ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ

nikos18 · #1

Έστω

συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε $x\epsilon \Re$ να ισχύει: $f^{3}(x)+f(x)=x^{5}+x+1$ .
α) δείξετε ότι

συνεχής στο $\mathbb{R}$
β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο της $C_{f}$ και της y=x στο διάστημα (-2,-1).

nikos18 · #2

Για το ερώτημα (β):
$f^{3}(x)+f(x)=x^{5}+x+1$ (1)

Έστω συνάρτηση g(x)=f(x)-x

συνεχής στο [-2,-1].
Ισχύει: g(-1)=f(-1)+1>0

αφού για x = -1 η σχέση (1) γίνεται: $f(-1)(f^{2}(-1)+1)=-1$ $\Leftrightarrow f(-1)=\frac{-1}{(f^{2}(-1)+1)}>-1$ .
Επίσης ισχύει g(-2)=f(-2)+2<0

αφού για x = -2 η σχέση (1) γίνεται: $f^{3}(-2)+f(-2)=-33<-30 \Rightarrow f^{3}(-2)+f(-2)+30<0 \Leftrightarrow (f(-2)+3)(f^{2}(-2)-3f(-2)+10)<0 \Leftrightarrow f(-2)+3<0\Leftrightarrow f(-2)<-3<-2$ .
Από Θ Bolzano προκύπτει το ζητούμενο.

nikos18 · #3

κάποια βοήθεια για το (α) ερώτημα ;

Μπορεί να είναι λάθος η εκφώνηση;
Δοκίμασα με κριτήριο παρεμβολής κάνοντας χρήση της ανισότητας:
$|f(x)|=\frac{|x^{5}+x+1|}{|f^{2}(x)+1|}<|x^{5}+x+1|$ αλλά δεν κατάληξε κάπου

#4

nikos18 έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 12, 2017 2:02 am
Έστω συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε $x\epsilon \Re$ να ισχύει: $f^{3}(x)+f(x)=x^{5}+x+1$ .
α) δείξετε ότι συνεχής στο $\mathbb{R}$
β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο της $C_{f}$ και της y=x στο διάστημα (-2,-1).

...Καλημέρα

....

α) Αν και έχει συζητηθεί πολλές φορές η παραπάνω ….διαδικασία

$f^{3}(x)+f(x)=x^{5}+x+1$ και ${{f}^{3}}({{x}_{0}})+f({{x}_{0}})=x_{0}^{5}+{{x}_{0}}+1$ με αφαίρεση

${{f}^{3}}(x)-{{f}^{3}}({{x}_{0}})+f(x)-f({{x}_{0}})={{x}^{5}}-x_{0}^{5}+x-{{x}_{0}}$ (ταυτότητες…)

$\left( f(x)-f({{x}_{0}}) \right)\left( {{f}^{2}}(x)+f(x)f({{x}_{0}})+{{f}^{2}}({{x}_{0}})+1 \right)=(x-{{x}_{0}})({{x}^{4}}+.....x_{0}^{4}+1)$

σε απόλυτα $|f(x)-f({{x}_{0}})||{{f}^{2}}(x)+f(x)f({{x}_{0}})+{{f}^{2}}({{x}_{0}})+1|=|x-{{x}_{0}}||{{x}^{4}}+.....x_{0}^{4}+1|$ και

$|f(x)-f({{x}_{0}})|=\frac{|x-{{x}_{0}}||{{x}^{4}}+.....x_{0}^{4}+1|}{|{{f}^{2}}(x)+f(x)f({{x}_{0}})+{{f}^{2}}({{x}_{0}})+1|}$

μείωση του παρανομαστη και δείχνουμε την συνέχεια…

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

nikos18 · #5

Ευχαριστώ πολύ !!

Επίτιμος Κ · #6

Η συνάρτηση $f^{3}(x)+f(x)$
είναι συνεχής οπότε στο τυχαίο $a\epsilon R$
έχουμε $\lim_{x\rightarrow a}\left [ f^{3}(x) \right+f(x) -f^{3}(a)-f(a)]=0 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}\left\left [ (f(x)-f(a)) \right(f^{2}(x)+f(x)f(a)+f^{2}(a)+1) ]=0$
Επειδή η παράσταση $f^{2}(x)+f(x)f(a)+f^{2}(a)+1>1$ θα είναι $\lim_{x\rightarrow a}(f(x)-f(a))=0$ . Άρα $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

Αργά αλλά κάτι ίσως ενδιαφέρον. Για τη συνάρτηση αυτή μπορούμε σχετικά εύκολα να δείξουμε ότι είναι αύξουσα και ότι δεν αφήνει τιμές οπότε είναι συνεχής.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Εχει ξαναζητηθεί αλλά άντε να το βρεις.

Επειδή η

είναι αύξουσα(είναι γνήσια αλλά δεν χρειάζεται)
το κόλπο είναι το εξής.

Για $x\geq a$ έχουμε

$0\leq f(x)-f(a)\leq f^{3}(x)+f(x)-f^{3}(a)-f(a)=x^{5}+x+1-a^{5}-a-1$

παίρνοντας $x\rightarrow a^{+}$ το κριτήριο παρεμβολής δίνει

$\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)$

Με ακριβώς όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι $\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=f(a)$
και έχουμε την συνέχεια.

Να σημειώσω ότι η απόδειξη του Βασίλη βγάζει και την παραγωγισιμότητα.

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ

Μέλη σε σύνδεση