Πολύ-τροπον

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3855
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Πολύ-τροπον

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Δεκ 07, 2017 9:08 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Η άσκηση πού έδωσε ο Αποστόλης ΕΔΩ για τη Γ΄ Γυμνασίου μού έδωσε την ιδέα της προέκτασης του θέματος. Ζητώ να αντιμετωπίσουμε την άσκηση με όσο το δυνατόν περισσότερους τρόπους, δίχως περιορισμό "ύλης". Γι' αυτό και τοποθετώ το ερώτημα εδώ. Πιστεύω ότι είναι αρκούντως διασκεδαστικό.
Έχω μερικές διαφορετικές λύσεις, κάποιες κομψές και διδακτικές, κάποιες τραβηγμένες (τριγωνομετρικές), αλλά πάντως αποτελεσματικές. Περιμένω τις δικές σας πρώτα.


Αν για τους αριθμούς a, b ισχύει ab + 1 = a + b, δείξτε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς a, b είναι ίσος με 1.


Μεταφέρω εδώ τις λύσεις του Χαράλαμπου και του Αποστόλη, αλλάζοντας λίγο τη διατύπωση, αλλά όχι την κεντρική ιδέα.

1η λύση:

Η ισότητα της υπόθεσης γράφεται διαδοχικά:

 \displaystyle ab + 1 = a + b \Leftrightarrow ab + 1 - a - b = 0 \Leftrightarrow a\left( {b - 1} \right) - \left( {b - 1} \right) = 0

 \displaystyle  \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right)\left( {a - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {b = 1\;\;\; \vee \;\;\;a = 1} \right) .


2η λύση

Έστω ότι για τους αριθμούς a, b ισχύει  \displaystyle ab + 1 = a + b\;\;\left( 1 \right)

Το τριώνυμο  \displaystyle A\left( x \right) = {x^2} - \left( {a + b} \right)x + ab παραγοντοποιείται ως εξής:  \displaystyle {x^2} - \left( {a + b} \right)x + ab = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) .

Επειδή, λόγω της (1) ο αριθμός 1 είναι ρίζα του A(x), θα είναι  \displaystyle \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right) = 0 , οπότε a = 1 ή b = 1.
edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό με την υπόδειξη του Μιχάλη Λάμπρου. Μιχάλη ευχαριστώ!



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9110
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πολύ-τροπον

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 07, 2017 9:15 pm

ab+1=a+b\Leftrightarrow (a-1)b=a-1 . Αν a=1 ...τέλος , αλλιώς b=\dfrac{a-1}{a-1}=1


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9110
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πολύ-τροπον

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 07, 2017 9:41 pm

Έστω a\neq 1 . Από την υπόθεση είναι : (a-1)b-(a-1)=0 .

Θεωρώ τη σταθερή και μη μηδενική συνάρτηση : f(x)=a-1 .

Είναι : \displaystyle \int_{1}^{b}f(x)dx=(a-1)b-(a-1)=0 , άρα b=1 .


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7519
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πολύ-τροπον

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Δεκ 08, 2017 2:03 pm

Αφού έχουμε το ελεύθερο για να χρησιμοποιήσουμε ότι θέλουμε...

Η μιγαδική συνάρτηση με τύπο f(z) = \tanh{z} παίρνει όλες τις τιμές εκτός από την τιμή 1. Αν a \neq 1 και b \neq 1 τότε μπορώ να βρω z,w με \tanh{z} = a και \tanh{w}=b. Τότε όμως έχω:

\displaystyle  \tanh{(z+w)} = \frac{\tanh{z} + \tanh{w}}{1 + \tanh{z}\tanh{w}} = \frac{a+b}{1+ab} = 1

που είναι άτοπο.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9668
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολύ-τροπον

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 08, 2017 4:38 pm

H υπόθεση γράφεται a(b-1)=b-1. Επαγωγικά βλέπουμε ότι ισχύει a^n(b-1)=b-1 \, (*). Παίρνοντας όριο n\to \infty , και επειδή το όριο του (σταθερού) δεξιού μέλους υπάρχει, θα υπάρχει και του αριστερού. Οπότε είτε b-1=0 (τελειώσαμε) ή -1<a \le 1. Αν a=1 τελειώσαμε. Αλλιώς |a|<1. Σε αυτή την περίπτωση στο όριο η (*) γίνεται 0=b-1, που πάλι τελειώσαμε: Να λες ευτυχώς γιατί άλλη μια τέτοια γραμμή και θα πέφτανε πέτρες.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6092
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πολύ-τροπον

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 08, 2017 5:26 pm

Θεωρώ τη συνάρτηση f(x)=(a-1)x-a+1

Είναι f(1)=0 και από την υπόθεση προκύπτει ότι και f(b)=0.

● Αν a\ne 1, επειδή η f είναι πολυωνυμική α' βαθμού δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία ρίζες, άρα \boxed{b=1}

● Αν b\ne 1, τότε η f θα είναι σταθερή, οπότε \boxed{a=1}

(Εναλλακτικά, μπορούμε και με θεώρημα του Rolle).


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3855
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Πολύ-τροπον

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Δεκ 08, 2017 6:09 pm

Καλησπέρα σε όλους. Μόνο και μόνο για να αριθμήσουμε τις απαντήσεις:

8η λύση (παραλλαγή της προηγούμενης, του Γιώργου):

Έστω ότι για τους αριθμούς a, b ισχύει  \displaystyle ab + 1 = a + b\;\;\left( 1 \right) .

Αν a =1 δεν έχουμε τίποτα παραπάνω να αποδείξουμε.

Έστω  \displaystyle a \ne 1 . Θα αποδείξουμε ότι ισχύει b = 1.

Η συνάρτηση  \displaystyle f:\;R \to R με  \displaystyle f\left( x \right) = \left( {a - 1} \right)x + 1 - a είναι γνησίως αύξουσα αν  a > 1 και γνησίως φθίνουσα αν a<1, οπότε και στις δύο περιπτώσεις είναι «1-1».

Ισχύει  \displaystyle f\left( 1 \right) = \left( {a - 1} \right) \cdot 1 + 1 - a = 0 και  \displaystyle f\left( b \right) = \left( {a - 1} \right)b + 1 - a = ab - b + 1 - a = 0 , λόγω της (1), οπότε είναι b=1, αφού η f είναι «1-1».


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9110
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πολύ-τροπον

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 08, 2017 8:19 pm

Έστω ότι : a+b=s , οπότε : b=s-a . Η σχέση : a+b=ab+1 , γίνεται

s=a(s-a)+1\Leftrightarrow a^2-sa+s-1=0 και λύνοντας ( τριώνυμο του a ) ,

βρίσκουμε ότι : ή a=s-1 , οπότε b=1 , ή a=1 , οπότε b=s-1

κι έτσι βρήκαμε και τον άλλο άγνωστο !


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3855
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Πολύ-τροπον

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Δεκ 08, 2017 8:38 pm

10η λύση:


Έστω ότι για τους αριθμούς a, b ισχύει  \displaystyle ab + 1 = a + b\;\;\left( 1 \right)

Θέτω  \displaystyle \varepsilon \varphi x = a,\;\varepsilon \varphi y = b,\;\;x,y \ne k + \frac{\pi }{2},\;k \in Z.

H (1) γράφεται

 \displaystyle \varepsilon \varphi x \cdot \varepsilon \varphi y + 1 = \varepsilon \varphi x + \varepsilon \varphi y \Leftrightarrow \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x}} \cdot \frac{{\eta \mu y}}{{\sigma \upsilon \nu y}} + 1 = \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x}} + \frac{{\eta \mu y}}{{\sigma \upsilon \nu y}}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \eta \mu x \cdot \eta \mu y + \sigma \upsilon \nu x \cdot \sigma \upsilon \nu y = \eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu y + \eta \mu y \cdot \sigma \upsilon \nu x

 \displaystyle  \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \left( {x - y} \right) = \eta \mu \left( {x + y} \right) \Leftrightarrow \eta \mu \left( {x + y} \right) = \eta \mu \left( {\frac{\pi }{2} - x + y} \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow x + y = 2k\pi  + \frac{\pi }{2} - x + y\;\;\; \vee \;\;\;x + y = 2k\pi  + \pi  - \frac{\pi }{2} + x - y

 \displaystyle  \Leftrightarrow x = k\pi  + \frac{\pi }{4}\;\;\; \vee \;\;\;y = k\pi  + \frac{\pi }{4},\;\;\;k \in Z ,

οπότε  \displaystyle \varepsilon \varphi x = 1\;\;\; \vee \;\;\varepsilon \varphi y = 1 , δηλαδή a = 1 ή b = 1.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1232
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Πολύ-τροπον

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Δεκ 08, 2017 9:13 pm

11η λύση

Αν \displaystyle b = 1 δεν έχουμε να αποδείξουμε τίποτα.Έστω \displaystyle b \ne 1

θεωρούμε τα διανύσματα,\displaystyle u = \left( {a,1} \right),v = \left( {b - 1,1 - b} \right),w = \left( {a - 1,a - 1} \right)

\displaystyle u \cdot v = ab - a + 1 - b = 0 \Rightarrow u \bot v και \displaystyle v \cdot w = 0 \Rightarrow w \bot v

Άρα \displaystyle u//w \Rightarrow \det \left( {u,w} \right) = 0 \Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
  a&1 \\  
  {a - 1}&{a - 1}  
\end{array}} \right| = 0\displaystyle  \Rightarrow {(a - 1)^2} = 0 \Rightarrow \boxed{a = 1}
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Σάβ Δεκ 09, 2017 1:54 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3855
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Πολύ-τροπον

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Δεκ 08, 2017 9:18 pm

12η λύση:


Έστω ότι για τους αριθμούς a, b ισχύει  \displaystyle ab + 1 = a + b\;\;\left( 1 \right)

Έστω  \displaystyle \overrightarrow u  = \left( {a,\;1} \right),\;\;\overrightarrow v  = \left( {b,\;1} \right),\;\;\overrightarrow t  = \left( {1,\;b} \right) .

Τότε  \displaystyle \left( 1 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow t  \Leftrightarrow \overrightarrow u  \cdot \left( {\overrightarrow v  - \overrightarrow t } \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u  \bot \left( {\overrightarrow v  - \overrightarrow t } \right) .

Είναι  \displaystyle \overrightarrow v  - \overrightarrow t  = \left( {b - 1,\;1 - b} \right) .

Αν b = 1, τότε  \displaystyle a \in R κι εμείς έχουμε αποδείξει τη ζητούμενη σχέση.

Αν  \displaystyle b \ne 1 , τότε  \displaystyle {\lambda _{\overrightarrow v  - \overrightarrow t }} =  - 1 \Rightarrow {\lambda _{\overrightarrow u }} = 1 \Rightarrow a = 1 .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9110
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πολύ-τροπον

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 08, 2017 10:06 pm

Έστω ότι : ab=p\neq 0 . Θα δείξουμε ότι : a=1 ή a=p ( οπότε b=1 ) .

Πράγματι τότε : b=\dfrac{p}{a} ,δηλαδή : p+1=a+\dfrac{p}{a}\Leftrightarrow a^2-(p+1)a+p=0

\Leftrightarrow a=1 ,{\acute{\eta}}  , a=p ό. έ. δ.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3855
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Πολύ-τροπον

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Δεκ 08, 2017 10:31 pm

14η λύση:

Έστω ότι για τους αριθμούς a, b ισχύει  \displaystyle ab + 1 = a + b\;\;\left( 1 \right)

Έστω  \displaystyle a \ne 1 , οπότε υπάρχει μη μηδενικός c, ώστε  \displaystyle a = 1 + c,\;c \in {R^*} .

Τότε η (1) γράφεται  \displaystyle \left( {1 + c} \right)b + 1 = 1 + c + b \Leftrightarrow b + bc = c + b \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right)c = 0 \Leftrightarrow b = 1 .

Ομοίως, αν υποθέσουμε ότι  \displaystyle b \ne 1 .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9110
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πολύ-τροπον

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 08, 2017 11:11 pm

Έστω : a\neq 1 . Θεωρώ τη συνάρτηση : f(x)=(a-1)x-a+1 , με f'(x)=a-1 .

Αν είναι b>1 , με Θ.Μ.Τ. στο [1,b] , βρίσκω ότι υπάρχει \xi  \in  (0,1) , τέτοιο ώστε :

f'(\xi)=a-1=\dfrac{f(b)-f(1)}{b-1} και επειδή ο αριθμητής ισούται με 0 , a=1 , άτοπο .

Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο και αν υποθέσουμε ότι : b<1 , άρα τελικά : b=1


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3855
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Πολύ-τροπον

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Δεκ 08, 2017 11:37 pm

Αρχίζει και ζορίζει...

Μια πολυλογάδικη (αλλά άκρως ενδιαφέρουσα και διασκεδαστική).

16η λύση:


Έστω ότι για τους αριθμούς a, b ισχύει  \displaystyle ab + 1 = a + b\;\;\left( 1 \right)

Αν a=0, τότε  \displaystyle \left( 1 \right) \Rightarrow b = 1 . Ομοίως αν b=0, τότε  \displaystyle \left( 1 \right) \Rightarrow a = 1 .

Η περίπτωση να είναι a, b<0 απορρίπτεται, αφού το πρώτο μέλος της (1) θα είναι θετικό και το δεύτερο αρνητικό.

Δίχως να χαλά η γενικότητα, έστω a < b.

Έστω a < 0<b<1. Τότε  \displaystyle b < 1 \Rightarrow ab > a \Rightarrow ab + 1 > a + 1 > a + b , άτοπο.

Έστω a < 0, 1<b. Τότε  \displaystyle b > 1 \Rightarrow ab < a \Rightarrow ab + 1 < a + 1 < a + b , άτοπο.

Άρα αν a<0, τότε b = 1.

Οπότε οι a, b είναι και οι δύο θετικοί.


1η περίπτωση:
Έστω 1 < a, b. Τότε στο παρακάτω σχήμα το πάνω δεξιά ορθογώνιο θα είχε εμβαδόν 0. Αδύνατον, δυστυχώς. Φανταστείτε να μπορούσαμε να δηλώναμε στο Ε9 οικόπεδα μηδενικού εμβαδού!

08-12-2017 Διασκεδαστικά μαθηματικά (1).jpg
08-12-2017 Διασκεδαστικά μαθηματικά (1).jpg (15.51 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές

2η περίπτωση:
Έστω 0< a, b < 1. Τότε στο παρακάτω σχήμα το πάνω δεξιά ορθογώνιο θα είχε εμβαδόν 0. Επίσης αδύνατον.

08-12-2017 Διασκεδαστικά μαθηματικά (2).jpg
08-12-2017 Διασκεδαστικά μαθηματικά (2).jpg (15.69 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές

3η περίπτωση: Έστω 0< a<1< b. Τότε στο παρακάτω σχήμα το πάνω δεξιά ορθογώνιο θα είχε εμβαδόν 0. Επίσης αδύνατον.

08-12-2017 Διασκεδαστικά μαθηματικά (3).jpg
08-12-2017 Διασκεδαστικά μαθηματικά (3).jpg (17.04 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές

Οπότε, ένας τουλάχιστον από τους a, b ισούται με 1.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 677
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Πολύ-τροπον

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Δεκ 09, 2017 1:30 am

Χαιρετώ τους πολύτροπους φίλους! Μια ακόμη Γυμνασιακή.

Θέτω a+b=2m και a-b=2n τότε είναι a=m+n...b=m-n.

Από την ab+1=a+b προκύπτει με αντικατάσταση m^{2}-n^{2}+1=2m\Leftrightarrow \left ( m-1 \right )^{2}=n^{2}.

Επομένως είναι m-1=n\Leftrightarrow m-n=1 δηλ. b=1 ή m-1=-n\Leftrightarrow m+n=1 δηλ. a=1

Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9110
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πολύ-τροπον

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 09, 2017 9:05 am

Αν a=b τότε a+a=1+a^2\Leftrightarrow (a-1)^2=0\Leftrightarrow a=b=1 .

Αν a\neq b και a\neq 1 , τότε υπάρχει μη μηδενικός x , ώστε b=a+x (*)

Αλλά τότε : a+a+x=1+a(a+x)\Leftrightarrow2a+x=1+a^2+ax

\Leftrightarrow x-ax=(1-a)^2 \Leftrightarrow x=\dfrac{(1-a)^2}{1-a}=1-a ,

δηλαδή αντικαθιστώντας στην (*) : b=a+1-a=1


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1232
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Πολύ-τροπον

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Δεκ 09, 2017 10:13 am

Αποσύρω τη λύση αυτή αφού ήδη δόθηκε (2η λύση) και δεν το είχα προσέξει.
Ευχαριστώ το Θανάση (KARKAR) για την επισήμανση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης