ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ 3 ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

[ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ]

Να αποδειχθεί ότι ένα αρθρωτό κυρτό τετράπλευρο με 3 ίσες πλευρές αποκτά μέγιστο εμβαδόν όταν γίνει ισοσκελές τραπέζιο.

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Να αποδειχθεί ότι ένα αρθρωτό κυρτό τετράπλευρο με 3 ίσες πλευρές αποκτά μέγιστο εμβαδόν όταν γίνει ισοσκελές τραπέζιο.

Γιώργο καλημέρα και καλοσώρισες στο

Για το πρόβλημα που έχεις θέσει έχω αρκετούς ενδιασμούς

Στάθης

[Tolaso J Kos]

Εγώ πάλι δε καταλαβαίνω τι λέει η εκφώνηση . Τι είναι το αρθρωτό τετράπλευρο ;

[Al.Koutsouridis]

Η αλήθεια είναι ούτε εγώ ξέρω την έννοια του αρθρωτού τετραπλεύρου. Αλλά αν δεν έχει διαφορά με το κοινό κυρτό τετράπλευρο τότε από τον τύπο Brahmagupta, έχουμε ότι το μέγιστο τετράπλευρο θα είναι εγράψιμο και αφού έχει δυο μη διαδοχικές πλευρές ίσες θα είναι τραπέζιο. Ενδιαφέρον έχει να δούμε πoιό από όλα τα τραπέζια είναι αυτό. Νομίζω έχει ξανα συζητηθεί στο .

[Tolaso J Kos]

Νομίζω έχει ξανα συζητηθεί στο .

Μάλλον λες για το θέμα που βρίσκεται εδώ.

[KARKAR]

τραπέζιο.png (13.05 KiB) Προβλήθηκε 2613 φορές

Έστω το μήκος των . Προφανώς το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι :


. Αυτό είναι το μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου με τρεις ίσες πλευρές

και προκύπτει αν αξιοποιήσουμε την "ημι-αποδεδειγμένη" εικασία εδώ . Αρκετά μετά

τη δημοσίευση της εικασίας αυτής , βρήκα σε κάποιο site μία απόδειξή της ...

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Να αποδειχθεί ότι ένα αρθρωτό κυρτό τετράπλευρο με 3 ίσες πλευρές αποκτά μέγιστο εμβαδόν όταν γίνει ισοσκελές τραπέζιο.

Θα παραλείψω τις πράξεις.

Εστω ότι το μήκος των τριών πλευρών ότι είναι

Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι κορυφές του τετραπλεύρου είναι



με

Το διπλάσιο του εμβαδού του είναι



μεγιστοποιώντας την συνάρτηση σαν συνάρτηση δύο μεταβλητών παίρνουμε ότι



που δίνει ισοσκελές τραπέζιο.

[gbaloglou]

τραπέζιο.png Έστω το μήκος των . Προφανώς το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι :


. Αυτό είναι το μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου με τρεις ίσες πλευρές

και προκύπτει αν αξιοποιήσουμε την "ημι-αποδεδειγμένη" εικασία εδώ . Αρκετά μετά

τη δημοσίευση της εικασίας αυτής , βρήκα σε κάποιο site μία απόδειξή της ...

Θανάση γιατί "ημι-αποδεδειγμένη" η εικασία; Νομίζω ότι την είχαμε αποδείξει πλήρως!

[KARKAR]

Γιώργο είχα κάποιους ενδοιασμούς για την πληρότητα της απόδειξης . Είχα

-αργότερα- ψάξει το θέμα και είχα βρει την δημοσίευση αυτή , της οποίας

η βασική ιδέα είναι μεγαλοπρεπώς απλή ! Τώρα δεν υπάρχει καμιά αμφιβολία ...

[Al.Koutsouridis]

Για το αρχικό πρόβλημα...

Μπορούμε να θεωρήσουμε το συμμετρικό τετράπλευρο ως προς την τέταρτη πλευρά. Τότε σχηματίζεται ένα κυρτό εξάγωνο με διπλάσιο εμβαδόν. Αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το εμβαδόν αυτού του εξαγώνου, που έχει σταθερή περίμετρο. Από όλα τα εξάγωνα όμως με δεδομένη περίμετρο το κανονικό έχει το μέγιστο εμβαδόν. Αυτή η λύση ικανοποιεί τους περιορισμούς και του δικού μας προβλήματος. Οπότε μεγαλύτερο εμβαδόν δεν μπορούμε να πετύχουμε. Έτσι το μέγιστο τετράπλευρο είναι το ισοσκελές τραπέζιο, το "μισό" ενός κανονικού εξαγώνου.

[ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ]

Η λύση του προβλήματος δεν μπορεί να είναι συγκεκριμένη τιμή του εμβαδού,( που αν υπάρχει θα πρέπει να λαμβάνει οπόψη και την τιμή της τέταρτης πλευράς), αλλά απόδειξη με τη χρήση διαφορικού λογισμού ότι το εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν γωνία Α γίνεται ίση με τη γωνία Δ, αν το τετράπλευρο είναι ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ.
Οσον αφορά το αρθρωτό εννοώ ότι όλες οι κορυφές των γωνιών είναι αρθρώσεις που επιτρέπουν ,αν οι πλευρές είναι ράβδοι ενωμένες με βίδες στα άκρα τους (δυστυχώς συγχωρέστε μου που σκέφτομαι σαν Μηχανικός πάντα) ,να μπορούμε μεταβάλλουμε εύκολα το σχήμα του τετραπλεύρου.
Γ. Μπάφας

[KARKAR]

Πράγματι Γιώργο , στην απάντησή μου θεώρησα ότι μπορούμε να επιλέξουμε εμείς την τέταρτη

πλευρά , οπότε το μέγιστο βρίσκεται κατά τα παραπάνω . Για δεδομένη όμως και την τέταρτη

πλευρά , αφού η μεγιστοποίηση επιτυγχάνεται με το κυκλικό τετράπλευρο , ( για μια απόδειξη

δες εδώ -ποιος Ανδρέας ; ) , είναι πλέον προφανές ότι το τετράπλευρο αυτό θα είναι ισοσκελές

τραπέζιο , αφού δύο απέναντι πλευρές του θα είναι ίσες ( γνωστή εφαρμογή από την Α' Λυκείου ) .

Νομίζω ότι στο forum υπάρχει και μια απόδειξη του Στάθη Κούτρα προ πενταετίας

Μια ακόμη απόδειξη εδώ