Ασκηση 3

#1

Αν ο μιγαδικός

ικανοποιεί την σχέση $(z+\tfrac{1}{z})(z+\tfrac{1}{z}+1)=1$ ,
να βρεθεί η τιμή της παράστασης $(3z^{100}+\tfrac{2}{z^{100}}+1)(z^{100}+\tfrac{2}{z^{100}}+3)$ .

maiksoul · #2

Νομίζω η απάντηση είναι :

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

maiksoul · #3

xr.tsif έγραψε:Αν ο μιγαδικός ικανοποιεί την σχέση $(z+\tfrac{1}{z})(z+\tfrac{1}{z}+1)=1$ ,
να βρεθεί η τιμή της παράστασης $(3z^{100}+\tfrac{2}{z^{100}}+1)(z^{100}+\tfrac{2}{z^{100}}+3)$ .

Η αρχική ισότητα μας δίνει ότι: $\displaystyle{ z + \frac{1}{z} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\,\,\,(*)\, }$ ,όμως $\displaystyle{ \,\left| {\frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\,} \right| \prec 2\, \Rightarrow z \notin \Re }$
έτσι
$\displaystyle{ (*) \Leftrightarrow z^2 - \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\,z + 1 = 0\,\,(1)\, }$
επομένως ο

είναι ρίζα της εξίσωσης: $\displaystyle{ t^2 - \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\,t + 1 = 0 }$
οπότε
$\displaystyle{ \,\,\left| z \right| = 1\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,\,\overline z = \frac{1}{z}\,\, }$
Eπομένως προκύπτουν:
$\displaystyle{ (*) \Leftrightarrow \,\,\, \bullet z + \overline z \, = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,(2) }$
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \bullet z^2 + \overline z ^2 = (z + \overline z \,)^2 - 2 = \frac{{ - 1 \mp \sqrt 5 }}{2}\,\, \\ \bullet z^4 + \overline z ^4 = (z^2 + \overline z ^2 )^2 - 2 = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2} \\ \end{array} }$
έχουμε:

$\displaystyle{ (z + \overline z \,)(z^4 + \overline z ^4 ) = z^5 + \overline z ^5 + z^3 + \overline z ^3 \Leftrightarrow z^5 + \overline z ^5 = (z + \overline z \,)[(z^4 + \overline z ^4 ) - (z^2 + \overline z ^2 ) + 1]\,\,(3)\, }$

και αντικαθιστώντας τα παραπάνω :
$\displaystyle{ z^5 + \overline z ^5 = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 \,}}{2}\,\,[\,\,\frac{{\, - 1 \pm \sqrt 5 \,}}{2} - \frac{{\, - 1 \mp \sqrt 5 \,}}{2} + 1\,\,] = \frac{{\, - 1\,\, \pm \,\,\sqrt 5 \,\,\,}}{2}(\,\,1\,\, \pm \,\,\sqrt 5 \,\,) = 2\,\, }$
Όμως $\displaystyle{ z^5 \overline z ^5 = 1 }$ άρα αμέσως $\displaystyle{ z^5 = 1 }$ .

Επομένως $\displaystyle{ \,\,z^{100} = (z^5 )^{20} = 1\,\,\, }$ από όπου έπεται πως η παράσταση ισούται με

.

Ελπίζω οι πράξεις μου να είναι σωστές

Andreas Panteris · #4

Αγαπητοί Συνάδελφοι Καλημέρα

Η λύση του Μιχάλη μου έδωσε ιδέα

Είναι $\displaystyle{\left( z+\frac{1}{z} \right)\left( z+\frac{1}{z}+1 \right)=1\Leftrightarrow \frac{{{z}^{2}}+1}{z}\cdot \frac{{{z}^{2}}+z+1}{z}=1\Leftrightarrow ({{z}^{2}}+1)({{z}^{2}}+z+1)={{z}^{2}}\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow {{z}^{4}}+{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+{{z}^{2}}+z+1={{z}^{2}}\Leftrightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{{{z}^{4}}+{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+z+1=0\text{ }\underset{\left( * \right)}{\overset{\left( z\ne 1 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}}\,\text{ }}} $\displaystyle{(z-1)({{z}^{4}}+{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+z+1)=0\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{{z}^{5}}-1=0\Leftrightarrow {{z}^{5}}=1}$ , άρα $\displaystyle{{{z}^{100}}={{({{z}^{5}})}^{20}}=1}$ , οπότε:

$\displaystyle{\left( 3{{z}^{100}}+\frac{2}{{{z}^{100}}}+1 \right)\cdot }$ $\displaystyle{\left( {{z}^{100}}+\frac{2}{{{z}^{100}}}+3 \right)\cdot =6\cdot 6=36}$

$\displaystyle{\left( * \right)}$ Αν $\displaystyle{z=1}$ η δοθείσα γράφεται: $\displaystyle{\left( 1+\frac{1}{1} \right)\left( 1+\frac{1}{1}+1 \right)=1\Leftrightarrow 6=1}$ (άτοπο)

#5

Ανδρέα αυτή είναι και η λύση μου.
Ειδικά εκεί που πολλαπλασιάζεις με z-1

πολλαπλασιάζω με

και καταλήγουμε στο ίδιο.
Εάν z=1

προκύπτει

άτοπο.

maiksoul · #6

Ανδρέα και Χρήστο...

πολύ ωραίες σκέψεις και ...ωραία άσκηση!

Ασκηση 3

Ασκηση 3

Re: Ασκηση 3

Re: Ασκηση 3

Re: Ασκηση 3

Re: Ασκηση 3

Re: Ασκηση 3

Μέλη σε σύνδεση