Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Απάντηση
landreou
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Δευ Δεκ 24, 2012 9:18 am

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από landreou » Τρί Οκτ 29, 2013 9:50 am

Για την άσκηση 5.201 σελίδα 12 .


Κορυφή
nikoszan
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Τρί Οκτ 29, 2013 10:47 am

Εξαιρετική συλλογή! :clap2:
N.Z.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Paolos
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Παρ Δεκ 28, 2012 9:57 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Paolos

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Paolos » Τρί Οκτ 29, 2013 11:46 am

Ίσως το μετατρέψουμε σε υπερ-αρχείο λύνοντας εδω μέσα όλες τις ασκήσεις!


\sqrt{{{\mathsf{(\Pi \alpha \acute{\upsilon} \lambda o\varsigma )}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{+(\ T \rho \acute{\upsilon} \varphi \omega \nu }{{\mathsf{)}}^{\mathsf{2}}}}
Κορυφή
kochris
Δημοσιεύσεις: 92
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 3:37 pm
Τοποθεσία: Bόλος

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kochris » Τρί Οκτ 29, 2013 1:57 pm

Paolos έγραψε:Ίσως το μετατρέψουμε σε υπερ-αρχείο λύνοντας εδω μέσα όλες τις ασκήσεις!
Ωραία ιδέα


Κορυφή
landreou
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Δευ Δεκ 24, 2012 9:18 am

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από landreou » Τετ Οκτ 30, 2013 9:29 am

Για την άσκηση 5.201 σελίδα 12 . Με ταλαιπωρεί ημέρες μιλάμε .


Κορυφή
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2004
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Οκτ 30, 2013 11:41 am

βρίσκεις το \left|w \right| το αντικαθιστάς στο κλάσμα και πραξούλες


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Paolos
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Παρ Δεκ 28, 2012 9:57 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Paolos

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Paolos » Τετ Οκτ 30, 2013 11:53 am

landreou έγραψε:Για την άσκηση 5.201 σελίδα 12 . Με ταλαιπωρεί ημέρες μιλάμε .
Καλημέρα landreou

ΕΚΦΩΝΗΣΗ

\displaystyle{z,w \in \,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,w = \frac{z}{{1 + \left| z \right|}} \Rightarrow z = \frac{w}{{1 - \left| w \right|}}}

ΛΥΣΗ


\displaystyle{w = \frac{z}{{1 + \left| z \right|}} \Rightarrow \left| w \right| = \left| {\frac{z}{{1 + \left| z \right|}}} \right| \Rightarrow \left| w \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| {1 + \left| z \right|} \right|}} \Rightarrow \left| w \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{1 + \left| z \right|}}}.

Άρα
\displaystyle{\frac{w}{{1 - \left| w \right|}} = \frac{{\frac{z}{{1 + \left| z \right|}}}}{{1 - \frac{{\left| z \right|}}{{1 + \left| z \right|}}}} = \frac{{\frac{z}{{1 + \left| z \right|}}}}{{\frac{{1 + \left| z \right| - \left| z \right|}}{{1 + \left| z \right|}}}} = z}
τελευταία επεξεργασία από Paolos σε Τετ Οκτ 30, 2013 1:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\sqrt{{{\mathsf{(\Pi \alpha \acute{\upsilon} \lambda o\varsigma )}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{+(\ T \rho \acute{\upsilon} \varphi \omega \nu }{{\mathsf{)}}^{\mathsf{2}}}}
Κορυφή
landreou
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Δευ Δεκ 24, 2012 9:18 am

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από landreou » Τετ Οκτ 30, 2013 12:44 pm

Φίλε Paolos σε ευχαριστώ . Μιλάμε είμαι α-π-α-ρ-ά-δ-ε-χ-τ-ο-ς . Κρίμα και πάλι κρίμα .

Ευχαριστώ επίσης και τον φίλο Kochris όπως καί όλους τους φίλους του forum για την όποια βοήθεια.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Paolos
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Παρ Δεκ 28, 2012 9:57 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Paolos

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Paolos » Τετ Οκτ 30, 2013 1:07 pm

landreou έγραψε:Φίλε Paolos σε ευχαριστώ . Μιλάμε είμαι α-π-α-ρ-ά-δ-ε-χ-τ-ο-ς . Κρίμα και πάλι κρίμα .

Ευχαριστώ επίσης και τον φίλο Kochris όπως καί όλους τους φίλους του forum για την όποια βοήθεια.
Συμβαίνει να "κολλάμε" σε κάποιες ασκήσεις. Το χουμε πάθει όλοι :)
Καλημέρα και πάλι.


\sqrt{{{\mathsf{(\Pi \alpha \acute{\upsilon} \lambda o\varsigma )}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{+(\ T \rho \acute{\upsilon} \varphi \omega \nu }{{\mathsf{)}}^{\mathsf{2}}}}
Κορυφή
landreou
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Δευ Δεκ 24, 2012 9:18 am

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#50

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από landreou » Τετ Οκτ 30, 2013 2:08 pm

Από την 5.219 τις (ε) και (ζ) σελίδα 13
( Ερώτηση : στη (ζ) τη δεύτερη συνθηκη με τις δυνάμεις 2012 και 1000 τη θέλει για να βρεί ποιες απο τις λύσεις που βρίσκουμε την επαληθεύει και άρα είναι και δεκτες ; )


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Paolos
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Παρ Δεκ 28, 2012 9:57 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Paolos

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#51

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Paolos » Τετ Οκτ 30, 2013 11:11 pm

5.219 (ε)

ΕΚΦΩΝΗΣΗ

Να βρείτε τον μιγαδικό \displaystyle{z} αν ισχύει \displaystyle{\left| z \right|=1} και \displaystyle{\left| {{z}^{2}}+{{{\bar{z}}}^{2}}+{{z}^{2}}\bar{z}+z{{{\bar{z}}}^{2}}-4 \right|=6}.

ΛΥΣΗ

\displaystyle{\left| \left( {{z}^{2}}+{{{\bar{z}}}^{2}} \right)+{{z}^{2}}\bar{z}+z{{{\bar{z}}}^{2}}-4 \right|=6}
\displaystyle{\left| \left( {{\left( z+\bar{z} \right)}^{2}}-2z\bar{z} \right)+z\bar{z}(z+\bar{z})-4 \right|=6\,\,\,\,\,\,(1)}.
Αν \displaystyle{z=x+yi} τότε από τη σχέση \displaystyle{\left| z \right|=1\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\,\,\,\,\,(2)}
ενώ από τη σχέση \displaystyle{(1)\Rightarrow }\displaystyle{\displaystyle{\left| \left( {{\left( 2x \right)}^{2}}-2({{x}^{2}}+{{y}^{2}}) \right)+({{x}^{2}}+{{y}^{2}})2x-4 \right|=6\,\,\,\,\,\,} \displaystyle{\overset{(2)}{\mathop{\Rightarrow }}\,}}\displaystyle{\left| 4{{x}^{2}}-2+2x-4 \right|=6\Rightarrow \,\,\,\,\,\,}\displaystyle{\,\,\left| 2{{x}^{2}}+x-3 \right|=3\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ 2{{x}^{2}}+x-3=3\,\,\,\,\,\,2{{x}^{2}}+x-3=-3\, \right\}\Rightarrow \left\{ x=0\,\,\,\,\,\,\,x=-1/2\,\,\,\,x=-2\,\,\,\,x=3/2 \right\}}
Λόγω της σχέσης \displaystyle{(2)} οι τιμές \displaystyle{\,\left\{ \,x=-2\,\,\,\,x=3/2 \right\}} απορρίπτονται.
Για \displaystyle{x=0\Rightarrow y=\pm 1}.
Για \displaystyle{x=-1/2\Rightarrow y=\pm \sqrt{3}/2}.
Άρα οι λύσεις του προβλήματος είναι:
\displaystyle{{{z}_{1}}=i\,\,,\,\,{{z}_{2}}=-i\,\,,\,\,{{z}_{3}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\,\,,\,\,{{z}_{4}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}.


\sqrt{{{\mathsf{(\Pi \alpha \acute{\upsilon} \lambda o\varsigma )}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{+(\ T \rho \acute{\upsilon} \varphi \omega \nu }{{\mathsf{)}}^{\mathsf{2}}}}
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Paolos
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Παρ Δεκ 28, 2012 9:57 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Paolos

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#52

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Paolos » Τετ Οκτ 30, 2013 11:12 pm

5.219 (ζ)

ΕΚΦΩΝΗΣΗ

Να βρείτε τον μιγαδικό \displaystyle{z} αν ισχύει \displaystyle{(i\left| z \right|-3i)({{z}^{2}}-z)=3i+{{z}^{3}}-{{z}^{2}}+z-i\left| z \right|}
και \displaystyle{{{z}^{2012}}+{{z}^{1000}}+1=0}.

ΛΥΣΗ

\displaystyle{(i\left| z \right|-3i)({{z}^{2}}-z)=3i+{{z}^{3}}-{{z}^{2}}+z-i\left| z \right|}
\displaystyle{(i\left| z \right|-3i)({{z}^{2}}-z)-3i-{{z}^{3}}+{{z}^{2}}-z+i\left| z \right|=0}
\displaystyle{(i\left| z \right|-3i)({{z}^{2}}-z)+(i\left| z \right|-3i)-{{z}^{3}}+{{z}^{2}}-z=0}
\displaystyle{(i\left| z \right|-3i)({{z}^{2}}-z+1)-z({{z}^{2}}-{{z}^{2}}+1)=0}
\displaystyle{({{z}^{2}}-z+1)(i\left| z \right|-3i-z)=0}
\displaystyle{{{z}^{2}}-z+1=0\,\,\,\,\,\,\,i\left| z \right|-3i-z=0}
\displaystyle{{{z}^{3}}=-1} ή \displaystyle{\,i\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=3i+x+yi=0}
\displaystyle{{{z}^{3}}=-1} ή \displaystyle{\,i\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=(3+y)i+x}
\displaystyle{{{z}^{3}}=-1} ή \displaystyle{\,i\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=(3+y)i+x}
\displaystyle{{{z}^{3}}=-1} ή \displaystyle{x=0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left| y \right|=3+y}
\displaystyle{{{z}^{3}}=-1} ή \displaystyle{x=0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y=-3/2}
\displaystyle{{{z}^{3}}=-1} ή \displaystyle{z=\left( -3/2 \right)i}.
Όμως ισχύει και η σχέση \displaystyle{{{z}^{2012}}+{{z}^{1000}}+1=0}.

Έχουμε για την περίπτωση που \displaystyle{{{z}^{3}}=-1}:
\displaystyle{{{z}^{2012}}+{{z}^{1000}}+1={{\left( {{z}^{3}} \right)}^{670}}\cdot {{z}^{2}}+{{\left( {{z}^{3}} \right)}^{333}}\cdot z+1={{\left( -1 \right)}^{670}}\cdot {{z}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{333}}\cdot z+1={{z}^{2}}-z+1=0}.

Επίσης ο μιγαδικός \displaystyle{z=\left( -3/2 \right)i} δεν ικανοποιεί τη σχέση \displaystyle{{{z}^{2012}}+{{z}^{1000}}+1=0}, αφού προκύπτει \displaystyle{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2012}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{1000}}+1=0}.
Τελικά οι λύσεις είναι οι ρίζες της \displaystyle{{{z}^{2}}-z+1}, δηλ \displaystyle{z=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}}.
τελευταία επεξεργασία από Paolos σε Πέμ Οκτ 31, 2013 12:03 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\sqrt{{{\mathsf{(\Pi \alpha \acute{\upsilon} \lambda o\varsigma )}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{+(\ T \rho \acute{\upsilon} \varphi \omega \nu }{{\mathsf{)}}^{\mathsf{2}}}}
Κορυφή
landreou
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Δευ Δεκ 24, 2012 9:18 am

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#53

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από landreou » Τετ Οκτ 30, 2013 11:49 pm

Δεν δίνει και ακόμα μία σχέση για την άσκηση που έχει δυνάμεις 2012 και 1000;
Μήπως εννοεί και άλλο ερώτημα πχ στ ξεχωριστό ;


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Paolos
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Παρ Δεκ 28, 2012 9:57 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Paolos

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#54

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Paolos » Πέμ Οκτ 31, 2013 12:05 am

Exεις δίκιο, το διόρθωσα.
Την επιπλέον συνθήκη στην δίνει για να απορίψεις μια λύση.


\sqrt{{{\mathsf{(\Pi \alpha \acute{\upsilon} \lambda o\varsigma )}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{+(\ T \rho \acute{\upsilon} \varphi \omega \nu }{{\mathsf{)}}^{\mathsf{2}}}}
Κορυφή
landreou
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Δευ Δεκ 24, 2012 9:18 am

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#55

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από landreou » Πέμ Οκτ 31, 2013 10:12 am

Δεν μπόρεσα να καταλάβω πως περνάμε στιη ταυτότητα με τον κύβο για το z στη γραμμή 7 της λύσης .


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Paolos
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Παρ Δεκ 28, 2012 9:57 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Paolos

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#56

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Paolos » Πέμ Οκτ 31, 2013 10:18 am

Καλημέρα.

Πολλαπλασιάζουμε τη σχέση \displaystyle{{z^2} - z + 1 = 0} με το \displaystyle{z + 1} και έχουμε:
\displaystyle{{z^2} - z + 1 = 0}
\displaystyle{(z + 1)({z^2} - z + 1) = 0}
\displaystyle{{z^3} + 1 = 0}
\displaystyle{{z^3} = - 1}


\sqrt{{{\mathsf{(\Pi \alpha \acute{\upsilon} \lambda o\varsigma )}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{+(\ T \rho \acute{\upsilon} \varphi \omega \nu }{{\mathsf{)}}^{\mathsf{2}}}}
Κορυφή
landreou
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Δευ Δεκ 24, 2012 9:18 am

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#57

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από landreou » Πέμ Οκτ 31, 2013 10:26 am

Νόμιζα ότι δε μπορουσαμε να το κάνουμε αυτό . Θα την έχω υπόψιν μου πάντως .


Κορυφή
landreou
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Δευ Δεκ 24, 2012 9:18 am

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#58

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από landreou » Πέμ Οκτ 31, 2013 11:21 am

Για την 5.220 (α) ( σε αυτή βγάζω κάτι αποτελέσματα με ριζες εις τη πεμπτη και μου φαίνεται κάνω λάθος )
και η 5.220 (β) που δε ξέρω πως να τη ξεκινήσω ( μου φαινεται για πολύ καλή αυτή )
Και τα δύο σελίδα 13 του φυλλαδίου .


Κορυφή
kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#59

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Πέμ Οκτ 31, 2013 12:07 pm

landreou έγραψε:Για την 5.220 (α) ( σε αυτή βγάζω κάτι αποτελέσματα με ριζες εις τη πεμπτη και μου φαίνεται κάνω λάθος )
και η 5.220 (β) που δε ξέρω πως να τη ξεκινήσω ( μου φαινεται για πολύ καλή αυτή )
Και τα δύο σελίδα 13 του φυλλαδίου .
Στο (α) πάρε συζυγή και αφαίρεσε κατά μέλη...

Στο (β) κάνε απαλοιφή παρονομαστών (λάβε υπόψιν σου ότι z\bar{z}=|z|^2) και παραγοντοποίησε...


Κώστας Ζερβός
Κορυφή
landreou
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Δευ Δεκ 24, 2012 9:18 am

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

#60

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από landreou » Πέμ Οκτ 31, 2013 12:14 pm

Να πάρω συζυγή ; Δε κατάλαβα .....


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες