Εξίσωση με βάση το...8
Συντονιστές: m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Εξίσωση με βάση το...8
Η άσκηση λύνεται χωρίς χρήση ύλης της Γ' Λυκείου. Ισχύει με την ισότητα μόνο αν
Αν λοιπόν είναι λύση της εξίσωσης
προκύπτει
Όμως ισχύει ()
και επομένως πρέπει στα ενδιάμεσα βήματα να ισχύει ισότητα, άρα Το είναι όντως λύση της εξίσωσης, άρα η μοναδική της λύση.
Αποδεικνύουμε τώρα την ().
Είναι
και
Απομένει να αποδειχθεί ότι
.
Μάλιστα στο πεδίο ορισμού της αρχικής εξίσωσης, οι παραστάσεις εντός των απολύτων είναι θετικές, οπότε θα αποδείξουμε ότι
.
Αυτό ισχύει, αφού
.
Η αριστερή είναι πολύ απλή. Για τη δεξιά ας παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα (ας την πούμε ), οπότε
Αν λοιπόν είναι λύση της εξίσωσης
προκύπτει
Όμως ισχύει ()
και επομένως πρέπει στα ενδιάμεσα βήματα να ισχύει ισότητα, άρα Το είναι όντως λύση της εξίσωσης, άρα η μοναδική της λύση.
Αποδεικνύουμε τώρα την ().
Είναι
και
Απομένει να αποδειχθεί ότι
.
Μάλιστα στο πεδίο ορισμού της αρχικής εξίσωσης, οι παραστάσεις εντός των απολύτων είναι θετικές, οπότε θα αποδείξουμε ότι
.
Αυτό ισχύει, αφού
.
Η αριστερή είναι πολύ απλή. Για τη δεξιά ας παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα (ας την πούμε ), οπότε
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες