Διπλάσια γωνία 10
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Διπλάσια γωνία 10
ώστε αν η ευθεία τμήσει την στο σημείο , να είναι : .
Δεν ζητάμε απαραίτητα κανονική κατασκευή , μας κάνει και μια υπολογιστική λύση
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Διπλάσια γωνία 10
Η τριχοτόμηση ( που δεν είναι εν γένει ευκλείδεια κατασκευή) της γωνίας του τριγώνου μας λύνει το πρόβλημα
Η εξήγηση σε λίγο
Η εξήγηση σε λίγο
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Διπλάσια γωνία 10
Εύκολα, Αρκεί να υπολογίσω το τμήμα (ούτε λόγος βέβαια για τριχοτόμηση της γωνίας ).
Είναι,
Από νόμο ημιτόνων,
Από βρίσκω το (Μέχρι εδώ μπορώ να φτάσω )
Re: Διπλάσια γωνία 10
Ας θεωρήσω λυμένο το πρόβλημα.
Γράφω το κύκλο και προεκτείνω την μέχρι να τον τμήσει στο .
Εύκολα έχω ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το .
Φέρνω το ύψος του . που θα είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής .
Άρα . Με τριγωνομετρία τώρα υπολογίζω το κ.λ.π.
Παρατήρηση:
Το σχήμα είναι απολύτου ακριβείας χωρίς να κάνω καμιά τριχοτόμηση . Μετά την κατασκευή του σχήματος βρήκα τα παραπάνω .
Πως έγινε ή κατασκευή ;
Γράφω το κύκλο και προεκτείνω την μέχρι να τον τμήσει στο .
Εύκολα έχω ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το .
Φέρνω το ύψος του . που θα είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής .
Άρα . Με τριγωνομετρία τώρα υπολογίζω το κ.λ.π.
Παρατήρηση:
Το σχήμα είναι απολύτου ακριβείας χωρίς να κάνω καμιά τριχοτόμηση . Μετά την κατασκευή του σχήματος βρήκα τα παραπάνω .
Πως έγινε ή κατασκευή ;
Re: Διπλάσια γωνία 10
Ας πούμε λοιπόν ότι η βάση του τριγώνου είναι , τα σκέλη από και .
Από θεώρημα διχοτόμου , έχω : . Με νόμο συνημιτόνων
στο , έχω : . Αλλά :
οπότε : και άρα : .
Συνεπώς : . Η εξίσωση αυτή καταλήγει στην : .
Πρόβλημα ! Πάντως η ( δεκτή ) λύση της είναι : . Δοκιμάστε την
Τώρα με αντικατάσταση : , οπότε : .
Για το συγκεκριμένο φάκελο , η απάντηση στο ερώτημα του Φραγκάκη , θα μπορούσε να είναι :
"πήρες τη γωνία της βάσης π.χ και την , κ.λ.π.
Re: Διπλάσια γωνία 10
Δεν πήρα καμιά γωνία και κανένα ισοσκελές. Θα γράψω αργότερα τι ακριβώς έκανα.
Γιατί έτσι μπορώ να έχω μετά για κάθε ισοσκελές τρίγωνο αυτό που θέλω.
Μπαμπέσικα
Θεωρώ τυχαίο ( έχει και διερεύνηση για το πόσο τυχαίο είναι) ορθογώνιο τρίγωνο,
. Φέρνω τη μεσοκάθετο στην υποτείνουσα και το συμμετρικό
του ως προς το . Η τέμνει τη μεσοκάθετο στο και η
Την στο .
Μετακινώ είτε το είτε το με απαίτηση να τέμνονται οι με την εν λόγω
μεσοκάθετο προς το μέρος του .
Το τρίγωνο είναι πάντα ισοσκελές και .
( Επί της ουσίας έκανα τριπλασιασμό γωνίας αλλά για το συγκεκριμένο πρόβλημα).
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Διπλάσια γωνία 10
Θανάση , Νίκο και Γιώργο χαιρετώ , καλημέρα σε όλους !
Αν θέσουμε τότε όπως έχει γραφεί . Με γνωστό τον λόγο
αρκεί να βρούμε εξίσωση για τον άγνωστο λόγο . Πράγματι έχουμε και .
Από το τύπο (*) παίρνουμε .
Δεκτή ρίζα της εξίσωσης η με αφού .
Ας δούμε στη συνέχεια -για χάρη και του Θανάση- με κανόνα και διαβήτη την ... ... τριχοτόμηση μιας γωνίας . Στο τρίγωνο του σχήματος είναι και με . Προφανώς .
Αρκεί να υπολογίσουμε το έτσι ώστε η να είναι τριχοτόμος της δηλ. να ισχύει
Έχουμε οπότε από την θέτοντας παίρνουμε
με μοναδική δεκτή λύση δηλ και η τριχοτόμος της έχει κατασκευαστεί !
Η αλήθεια είναι ότι δημιουργήσαμε '' βολικό'' τρίγωνο ώστε να δέχεται (με κανόνα και διαβήτη) τριχοτόμηση κάθε γωνίας του.
Παρατηρήστε ότι στο εν λόγω τρίγωνο και την μπορούμε να την τριχοτομήσουμε !
(*) Γεωμετρική απόδειξη του τύπου αυτού , βρίσκουμε (και) στο θέμα Ζητείται Γ.Α.Τ.Ι..
Φιλικά Γιώργος.
Αν θέσουμε τότε όπως έχει γραφεί . Με γνωστό τον λόγο
αρκεί να βρούμε εξίσωση για τον άγνωστο λόγο . Πράγματι έχουμε και .
Από το τύπο (*) παίρνουμε .
Δεκτή ρίζα της εξίσωσης η με αφού .
Ας δούμε στη συνέχεια -για χάρη και του Θανάση- με κανόνα και διαβήτη την ... ... τριχοτόμηση μιας γωνίας . Στο τρίγωνο του σχήματος είναι και με . Προφανώς .
Αρκεί να υπολογίσουμε το έτσι ώστε η να είναι τριχοτόμος της δηλ. να ισχύει
Έχουμε οπότε από την θέτοντας παίρνουμε
με μοναδική δεκτή λύση δηλ και η τριχοτόμος της έχει κατασκευαστεί !
Η αλήθεια είναι ότι δημιουργήσαμε '' βολικό'' τρίγωνο ώστε να δέχεται (με κανόνα και διαβήτη) τριχοτόμηση κάθε γωνίας του.
Παρατηρήστε ότι στο εν λόγω τρίγωνο και την μπορούμε να την τριχοτομήσουμε !
(*) Γεωμετρική απόδειξη του τύπου αυτού , βρίσκουμε (και) στο θέμα Ζητείται Γ.Α.Τ.Ι..
Φιλικά Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 3 επισκέπτες