]\to \mathbb{R}$ με $h(x):=\dfrac{g(x)}{f(x)}$ είναι καλώς ορισμένη, συνεχής ως πηλίκο συνεχών με h(x)>1

για κάθε $x\in [a,b].$

Λόγω συνέχειας παρουσιάζει ελάχιστο $c=h(\xi)>1$ σε κάποιο σημείο $\xi \in [a,b].$

Το συμπέρασμα έπεται.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

BAGGP93 έγραψε:Έστωσαν οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f\,,g:\left[a,b\right]\to \left(0,+\infty\right)}$ με $\displaystyle{f(x)<g(x)\,,\forall\,x\in\left[a,b\right]}$ .

Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{c>1}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{c\,f(x)\leq g(x)\,,\forall\,x\in\left[a,b\right]}$ .

Αλλιώς (αν και στην πραγματικότητα δεν πρόκειται για άλλη λύση αλλά παραλλαγή της λύσης του Αχιλλέα).

Η μόνη διαφορά είναι ότι επιτρέπεται η

να παίρνει την τιμή

ή και αρνητικές. Συγκεκριμένα, αν η

έπαιρνε μόνο τιμές $\le 0$ , το αποτέλεσμα είναι άμεσο. Οπότε ας υποθέσουμε ότι παίρνει και κάποια θετική τιμή. Τότε:

Αφού η g-f

είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα, έχει ελάχιστη τιμή m=g(x_0)-f(x_0) >0

. Αντίστοιχα η

έχει μέγιστη τιμή M=f(x_1) >0

. 'Αρα για κάθε

$\displaystyle{ g(x) - f(x) \ge m > \frac {M}{M+1} m= \frac {m}{M+1} M \ge \frac {m}{M+1} f(x)}$ .

Τελικά $\displaystyle{ g(x) \ge \left ( 1+ \frac {m}{M+1}\right ) f(x).}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

BAGGP93 έγραψε:Έστωσαν οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f\,,g:\left[a,b\right]\to \left(0,+\infty\right)}$ με $\displaystyle{f(x)<g(x)\,,\forall\,x\in\left[a,b\right]}$ .

Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{c>1}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{c\,f(x)\leq g(x)\,,\forall\,x\in\left[a,b\right]}$ .

Οι προυποθέσεις μπορούν να εξασθενήσουν και το συμπέρασμα να ενισχυθεί.
Συγκεκριμένα.
Αν $f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχείς και

$x\in [a,b]\Rightarrow g(x)> f(x)$

τότε υπάρχει c> 1

ώστε $x\in [a,b]\Rightarrow g(x)>c f(x)$

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Οι προυποθέσεις μπορούν να εξασθενήσουν και το συμπέρασμα να ενισχυθεί.
Συγκεκριμένα.
Αν $f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχείς και

$x\in [a,b]\Rightarrow g(x)> f(x)$

τότε υπάρχει

ώστε $x\in [a,b]\Rightarrow g(x)>c f(x)$

Σωστά.

Η απόδειξη που έδωσα παραπάνω καλύπτει και το γενικότερο. (Στο τελευταίο βήμα γράφω ανισότητα $\ge$ αλλά θα μπορούσα να είχα γράψει

).

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση