Παραγοντοποίηση 2

AlexandrosG · #1

Να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυμο x^5-9x-27

.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mtsarduckas · #3

ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ λύση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

καλημέρα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

Εύκολα βλέπουμε ότι το πολυώνυμο δεν έχει ακέραιες ρίζες.
Έτσι, αν το πολυώνυμο παραγοντοποείται, τότε θα μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο

(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)

,

με $a,b,c,d,e \in \mathbb{Z}$ (από το Λήμμα Gauss), τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις

(1) a+c=0

(2)

(3)

(4)

(5)

Από (1), (2) έπεται ότι a^2=b+d

. (6)

Από (1), (3) έπεται ότι c(b-d)=-e

, οπότε

που σε συνδυασμό με τις (2) και (4) μας δίνει

(d+b)(d-b)=bd+9

,

δηλαδή

d^2-bd-(b^2+9)=0

.

Η εξίσωση αυτή έχει ακέραιες, αν η διακρίνουσα της D=5b^2+36

είναι τέλειο τεράγωνο.

Οι δυνατές τιμές του b^2

, λόγω της (5), είναι 1, 9, 81, 27^2. Από αυτές δεκτές γίνονται μόνο οι b^2=9

και

, που μας δίνουν D=9^2

και

, αντίστοιχα.

Τα ζεύγη (b,d)

που παίρνουμε είναι

(3,6)

,

,

από τα οποία μόνο το πρώτο ζεύγος γίνεται δεκτό λόγω της (6). Επίσης, λόγω του οτι $a\ne 0$ , διαφορετικά θα είναι e=0

, άτοπο.

Η (5) μας δίνει e=-9

.
Η (4) μας δίνει a=3

.
Η (1) μας δίνει c=-3

.

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#6

achilleas έγραψε:Εύκολα βλέπουμε ότι το πολυώνυμο δεν έχει ακέραιες ρίζες.
Έτσι, αν το πολυώνυμο παραγοντοποείται, τότε θα μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο

,

με $a,b,c,d,e \in \mathbb{Z}$ (από το Λήμμα Gauss), τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

Από (1), (2) έπεται ότι . (6)

Από (1), (3) έπεται ότι , οπότε που σε συνδυασμό με τις (2) και (4) μας δίνει

,

δηλαδή

.

Η εξίσωση αυτή έχει ακέραιες, αν η διακρίνουσα της είναι τέλειο τεράγωνο.

Οι δυνατές τιμές του , λόγω της (5), είναι 1, 9, 81, 27^2. Από αυτές δεκτές γίνονται μόνο οι και , που μας δίνουν και , αντίστοιχα.

Τα ζεύγη που παίρνουμε είναι

, , , , , , , ,

από τα οποία μόνο το πρώτο ζεύγος γίνεται δεκτό λόγω της (6).

Η (5) μας δίνει .
Η (4) μας δίνει .
Η (1) μας δίνει .

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μπράβο Αχιλλέα, για το κουράγιο σου να γράψεις τη λύση

.

#7

achilleas έγραψε:Εύκολα βλέπουμε...
.
.
.
Αχιλλέας

Αχιλλέα σε ευχαριστώ πολύ

Α.Κυριακόπουλος · #8

mtsarduckas έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$(\sqrt{x(x^4-9)}-3)((\sqrt{x(x^4-9)})^2+3\sqrt{x(x^4-9)}+3)}$

Όταν λέμε ένα πολυώνυμο να αναλυθεί σε γινόμενο παραγόντων, εννοούμε οι παράγοντες να είναι πολυώνυμα. Αυτά που έχετε γράψει στην απόκρυψη κειμένου δεν είναι πολυώνυμα!!!

mtsarduckas · #9

Σας ευχαριστώ ιδιαιτέρως για την παρατήρηση!

#10

Νομίζω ότι μάλλον ελλειπής είναι η εκφώνηση παρά η λύση του mtsarduckas. Γιατί στην εκφώνηση δεν λέει καν να γραφεί σε γινόμενο παραγόντων. Λέει να παραγοντοιηθεί !! Θα έπρεπε να αναφέρεται σε πιο σώμα θέλουμε την παραγοντοποιήση. Δηλαδή για παράδειγμα : Να γραφεί σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων στο Z[x]

το πολυώνυμο x^5-9x-27

chris · #11

Βασικά συμφωνώ με τον Σιλουανό.Το να γράψουμε απλώς να παραγωντοποιηθεί μία παράσταση είναι σχετικά ασαφές αφού ο καθένας θα μπορούσε να το εκλάβει διαφορετικά.Με αυτή τη λογική η σκέψη του mtsarduckas κρίνεται ορθή.(Ωραία λύση Αχιλλέα)

Φιλικά Χρήστος

Α.Κυριακόπουλος · #12

smar έγραψε:Νομίζω ότι μάλλον ελλειπής είναι η εκφώνηση παρά η λύση του mtsarduckas. Γιατί στην εκφώνηση δεν λέει καν να γραφεί σε γινόμενο παραγόντων. Λέει να παραγοντοιηθεί !! Θα έπρεπε να αναφέρεται σε πιο σώμα θέλουμε την παραγοντοποιήση. Δηλαδή για παράδειγμα : Να γραφεί σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων στο το πολυώνυμο

chris έγραψε:Βασικά συμφωνώ με τον Σιλουανό.Το να γράψουμε απλώς να παραγωντοποιηθεί μία παράσταση είναι σχετικά ασαφές αφού ο καθένας θα μπορούσε να το εκλάβει διαφορετικά.Με αυτή τη λογική η σκέψη του mtsarduckas κρίνεται ορθή.(Ωραία λύση Αχιλλέα)
Φιλικά Χρήστος

Συνάδελφοι μην τρελαθούμε!!!
Όταν στα σχολικά μαθηματικά λέμε να παραγοντοποιηθεί ένα πολυώνυμο(που είναι το ίδιο να πούμε να γραφεί σε γινόμενο παραγόντων)εννοούμε να γραφεί υπό μορφή γινομένου δύο ή περισσοτέρων πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές (ή με μιγαδικούς συντελεστές για την Γ΄ Λυκείου. Οι μαθητές δεν ξέρουν πολυώνυμα στο Ζ[x] ή Q[x] κτλ.). Διαφορετικά, αν μας έλεγαν να παραγοντοποιηθεί ,για παράδειγμα το πολυώνυμο: $\displaystyle{{x^{10}} + {x^2} + 10}$ , θα μπορούσαμε να πούμε ότι η απάντηση είναι:
$\displaystyle{{x^{10}} + {x^2} + 10 = \sqrt {{x^{10}} + {x^2} + 10} \cdot \sqrt {{x^{10}} + {x^2} + 10} }$ !!!
Εξάλλου, η παραγοντοποίηση που είναι γραμμένη στην απόκρυψη κειμένου (mtsarduckas) για τιμές του x που τα υπόρριζα είναι αρνητικά, δεν έχουν καν νόημα, αφού είναι γνωστό ότι το σύμβολο $\displaystyle{\sqrt z }$ με z αρνητικό αριθμό δεν έχει νόημα( δεν έχει ορισθεί τέτοιο σύμβολο στα μαθηματικά!!!).

#13

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Όταν στα σχολικά μαθηματικά λέμε να παραγοντοποιηθεί ένα πολυώνυμο(που είναι το ίδιο να πούμε να γραφεί σε γινόμενο παραγόντων)εννοούμε να γραφεί υπό μορφή γινομένου δύο ή περισσοτέρων πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές

Δεν είμαστε στο φόρουμ των σχολικών μαθηματικών ! Και εξάλλου εσείς δεν είστε αυτός που λέτε ότι υπάρχουν τα μαθηματικά και όχι τα "σχολικά μαθηματικά" και τα "άλλα μαθηματικά". Μπορεί η λύση να είναι λάθος εντάξει αλλά και η εκφώνηση είναι ελλειπής. Εγώ εκεί στάθηκα. Πρέπει να αφερθεί σε πιο σώμα δουλεύουμε και να ειπωθεί ότι να παραγοντοποιηθεί σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων.

Υ.Γ. Τα κεφαλαία σε μεγαλύτερο μέγεθος, σε άλλο χρώμα και το περιεχόμενο τι σημαίνουν ;

papel · #14

smar έγραψε:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Όταν στα σχολικά μαθηματικά λέμε να παραγοντοποιηθεί ένα πολυώνυμο(που είναι το ίδιο να πούμε να γραφεί σε γινόμενο παραγόντων)εννοούμε να γραφεί υπό μορφή γινομένου δύο ή περισσοτέρων πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές
Δεν είμαστε στο φόρουμ των σχολικών μαθηματικών ! Και εξάλλου εσείς δεν είστε αυτός που λέτε ότι υπάρχουν τα μαθηματικά και όχι τα "σχολικά μαθηματικά" και τα "άλλα μαθηματικά". Μπορεί η λύση να είναι λάθος εντάξει αλλά και η εκφώνηση είναι ελλειπής. Εγώ εκεί στάθηκα. Πρέπει να αφερθεί σε πιο σώμα δουλεύουμε και να ειπωθεί ότι να παραγοντοποιηθεί σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων.

Υ.Γ. Τα κεφαλαία σε μεγαλύτερο μέγεθος, σε άλλο χρώμα και το περιεχόμενο τι σημαίνουν ;

Θα συμφωνησω με τον smar διοτι κυριε Αντωνη οπως λετε και εσεις στα Μαθηματικα δεν εννοουμε τιποτα λιγοτερο και τιποτα περισσοτερο απο αυτο που γραφαμε.Και ποια ειναι η συμβασις εκεινη που εχει γινει ωστε η παραγοντοποιηση να περιλαμβανει μονο πολυωνυμα με πραγματικους συντελεστες και γιατι οχι με ρητους ακεραιους συνδυασμο αυτων κοκ.

Α.Κυριακόπουλος · #15

smar έγραψε: Δεν είμαστε στο φόρουμ των σχολικών μαθηματικών ! Και εξάλλου εσείς δεν είστε αυτός που λέτε ότι υπάρχουν τα μαθηματικά και όχι τα "σχολικά μαθηματικά" και τα "άλλα μαθηματικά". Μπορεί η λύση να είναι λάθος εντάξει αλλά και η εκφώνηση είναι ελλειπής. Εγώ εκεί στάθηκα. Πρέπει να αφερθεί σε πιο σώμα δουλεύουμε και να ειπωθεί ότι να παραγοντοποιηθεί σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων.
Υ.Γ. Τα κεφαλαία σε μεγαλύτερο μέγεθος, σε άλλο χρώμα και το περιεχόμενο τι σημαίνουν ;

Αγαπητέ smar.
• Η άσκηση είναι στα « Θέματα για Λύκειο-seniors». Επομένως απευθύνεται σε μαθητές. Συνεπώς «είμαστε στο φόρουμ των σχολικών μαθηματικών!», αφού οι μαθητές που δίνουν αυτές τις εξετάσεις δεν έχουν διδαχθεί , τουλάχιστον επίσημα, άλλη θεωρία πολυωνύμων.
• Θυμάμαι πολύ καλά τι έχω πει. Ίσως εσύ να έχεις παρερμηνεύσει αυτά που έχω πει. Και έχω πει ότι δεν υπάρχουν σήμερα ανώτερα και κατώτερα μαθηματικά. Τα μαθηματικά ουσιαστικά ξεκινάνε από το Λύκειο και προχωρούν στο Πανεπιστήμιο κτλ. Πολλές φορές όμως, για ευκολία της συζήτησης, τα μαθηματικά που κάνουμε στο λύκειο τα ονομάζουμε « σχολικά μαθηματικά».
• Το ουσιώδες όμως είναι ότι αναγνωρίζεις ότι η λύση είναι λάθος. Και το λάθος αυτό δεν το έχει υπαγόρευση η εκφώνηση της άσκησης( αφού μια τέτοια ανάλυση δεν στέκει από καμία άποψη ). Οι μαθητές, μηδέ εξαιρουμένων και εκείνων που λαμβάνουν μέρος σε τέτοιες εξετάσεις, δεν έχουν διδαχθεί Αλγεβρικές Δομές και δεν ξέρουν τι είναι « Σώμα». Ούτε τι είναι «Δακτύλιος». Ούτε έχουν μάθει τον ορισμό του ανάγωγου πολυωνύμου!!! ( το βιβλίο των μαθηματικών της Γ΄ Γυμνασίου γράφει σε μερικά σημεία « να αναλυθεί ένα πολυώνυμο- που δίνει- σε γινόμενο πρώτων παραγόντων», αλλά πουθενά δεν έχει πει πότε ένα πολυώνυμο είναι πρώτο!!!- το έχω επισημάνει στους συγγραφείς του βιβλίου αυτού).
• Όταν λέμε στους μαθητές «να παραγοντοποιήσουν ένα πολυώνυμο» εννοούν αυτό που έγραψα στο προηγούμενο μήνυμά μου και τίποτα άλλο.
• Τα μεγαλύτερα έγχρωμα γράμματα δεν σημαίνουν τίποτε περισσότερο από αυτά που λένε.

papel έγραψε: Θα συμφωνησω με τον smar διοτι κυριε Αντωνη οπως λετε και εσεις στα Μαθηματικα δεν εννοουμε τιποτα λιγοτερο και τιποτα περισσοτερο απο αυτο που γραφαμε.Και ποια ειναι η συμβασις εκεινη που εχει γινει ωστε η παραγοντοποιηση να περιλαμβανει μονο πολυωνυμα με πραγματικους συντελεστες και γιατι οχι με ρητους ακεραιους συνδυασμο αυτων κοκ.

Αγαπητέ papel.
• Καθένας μας είναι ελεύθερος να συμφωνεί με όποιον θέλει. Πρέπει όμως να σου πω ότι:
1) Οι ρητοί και οι ακέραιοι αριθμοί είναι πραγματικοί αριθμοί.
2) Τι άλλο θα μπορούσε να σημαίνει η εκφώνηση της άσκησης; Αφού οποιαδήποτε άλλη ανάλυση, από αυτή που αναφέρω στο προηγούμενο μήνυμα μου, δεν στέκει από καμία άποψη;

Υ. Γ.
Αγαπητοί smar και papel. Θα μου επιτρέψετε να μην επανέλθω στο ίδιο θέμα, ότι και να απαντήσετε. Νομίζω ότι δεν αξίζει τον κόπο. Δεν μου είναι ευχάριστο να μιλάω για αυτονόητα πράγματα.
Με εκτίμηση και αγάπη.

Κώστας Παππέλης · #16

Νομίζω ότι δεν έχει νόημα να διαφωνούμε για τέτοιου είδους επουσιώδη με όλη τη σημασία της λέξης ζητήματα.

Η προσωπική μου θέση είναι ότι παρόλο που δε διευκρινίστηκε στην εκφώνηση, ήταν φανερό το τι ζητούσε ο Αλέξανδρος και ο mtsarduckas έπρεπε τουλάχιστον να υποψιαστεί ότι η λύση του είναι λανθασμένη.

Από την άλλη όμως μία εκφώνηση πρέπει να είναι πλήρης και θα έπρεπε τουλάχιστον να λέει 'να παραγοντοποιηθεί σε 2 πολυώνυμα μικρότερου βαθμού' αν θέλουμε να αποφύγουμε την έννοια του Z[x]

Τέλος, παρόλο που είμαστε σε λυκειακά μαθηματικά, αυτό θεωρώ ότι είναι τελείως τυπικό και είναι ανεπίτρεπτο κατά τη γνώμη μου μαθητές που μετέχουν σε Ολυμπιάδες να μην ξέρουν τι είναι το Z[x]... Εδώ στα λύκεια της κοντινής μας Ρουμανίας, η βασική θεωρία σωμάτων ΚΑΙ διδάσκεται ΚΑΙ τίθεται σε ζητήματα επιλογής της μαθηματικής ομάδας.

#17

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Οι μαθητές, μηδέ εξαιρουμένων και εκείνων που λαμβάνουν μέρος σε τέτοιες εξετάσεις, δεν έχουν διδαχθεί Αλγεβρικές Δομές και δεν ξέρουν τι είναι « Σώμα». Ούτε τι είναι «Δακτύλιος». Ούτε έχουν μάθει τον ορισμό του ανάγωγου πολυωνύμου!!!

Αν οι μαθητές που πήγαιναν στους διαγωνισμούς ήξεραν μόνο αυτά που διδάσκονται στο σχολείο ... κλάφτα Χαράλαμπε.
Καταρχήν αντιμετωπίζουν θέματα θεωρίας αριθμών και συνδυαστικής που δεν διδάσκονται καν στο σχολείο (μη μου πει κανείς ότι διδάσκεται θεωρία αριθμών στο σχολείο...αυτό που κάνουμε στη Β λυκείου άλλο πράγμα είναι)
Υπάρχουν ακολουθίες, πολυώνυμα, πολυωνυμικές ισοτιμίες και πολλά άλλα που ένας διαγωνιζόμενος πρέπει να ξέρει. Καθε μαθητής που λαμβάνει μέρος σε τέτοιου είδους διαγωνισμούς οφείλει να ξέρει τι είναι ανάγωγο πολυώνυμο διότι τίθενται τέτοια θέματα. Από εδώ μπορείτε να πάρετε μια γεύση από το τι διδάσκονται αυτοί οι μαθητές
http://www.imomath.com/tekstkut/polynomials_ddj.pdf

Τέλος, θέλω να σας πω ότι συζήτηση κάνουμε. Βλέπετε ότι προσπαθώ και μιλώ σε ήρεμο ύφος και γλώσσα, γιαυτό δεν βλέπω το λόγο να αποχωρήσετε από τη συζήτηση. Αλλά από τη στιγμή που κάνετε μια τέτοια επιλογή την σέβομαι. Απλά μπείτε στον κόπο να διαβάσετε τα παραπάνω όπως και το άρθρο.

#18

Απλά να επισημάνω ότι η γραφή του παραπάνω πολυωνύμου ως γινόμενο "ανάγωγων" πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές είναι πολύ πιο δύσκολη.

Το πολυώνυμο βαθμού 3 ως γνωστόν έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.
Αλλά ποιά είναι; Έχει άλλες πραγματικές; (Απαντ.: 'Οχι)

Συνεπώς, η εύρεση όλων των συντελεστών σε αυτή την περίπτωση είναι πολύ δύσκολη για να μη πω αδύνατη με χαρτί και μολύβι.

Το πρόβλημα είναι ενδιαφέρον όταν το περιορίσουμε σε πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές, κάτι που όλοι πιστεύω συμφωνούμε ότι θα έπρεπε να συμπεριληφθεί στη διατύπωση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#19

smar έγραψε:Νομίζω ότι μάλλον ελλειπής είναι η εκφώνηση παρά η λύση του mtsarduckas. Γιατί στην εκφώνηση δεν λέει καν να γραφεί σε γινόμενο παραγόντων. Λέει να παραγοντοιηθεί !! Θα έπρεπε να αναφέρεται σε πιο σώμα θέλουμε την παραγοντοποιήση. Δηλαδή για παράδειγμα : Να γραφεί σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων στο το πολυώνυμο

Α) Αν υποθέσουμε ότι η εκφώνηση ήταν ελλιπής (που κατά την γνώμη μου δεν ήταν) αυτοί οι άνθρωποι πως κατάφεραν να συνεννοηθούν;
1) 47ος Putnam του 1986:
_________________________________________
Factor $x^ {4} - 13x^{2} + 36$
_________________________________________

2) 53ος Putnam του 1992:
_________________________________________
Factor $1 + x + x^{2} + x^{3}$
_________________________________________

Β) Αν υποθέσουμε ότι η υπόθεση ήταν ελλιπής τότε ποια αριθμητική θα έπρεπε να αναφέρει η εκφώνηση ώστε η εσφαλμένη (δεν είναι φοβερό να ξεφύγει και κάποιο λαθάκι: όλο το θνητό μέρος του mathematica κάνει λάθη) λύση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$(\sqrt{x(x^4-9)}-3)((\sqrt{x(x^4-9)})^2+3\sqrt{x(x^4-9)}+3)}$

να γίνει σωστή; Με άλλα λόγια πως έπρεπε να επαναδιατυπωθεί η εκφώνηση ώστε η παραπάνω απάντηση να είναι και μία σωστή απάντηση;
Να το θέσω διαφορετικά
Πως πρέπει να συμπληρώσουμε τα αποσιωπητικά στο παρακάτω
Να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυμο στο .....
ώστε η απάντηση ( $\sqrt{x(x^4-9)}-3)((\sqrt{x(x^4-9)})^2+3\sqrt{x(x^4-9)}+3)}$ να είναι μία "νόμιμη" απάντηση;
Κάτι πρέπει να υπάρχει δεδομένου ότι:

chris έγραψε:Το να γράψουμε απλώς να παραγωντοποιηθεί μία παράσταση είναι σχετικά ασαφές αφού ο καθένας θα μπορούσε να το εκλάβει διαφορετικά. Με αυτή τη λογική η σκέψη του mtsarduckas κρίνεται ορθή

Και για να γίνω ακόμη πιο σαφής:
Σε ποιο σώμα (αναφέρθηκαν πολλά) η παραπάνω παραγοντοποίηση (δηλαδή η $\sqrt{x(x^4-9)}-3)((\sqrt{x(x^4-9)})^2+3\sqrt{x(x^4-9)}+3)}$ είναι παραγοντοποίηση του πολυωνύμου ;
Μαυρογιάννης

#20

κ.Μαυρογιάννη χαίρομαι για την παρέμβασή σας. Για το Α) που λέτε, οφειλω να σας πω ότι μου κάνει εντύπωση. Εντάξει και εγώ αν έπερνα μέρος στο διαγωνισμό θα καταλάβαινα τη θέλουν. Παρόλα αυτά θεωρώ ότι σε κάποιο βαθμό είναι ελλειπής. (βέβαια αυτοί στο Putnam κάτι ξέρουν). Για το Β) Στο 99% των περιπτώσεων θεωρώ ότι είναι λάθος, το είπα και παραπάνω εξάλλου. Απλά και μόνο που ένας μπερδεύτηκε... Και μια εύλογη ερώτηση είναι: Αν δινόταν η εξής άσκηση:
Να εξετασθεί αν παραγοντοποιείται το πολυώνυμο x^4+1

, αυτή δεν θα ήταν ελλειπής ; ( αν δεν κάνω λάθος στο Ζ[x] δεν παραγοντοιείται ενώ στο Q[x])
Όσο για να ήταν σωστό επειδή τα υπόριζα είναι αμφιβόλου θετικότητας

, δεν θα μπορούσε να ήταν σωστή.

Παραγοντοποίηση 2

Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Re: Παραγοντοποίηση 2

Μέλη σε σύνδεση